2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-第三章 空間向量與立體幾何

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何

(全卷滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單項選擇題體題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的)

1.在空間直角坐標系0-xyz中,P(2,0,-4),Q(-1,2,1),M是OP的中點,則

|QM|=()

A.V38B.—C.V17D.—

22

2.若平面a平面B,且平面a的一個法向量為好(-2,1j)，則平面B的法向

量可以是()

A.B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.&1,2)

3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)//(2a—b),則()

11

A.x=-,y=lB.x=-,y=-4

1

C.x=2,y=—D.x=l,y=-l

4

4.平面a的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面a內，則點P(-

2,1,4)到平面a的距離為()

A.10B.3C.-D.-

33

5在空間直角坐標系0-xyz中，已知A(l,2,3),B(2,1,2),P(l,1,2),點Q在直線

0P上運動，當瓦?麗取得最小值時，點Q的坐標是()

A.B.

\333/\3337

C.D.

\333/\3337

6.如圖，已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是OA,CB的中點，點G

在線段MN上,且MG=3GN,用向量力I0B,左表示向量前,貝1]麗=()

K.-OA+-OB+-OC

633

^OA^OB^OC

633

C.^OA^OB^OC

844

]).^OA^OB^OC

888

7.在棱長為2的正四面體ABCD中，點M滿足前=x^+y尼-(x+y-1)而，點N滿

足麗=入成+(1-入)前，當AM、BN最短時-，麗?標=()

4「4八1

AA.——B.—C.——D.—

3333

8.如圖，在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=V2.現(xiàn)將4ABD沿BD折起，當二面

角A-BD-C的大小處于旨罰范圍內時,直線AB與CD所成角的余弦值的取值范圍

是()

咨同B.恃啕。?暗D.[0,啕

二、多項選擇題體題共4小題,每小題5分，共20分在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)

9.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,-2),則下列結論正確的是()

A.a+b=(10,-5,-6)B.a-b=(2,-l,-6)

C.a?b=10D.|a|=6

10.在空間直角坐標系0-xyz中，已知A(-1,2,3),B(0,-2,4),C(2,1,2),若存在一

點P,使得CP,平面0AB,則點P的坐標可能為()

A.(-12,-3,0)B.(7,2,-4)

C.(6,3,5)D.(-5,-1,1)

11.在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2,AD=3,AA'=1,以D為原點,DA,DC,雨的方

向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是(

A.W=(-3,-2,1)

B.異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為等

C.平面A'C'D的一個法向量為(-2,-3,6)

D.二面角C'-A'D-D'的平面角的余弦值為,

12.在長方體ABCD-ABCD中,AB=2W,AD=AA尸2,P、Q、R分別是AB、BB1、A,C±

的動點，下列結論正確的是()

A.對于任意給定的點P,存在點Q,使得D,P±CQ

B.對于任意給定的點Q,存在點R,使得D,R±CQ

C.當ARLAC時,ARLDiR

D.當A,C=3A1R時,DR〃平面BDG

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,F是側面CDDC的中心,若

福x而+y荏+z京,則x-y+z=.

劣D,

14.已知u=(3,a+b,a-b)(a,bwR)是直線1的方向向量,n=(l,2,3)是平面a的法

向量，若a,則a+b=.

15.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，點B到直線AC.的距離

為.

D______r

3

B,

16.將正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A,B,C,D四點為頂點的三棱錐體積最

大時,異面直線AD與BC所成的角為.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知空間中三點A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設

a=AB,b=Zc.

(1)若Ic|=3,且c//~BC,求向量c;

⑵已知向量ka+b與b互相垂直,求實數(shù)k的值.

18.（本小題滿分12分）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線都等于

1,點E,F分別是AB,AD的中點，設｛a,b,c｝為空間的一組基,AB=a,AC=b,AD=c,

試用基向量法求解以下各題.

⑴求前?同的值；

⑵求異面直線CF與BD所成角的余弦值.

19.（本小題滿分12分）如圖所示為一個半圓柱,E為半圓弧CD上一點,CD=V5.

（1）若AD=2出,求四棱錐E-ABCD的體積的最大值；

(2)有三個條件:①4屁?DC=EC-DC;②直線AD與BE所成角的正弦值為

；；③當鬻二”?請你從中選擇兩個作為條件，求直線AD與平面EAB所成角的余

3smZEBA2

弦值.

20.體小題滿分12分)如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E為BB.的中點.

