數(shù)學(xué)-人教B版-一輪復(fù)習(xí)-教學(xué)設(shè)計(jì)8：2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ-教學(xué)設(shè)計(jì)

2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念假如ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)續(xù)表4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．1．(人教A版教材習(xí)題改編)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)等于()A.eq\f(1,2x)B．2x－2C．logeq\s\do9(\f(1,2))xD．log2x【解析】由題意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故選D.【答案】D3．假如logeq\s\do9(\f(1,2))x＜logeq\s\do9(\f(1,2))y＜0，那么()A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x【解析】∵y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是(0，＋∞)上的減函數(shù)，∴x＞y＞1.【答案】D4．(2013·蘇州模擬)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________．【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－eq\f(1,2)，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．由于y＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，t＝2x＋1在(－eq\f(1,2)，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間為(－eq\f(1,2)，＋∞)．【答案】(－eq\f(1,2)，＋∞)5．(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴l(xiāng)gab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；(2)計(jì)算eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)；(3)計(jì)算(log32＋log92)·(log43＋log83)．【思路點(diǎn)撥】(1)依據(jù)乘法公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；(2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式或直接代入求解．【嘗試解答】(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.(3)原式＝(eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg2,lg9))·(eq\f(lg3,lg4)＋eq\f(lg3,lg8))＝(eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg2,2lg3))·(eq\f(lg3,2lg2)＋eq\f(lg3,3lg2))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4)1．對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的狀況下進(jìn)行的，因此經(jīng)常用到換底公式及其推論；在對(duì)含字母的對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)時(shí)必需保證恒等變形．2．a(chǎn)b＝N?b＝logaN(a＞0且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中要留意互化．3．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(1)(2013·寶雞模擬)計(jì)算(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100－eq\f(1,2)＝________．(2)(2013·大連模擬)設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________．【解析】(1)原式＝(lgeq\f(1,100))÷eq\f(1,10)＝－20.(2)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝eq\r(10).【答案】(1)－20(2)eq\r(10)(1)(2013·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝log|eq\f(b,a)|x(ab≠0，|a|≠|(zhì)b|)在同始終角坐標(biāo)系中的圖象可能是()(2)(2013·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|0＜x≤10，－\f(1,2)x＋6x＞10，))若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是()A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)【思路點(diǎn)撥】(1)依據(jù)函數(shù)y＝ax2＋bx與x軸的交點(diǎn)確定|eq\f(b,a)|的范圍．(2)畫出f(x)的圖象，確定a，b，c的范圍．【嘗試解答】(1)令ax2＋bx＝0得x＝0或x＝－eq\f(b,a).對(duì)于A、B項(xiàng)，由拋物線知，0＜|eq\f(b,a)|＜1，此時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象不合要求，故A、B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，由拋物線知|eq\f(b,a)|＞1，此時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象不合要求，故C不正確；對(duì)于D項(xiàng)，由拋物線知0＜|eq\f(b,a)|＜1，此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象符合要求，故選D.(2)作出f(x)的大致圖象．不妨設(shè)a＜b＜c，由于a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函數(shù)的圖象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，由于a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故選C.【答案】(1)D(2)C,1．解答本題(1)時(shí)，可假設(shè)一個(gè)圖象正確，然后看另一個(gè)圖象是否符合要求；對(duì)于本題(2)依據(jù)|lga|＝|lgb|得到ab＝1是解題的關(guān)鍵．2．對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解．3．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題的求解，常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直線y＝a(a＜0)與這三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是()A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1(2)函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________．