平均數(shù)的變異數(shù)分析 ANOVA

平均數(shù)的變異數(shù)分析

ANOVA

Cheng-FongWong2024/8/81大綱變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析

檢定k個(gè)母體平均數(shù)是否相等事後比較2024/8/82變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析(ANOVA)可用來檢定三個(gè)或三個(gè)以上得自觀察型或?qū)嶒?yàn)型研究的資料母體平均數(shù)是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結(jié)果進(jìn)行以下假設(shè)檢定。2024/8/83H0：

1

=

2

=

3

=

...=

k

Ha：所有母體平均數(shù)不全相等變異數(shù)分析介紹如果拒絕H0

，我們不能下結(jié)論說所有的母體平均數(shù)都不相等。拒絕H0

意指至少有兩個(gè)母體平均數(shù)不相等2024/8/84變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析的假設(shè)每個(gè)母體之反應(yīng)變數(shù)均呈常態(tài)分配。所有反應(yīng)變數(shù)的變異數(shù)，記為

2，均相等由每個(gè)母體抽取之樣本必須互為獨(dú)立。2024/8/85變異數(shù)分析

檢定k個(gè)母體平均數(shù)是否相等母體變異數(shù)之處理間估計(jì)值母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計(jì)值比較變異數(shù)之估計(jì)值：F檢定ANOVA表2024/8/86母體變異數(shù)之處理間估計(jì)值

2之處理間估計(jì)值的概念，稱之為處理間均方(MSTR)。

MSTR的分子稱為處理間平方和(SSTR)。

MSTR的分母為SSTR的自由度。組間平方和SSTR母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計(jì)值共同變異數(shù)

2之處理內(nèi)估計(jì)值的概念，稱之為誤差均方(MSE)。MSE的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE的分母為SSE的自由度。2024/8/88誤差平方和SSE比較變異數(shù)之估計(jì)值：F檢定假設(shè)虛無假設(shè)為真且ANOVA之假設(shè)均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會(huì)服從MSTR自由度為k-1，MSE自由度為nT–k的F分配。如果k個(gè)母體平均數(shù)不全相等，則因MSTR高估2，MSTR/MSE值將提高。因此，當(dāng)MSTR/MSE之值太大，使其不似來自F分配時(shí)，我們將拒絕H0。假設(shè)

檢定統(tǒng)計(jì)量

拒絕法則

其中F

值係由分子自由度k-1，分母自由度nT-k

之F分配查表而得。H0：

1

=

2

=

3

=

...=

k

Ha：所有母體平均數(shù)不全相等F=MSTR/MSE假設(shè)F>F，拒絕H0MSTR/MSE之抽樣分配此圖顯示顯著水準(zhǔn)為

時(shí)的拒絕域，其中F

為臨界值。不拒絕H0拒絕H0F

臨界值MSTR/MSEANOVA表

SST除以它的自由度nT-1，即為總樣本異變數(shù)，其為將nT個(gè)觀察值視為同一組樣本計(jì)算而得。變異來源平方和自由度均方F處裡SSTRk-1MSTRMSTR/MSE誤差SSEnT-kMSE

總和SSTnT-k

例題變異數(shù)分析 國家電腦產(chǎn)品公司(NCP)係生產(chǎn)印表機(jī)與傳真機(jī)的公司，它在亞特蘭大、達(dá)拉斯、西雅圖三地均設(shè)有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機(jī)選取6名員工參加品質(zhì)認(rèn)知測(cè)驗(yàn)。18名員工的測(cè)驗(yàn)成績(jī)及各個(gè)工廠的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標(biāo)準(zhǔn)差均列於下表。變異數(shù)分析

廠1 廠2 廠3

觀察值 亞特蘭大達(dá)拉斯 西雅圖

1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 858267

樣本平均數(shù) 79 74 66

樣本變異數(shù) 34 20 32

樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.834.475.66範(fàn)例變異數(shù)分析處理間均方 因?yàn)闃颖緮?shù)均相同

x=(79+74+66)/3=73

SSTR=6(79-73)2+6(74-73)2+6(66-73)2=516

MSTR=516/(3-1)=258誤差均方

SSE=(6–1)34+(6–1)20+(6–1)32=430

MSW=430/(18-3)=28.67=範(fàn)例變異數(shù)分析虛無與對(duì)立假設(shè)