(1)求證:BG〃平面AD,E;

⑵求直線AA.與平面ADF所成角的正弦值；

⑶求點C到平面ADE的距離.

21.(本小題滿分12分)如圖1,在RtAABC中，ZACB=30°,NABC=90°,D為AC的中

點,AE1BD于點E,延長AE交BC于點F,將4ABD沿BD折起,使平面ABD_L平面

BCD,如圖2所示.

圖1

⑴求證:AE_L平面BCD;

(2)求二面角A-DC-B的平面角的余弦值.

22.(本小題滿分12分)如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所

在平面互相垂直,AF〃DE,DE1AD,AD±BE,AF=AD=|DE=1,AB=VI

(1)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值;

⑵判斷線段BE上是否存在點Q,使得平面CDQ_L平面BEF?若存在,求出警的值;

BE

若不存在,請說明理由.

答案與解析

1.C由題意得,M(l,0,-2),又Q(-

1,2,1),A|QM|=7(-1-1)2+(2-0)2+(1+2)2=V17.故選C

2.C)?平面a_L平面B,

.??平面a的法向量與平面B的法向量垂直，即它們的數(shù)量積為0.

對于A.（-1弓,{）?92,1,%2+}#0,故A錯誤；同理C正確,B,D錯誤.

3.B由題意可得,a+2b=（l+2x,4,4-y）,2a-b=（2-x,3,-2y-2）.

V(a+2b)//(2a-b),

.,.3入￡R，使a+2b=、(2a-b),

1+2x=A(2-x),

得4=3A,解得＜％=1故選B.

A-y=A(-2y-2),2'

=一4,

4.D由題意得刀2,4）,則點P到平面a的距離

?喬|」2X(：l)+(-2)X(-2)+lX4|_10

.故選D.

\n\J(-2)2+(-2)2+123

5.D設的=入而（入￡R）,則Q（入，入，2人）,

.?面?麗=（1-入，2-入，3-2入）?（2-入，1-入，2-2人）

=(1-X)(2-入)+(2_入)(1一入)+(3-2人)(2_2人)

=6入2—16入+10=6(九§2一|,

/.當入號時,QA?而取得最小值,此時點Q的坐標為(1A

故選D.

6.DOG=OM+MG=OM+-MN=OM+-(MO+OC+CN)

44

J0M+-0C+-CN=-XA07+-OC+-X^CB

44442442

=-0A+-0C+-(OB-OC)=-0A+-0B+-OC.

848888

故選D.

7.A由共面向量定理和共線向量定理可知,M金平面BCD,N￡直線AC,當AM、BN

最短時,AM,平面BCD,BN_LAC,

所以M為ABCD的中心,N為AC的中點，

此時,2|證|一.2-竽,

:AM,平面BCD,MCu平面BCD,

Z.AMIMC,

^\AC\2-\MC\

\'MA\=2

2

22_(釣號

又麗三(流+雨)，

：.AM?麗三(麗?MC+AM?MA)

=-1|MA12=-1.故選A.

8.D在四邊形ABCD中，連接AC,交BD于點0,如圖①所示:

VAB=BD=DA=2,BC=CD=V2,

AC垂直平分BD,

：.\0=y/AB2-BO2=y/3,C0=V5C2-BO2=l.

翻折后如圖②所示,BD±AO,BD±CO,

...二面角A-BD-C的平面角為NAOC,設NA0C=。，貝!j0^1,

.66.

以0為坐標原點,OC,0D所在直線分別為X軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐

標系,

則A(V5cos0,0,代sin9),B(0,-1,0),C(l,0,0),D(0,1,0),

.*.AB=(-V3cos9,-l,-V3sin9),CD=(-1,1,0),

V^cos^-l

cos<AB,CD>=-AB?CD

\AB\\CD\2V2

A|cos<^,CD>|e[o,^].故選D.

9.AD因為a=(4,-2,—4),b=(6,-3,-2),

所以a+b=(10,-5,-6),a-b=(-2,1,-2),a?b=4X6+(-2)X(-3)+(-4)X(-

2)=38,|aI力42+(—2尸+(—4產(chǎn)6.故選AD.

10.AD設P(x,y,z),則而=(x-2,y-1,z-2),OA=(-1,2,3),OB=(0,-2,4),

若CPJ_平面OAB,貝ijCP10A,CP±OB,即而?雨=0,CP?OB=0,

斫以(CP,OA=—(x-2)+2(y-l)+3(z-2)=0,?J-x+2y+3z-6=0,

物[cP?OB=-2(y-l)+4(z-2)=0,112y+4z-6=0,

只有A,D項滿足該方程組,故選AD.

