三角函數(shù)解三角形題型歸類

WORD完美格式專業(yè)知識編輯整理三角函數(shù)解三角形題型歸類一知識歸納：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為、和．(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構成的角的集合是S＝．(3)象限角：使角的頂點與重合，角的始邊與，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．2．弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝．（2）任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)4.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（二）公式概念1．三角函數(shù)誘導公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋α))(k∈Z)的本質(zhì)奇變偶不變(對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時把α看成是銳角)．2．兩角和與差的三角函數(shù)公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).3．二倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cosα,2)；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).（三）正、余弦定理及其變形：1．正弦定理及其變形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是外接圓的半徑)；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).2．余弦定理及其變形a2＝b2＋c2－2bccosA；cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).b2＝；cosB＝；c2＝.cosC＝.3.三角形面積公式:S△ABC＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝_________________＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.2．整體法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間、周期、值域、對稱軸(中心)時，將ωx＋φ看作一個整體，利用正弦曲線的性質(zhì)解決．3．換元法：在求三角函數(shù)的值域時，有時將sinx(或cosx)看作一個整體，換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決．4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,|ω|)，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,|ω|).(2016年全國卷1)4.△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，則（A）（B）（C）（D）6.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（A）（B）（C）（D）14.已知是第四象限角，且，則————————————．(2015年全國卷1)8.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）（A）（B）（C）（D）17.（本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，.（=1\*ROMANI）若，求（=2\*ROMANII）若，且求的面積.(2014年全國卷1)2.若，則B.C.D.7.在函數(shù)=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③,=4\*GB3④中，最小正周期為的所有函數(shù)為A.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③B.=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④C.=2\*GB3②=4\*GB3④D.=1\*GB3①=3\*GB3③16.如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點.從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測學科網(wǎng)得.已知山高，則山高________.(2013年全國卷1)9．函數(shù)在的圖像大致為（）10．已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，，，，則（A） （B） （C） （D）16．設當時，函數(shù)取得最大值，則______.(2012年全國卷1)9.已知>0，，直線=和=是函數(shù)圖像的兩條相鄰的對稱軸，則=（A）eq\f(π,4)（B）eq\f(π,3)（C）eq\f(π,2)（D）eq\f(3π,4)17.（本小題滿分12分）已知，，分別為三個內(nèi)角,,的對邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.三、題型歸納題型一、三角函數(shù)定義的應用1.若點P在－eq\f(10π,3)角的終邊上，且P的坐標為(－1，y)，則y等于()A.－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.－eq\r(3) D.eq\r(3)變式1．已知角α的終邊經(jīng)過點(eq\r(3)，－1)，則角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)題型二、三角函數(shù)值的符號2．已知角α的終邊經(jīng)過點(eq\r(3)，－1)，則角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)變式2.設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)題型三、同角三角函數(shù)關系式的應用3.已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)4.已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)變式3.已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα等于()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1題型四誘導公式的應用5．(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝______變式4.已知角終邊上一點p(-4,3)，則的值為題型五、三角函數(shù)的圖形變換6.（1）要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象()A．向左平移eq\f(π,12)個單位 B．向右平移eq\f(π,12)個單位C．向左平移eq\f(π,3)個單位 D．向右平移eq\f(π,3)個單位（2）某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入部分數(shù)據(jù)，如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πXeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2)將y＝f(x)圖象上所有點向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求y＝g(x)的圖象離原點O最近的對稱中心．變式5.已知函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)求它的振幅、周期、初相；(2)說明y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．題型六、三角函數(shù)的性質(zhì)問題7.（1）函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調(diào)增區(qū)間為________.（2）已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值時x的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))（3）函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期為π，且其圖象向右平移eq\f(π,12)個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象()A.關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱 B.關于直線x＝eq\f(5π,12)對稱C.關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))對稱 D.關于直線x＝eq\f(π,12)對稱（4）當x＝eq\f(π,4)時，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，則函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是()A.奇函數(shù)且圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱B.偶函數(shù)且圖象關于點(π，0)對稱C.奇函數(shù)且圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱D.偶函數(shù)且圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱變式6.已知函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．題型七、最值與值域問題8.已知函數(shù)。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值。變式7、已知函數(shù)，若將函數(shù)圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，則g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為。題型八、三角函數(shù)的求值、求角問題9.（1）已知，則=。（2）已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，則α＋β等于()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4)D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)變式8.（1）已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝________.(2)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則角β等于()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)！題型九、三角恒等變換的應用10.已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)時，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．變式9.函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．題型十、利用正、余弦定理解三角形11.（1）設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a＝2,c＝2eq\r(3),cosA＝eq\f(\r(3),2),且b<c,則b＝()A.eq\r(3)B.2eq\r(2)C.2D.eq\r(3)（2）在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(6)，∠A＝eq\f(2π,3)，則∠B＝________.（3）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.=