H0:

1

=

2

=

3

Ha:所有母體平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不全相等 其中：

1=母體1平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)

2=母體2平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)

3=母體3平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)變異數(shù)分析F檢定 假設(shè)虛無假設(shè)為真，此時(shí)MSTR與MSE為兩個(gè)相互獨(dú)立的2之不偏估計(jì)值。對(duì)一個(gè)常態(tài)分配母體而言，兩個(gè)相互獨(dú)立的母體變異數(shù)2之估計(jì)值的比，所形成的抽樣分配必服從F分配。因此，假設(shè)虛無假設(shè)為真且ANOVA之假設(shè)均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會(huì)服從分子自由度為

k–1，分母自由度為n–k的F分配。拒絕法則 假設(shè)F=MSTR/MSE>3.68，則拒絕H0變異數(shù)分析檢定統(tǒng)計(jì)量

F=MSB/MSW=258/28.67=9.00結(jié)論

由於F=MSTR/MSE=258/28.67＝9.00大於臨界值F=3.68。因此，我們有充分的證據(jù)拒絕三個(gè)母體平均數(shù)相等的虛無假設(shè)。換言之，變異數(shù)分析支持NCP公司中，三家工廠平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不全相等之結(jié)論。變異數(shù)分析ANOVA表

變異來源平方和自由度均方F

處理

516 2258.009.00

誤差 430 15 28.67

總和 946 17多重比較

〔MultipleComparisons〕在ANOVA分析裡，有三組〔含〕以上之組別接受不同的自變項(xiàng)〔IV〕的處理，但是ANOVA的結(jié)果只能解釋這三組〔以上〕之間『有無差異』，而無法解釋『兩組間的差異』。多重考驗(yàn)次數(shù)越多，越容易犯錯(cuò)〔a，當(dāng)H0為真時(shí)，拒絕H0之機(jī)率〕，因此衍生出一些校正a值的考驗(yàn)方法。2024/8/820事前比較

〔apriori,plannedcomparison〕因?yàn)橛欣碚摶A(chǔ)或假設(shè)作引導(dǎo)，所以在實(shí)驗(yàn)前就已經(jīng)決定要做的組間比較

2024/8/821事後比較

〔aposteriori,post-hoc,unplannedcomparison〕實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有顯著的F值時(shí)，才會(huì)做的組間比較杜凱氏考驗(yàn)〔Tukey’sHSD〕組間樣本數(shù)相等雪費(fèi)法〔Scheffe’s〕每一組有不相等的樣本數(shù)2024/8/822雪費(fèi)LSD程序假設(shè)變異數(shù)分析已提供拒絕母體平均數(shù)相等之虛無假設(shè)的統(tǒng)計(jì)證據(jù)。此時(shí)，費(fèi)雪最低顯著差異(LSD)程序可用以決定哪些母體平均數(shù)間存在差異。2024/8/823雪費(fèi)LSD程序假設(shè)

檢定統(tǒng)計(jì)量拒絕法則

其中ta/2值係查自由度為nT

–

k之t分配表而得。2024/8/824H0:

i

=

jHa:

i

j假設(shè)t<-ta/2或t>ta/2，拒絕H0以檢定統(tǒng)計(jì)量為基礎(chǔ)之雪費(fèi)LSD程序假設(shè)

檢定統(tǒng)計(jì)量

拒絕法則

其中2024/8/825H0:

i=

jHa:

i

j若|xi-xj|>LSD，則拒絕H0__雪費(fèi)LSD

假設(shè)

=0.05,虛無與對(duì)立假設(shè)(1)H0:

1=

2

Ha:

1

2統(tǒng)計(jì)檢定量

|x1-x2|=|79-74|=5結(jié)論 我們無法下「亞特蘭大之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)與達(dá)拉斯之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不相等」之結(jié)論。2024/8/826雪費(fèi)LSD虛無與對(duì)立假設(shè)(2)

H0:

1=

3

Ha:

1

3統(tǒng)計(jì)檢定量

|x1-x3|=|79-66|=13結(jié)論 由於此值大於6.59，我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)相等之假設(shè)。2024/8/8