11.ACD由題意可得D(0,0,0),B(3,2,0),D'(0,0,1),A'(3,0,1),C'(0,2,1),則

^=(-3,-2,1),57=(3,0,l),DC=(0,2,1),可知A正確.

滔KK?、DA'?BD'-8-4A/35

COS<DA,BD>=―>―>-二「i—二----------,

|。4||町V1OXA/I435

所以異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為個胃,故B不正確.

設平面A'C'D的一個法向量為n=(x,y,z),

n,DA'=0,3x+z=0,

則所以｛

n?DC=0,2y+z=0,

取z=6,得n=(-2,-3,6),故C正確.

易知平面A'DD'的一個法向量為m=(0,1,0),

則c"m＞湍汨，

易知二面角C'-A'D-D'的平面角為銳角，故其余弦值為意故D正確.

故選ACD.

12.ABD如圖所示，建立空間直角坐標系,

則

A⑵0,0),B(2,2g,0),C(0,2^3,0),D(0,0,0),At(2,0,2),G(0,2百,2),。(0,0,

2).

設P(2,a,0),aQ[0,2V3],Q(2,2^3,b),be[0,2],

易知碇=(-2,28,-2).

設R(xbybzi),^R=入碇，入￡[0,1],即(x[2,y?z「2)=人(-2,2遮,一2),

貝！JR(2-2入，28入，2-2人)，

易得萬了=(2,a,-2),CQ=(2,0,b),則印?CQ=4~2b,當b=2時,D(P±CQ,A正確;

^R=(2-2X,2V3X,-2X),,\-CQ=2(2-2X)-2Xb,由DR_LCQ得辛?

CQ=0,即4-4X-2Xb=0,得人=喜，

?.?0WbW2,

1,即工W入Wl,

22+b2

故當]W入時,存在點R使得D,R1CQ,B正確；

AR=(-2X,2V3X,2-2X).

若人區(qū)，人。貝!)族?不二(一2入，28人，2—2人)?(-2,2V3,-2)=4X+12X-4+4X=0,

解得人

止匕時AR-D^R=/22V38\82732=-W0,C錯誤;

5/5)廣5

?.?A￡=3AR，R42V34

3'3'3.

，DiR=42V32

3’3‘3.

設平面BDC,的一個法向量為n=(x,y,z),BD=(-2,-2g,0),鬲=(0,2瘋2),則

n,BD=0,C-2x-2V3y=0,

n?DC；=0,'(2V3y+2z=0,

令y=-l,貝ijx=z=V3,/.n=(V3,-1,V3),

...DiR?n=0,，D]R〃平面BDCbD正確.

故選ABD.

13.答案1

解析AF=AD+DF=AD+^(DDi+DC)=AD+^(AA^+AB)=AD+^AB+^AAl，故

X=l,y=-1,z=-1,則x-y+z=l.

14.答案6

解析Vl±a,,?.n//u,,-,a+b=6.

15.答案f

解析以D,為坐標原點,DA,DC,D,D所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所

示的空間直角坐標系，則A(1,O,1,1),G(O,1,0),??.南=(0,1,0),溫=(-

1,t-1),

取a=^=(0,l,0),u=焉孚-1,1,-1)=(《，今一多,

貝！Ja2=l,a,u=?

/.點B到直線AC.的距離為Ja2一色,劃2=',智

16.答案

解析根據(jù)題意可知，當VAABC最大時，平面DAC_L平面ABC,

設AC的中點為0,連接OB,0D,建立空間直角坐標系,如圖所示.

令令=0C=0D=l,則A(0,-l,0),D(0,0,l),B(l,0,0),C(0,1,0),

所以而二(0,1,1),近=(-1,1,0),

AD?~BC11

因止匕cos<AD,BC>=-

\AD\\BC\V2xV22'

所以異面直線AD與BC所成的角為今

17.解析A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),

，a=AB=b=Zc=(l,0,-2),BC=(2,1,-2).(3分)

(l)；c〃前，可設c=m或(m￡R),

c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),

|c|=7(2m)2+m2+(-2m)2=3|m=3,/.m=±1,(5分)

.?.c=(2,1,-2)或c=(—2,T,2).(7分)

(2)ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(l-k,-k,-2),(8分)

,向量ka+b與b互相垂直,

(ka+b),b=l-k+4=0,解得k=5.(10分)

18.解析由題意得|a|=|b|=|c|=l,<a,b>=〈b,c>=<c,a>=60°,

故a,b=b,c=c,a=lXIXcos60°=|.(3分)

(1)VEF=1fiD=|?-^)=|(c-a),

/.EF-AJB=-(c-a)?a=-c.a--a2=-X(6分)

2222224

(2)由題意可知而加+據(jù)而-而=衿瓦BD=AD-AB=c-a.

/.CF?麗=(；c-b)?(c-a)=1c2-b,c-1a?c+a?b

(9分)

22424

記異面直線CF與BD所成的角為e,

V|^D|=1,Acos0==4—?

2|CF||BD|V36

2

因此異面直線CF與BD所成角的余弦值為”.(12分)

19.解析⑴在平面EDC內作EF±CD于點F,因為平面ABCD,平面EDC,平面

ABCDG平面EDC=DC,所以EF_L平面ABCD.(2分)

因為E為半圓弧CD上一點,所以CE±ED,

=

所以VE-ABCD-?S四邊形ABCD?EF=-XV5X2V5X?CE?ED,（4分）

JJ（-<LrD

因為CE2+ED2=CD2=5,

所以4AKW2X空坦之空X包吧

32323

當且僅當CE=ED』?時,等號成立，

所以四棱錐E-ABCD的體積的最大值為卓.（6分）

fi:

AG

⑵由條件①,得4|反||覺|cosNCDE=|既||而IcosNDCE,即4DE2=CE2,

所以2DE=CE,又因為DE2+CE2=5,所以DE=1,CE=2.

由條件②,得因為AD/7BC,BC_L平面DCE,所以NCBE為直線AD與BE所成角，且

sinZCBE=^=—,—=tanZCBE=—.

3BEBC5

由條件③，得列W詈詈￥，設AD=x,則頭券1.

若選條件①②,則DE=1,CE=2,且登=tanNCBE多,所以AD=BC=V5.

BC5

若選條件①③,則DE=1,CE=2,且三嚅片,所以AD=BC=?.

若選條件②③,則竺=tanNCBE=*,且警DE2+CE2=5,

x5xz+DE22

所以AD=BC=V5.

即從①②③任選兩個作為條件,都可以得到AD=BC=V5,（9分）

下面求AD與平面EAB所成角的正弦值.

以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為z軸,過點A且與AB垂直的直線

為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，則

所以於（Y，?，灼，屈=（倔0,0）,而=（0,0,遍）,

設平面EAB的一個法向量為m=（x,y,z）,

即段x+等y+快=。，

（V5x=0,

令z=l,則x=0,y=-|,所以m=（o,-|,l）,（10分）

所以cos<AD,m>=—（11分）

通X皇29

因為直線AD與平面EAB所成角音-<而,m>,

所以直線AD與平面EAB所成角的余弦值為察.（12分）

29

20.解析⑴證明：AB〃CD,且AB=CD,...四邊形ABCD為平行四邊

形，.-.BC./ZADH（2分）

?.?BCQ平面ADE,ADq平面ADE,

...BG〃平面ADE（4分）

（2）以A為原點,AD,AB,AAi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系,

y

X

設正方體的棱長為2,則

A(0,0,0),A.(0,0,2),口⑵0,2),E(0,2,1),可=(0,0,2),砧=⑵0,2),AE=(0

,2,1).(6分)

設平面AD.E的一個法向量為n=(x,y,z),則卜."i=2x+2z=°,

(九?AE=2y+z=0,

令z=2,則x=-2,y=T,，n=(-2,T,2).(8分)

設直線AAi與平面ALE所成的角為0,

則sin0=|cos<n,力力；〉|=?i'^2.1=14—

1InllAAtllIV4+1+4X23

故直線AAl與平面ADiE所成角的正弦值為|.(10分)

(3)由⑵知,平面ADF的法向量為n=(-2,-l,2),C(2,2,0),

則m=(2,2,0),(11分)

點C到平面AD.E的距離d=曾=—=2.(12分)

21.解析(1)證明：\?平面ABD,平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD,AE±BD,AEu

平面ABD,.??AE_L平面BCD.(3分)

(2)???AE_L平面BCD,EFc平面BCD,/.AE±EF.(4分)

由題意知EF±BD,AE±BD,

如凰以E為坐標原點,EF,ED,EA所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐

標系E-xyz,

設設=2,則BD=DC=AD=2,BE=ED=1,

.,.AE=V3,BC=2V3,EF=y,(5分)

則E