【解析】(1)在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象及直線y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故選A.(2)作出函數(shù)y＝log2x的圖象，將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y＝log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖象(如圖所示)．由圖知，函數(shù)y＝log2|x＋1|的遞減區(qū)間為(－∞，－1)，遞增區(qū)間為(－1，＋∞)．【答案】(1)A(2)(－∞，－1)(－1，＋∞)已知函數(shù)f(x)＝log2eq\f(x＋2a＋1,x－3a＋1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，試爭(zhēng)辯它的奇偶性和單調(diào)性．【思路點(diǎn)撥】(1)利用真數(shù)大于0構(gòu)建不等式，但要留意分類爭(zhēng)辯，(2)先由條件求出a的值，再爭(zhēng)辯奇偶性和單調(diào)性．【嘗試解答】(1)eq\f(x＋2a＋1,x－3a＋1)＞0?[x－(3a－1)][x－(－2a－1)]＞0，所以，當(dāng)3a－1≥－2a－1，即a≥0時(shí)，定義域?yàn)?－∞，－2a－1)∪(3a－1，＋∞)；當(dāng)3a－1＜－2a－1，即a＜0時(shí)，定義域?yàn)?－∞，3a－1)∪(－2a－1，＋∞)．(2)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)－2a－1＝－(3a－1)?a＝2，此時(shí)，f(x)＝log2eq\f(x＋5,x－5).對(duì)于定義域D＝(－∞，－5)∪(5，＋∞)內(nèi)任意x，－x∈D，f(－x)＝log2eq\f(－x＋5,－x－5)＝log2eq\f(x－5,x＋5)＝－log2eq\f(x＋5,x－5)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)x∈(5，＋∞)，對(duì)任意5＜x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝log2eq\f(（x1＋5）（x2－5）,（x1－5）（x2＋5）)，而(x1＋5)(x2－5)－(x1－5)(x2＋5)＝10(x2－x1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)在(5，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減；由于f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(－∞，－5)內(nèi)單調(diào)遞減．1．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)數(shù)值大?。?1)同底數(shù)(或能化為同底的)可利用函數(shù)單調(diào)性處理；(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同的對(duì)數(shù)值的比較，可利用函數(shù)圖象或比較其倒數(shù)大小來進(jìn)行．(3)既不同底數(shù)，又不同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的比較，先引入中間量(如－1，0，1等)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較．2．利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)爭(zhēng)辯對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要留意三點(diǎn)，一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．(2013·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數(shù)，由f(x)＞1恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解之得1＜a＜eq\f(8,3).若0＜a＜1時(shí)，f(x)在x∈[1，2]上是增函數(shù)，由f(x)＞1恒成立，則f(x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，∴a＞4，且a＜4，故不存在．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，eq\f(8,3))．一種關(guān)系ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)兩個(gè)防范解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)：(1)務(wù)必先爭(zhēng)辯函數(shù)的定義域．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，應(yīng)留意底數(shù)的取值范圍．三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(a，1)，(1，0)，(eq\f(1,a)，－1)．四種方法對(duì)數(shù)值的大小比較方法(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性．(2)作差或作商法．(3)利用中間量(0或1)．(4)化為同真數(shù)后利用圖象比較．從近兩年高考看，對(duì)數(shù)函數(shù)是考查的重點(diǎn)，題型多為選擇題、填空題，重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，中等難度．估計(jì)2014年高考仍將以對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為主要考點(diǎn)，考查解決問題的力量，分類爭(zhēng)辯和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．思想方法之四用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的取值范圍(2012·課標(biāo)全國卷)當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是()A．(0，eq\f(\r(2),2))B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)【解析】由0＜x≤eq\f(1,2)且logax＞4x＞0得0＜a＜1，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝4x(0＜x≤eq\f(1,2))和y＝logax(0＜a＜1，0＜x≤eq\f(1,2))的圖象，如圖所示：由圖象知，要使當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)，4x＜logax，只需logaeq\f(1,2)＞4eq\s\up6(\f(1,2))，即logaeq\f(1,2)＞logaa2，∴a2＞eq\f(1,2)，∴a＞eq\f(\r(2),2)或a＜－eq\f(\r(2),2)，又0＜a＜1，∴eq\f(\r(2),2)＜a＜1.【答案】B易錯(cuò)提示：(1)本題無法分別參數(shù)，沒有數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，從而無法求解．(2)不會(huì)解不等式logaeq\f(1,2)＞4eq\s\up6(\f(1,2))，造成錯(cuò)解．防范措施：(1)恒成立問題常用分別參數(shù)法求解，當(dāng)不能分別參數(shù)且圖象易畫時(shí)，可考慮數(shù)形結(jié)合法．(2)解對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用化為同底法求解，實(shí)際上應(yīng)用的是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．1．(2013·濰坊模擬)函數(shù)y＝lneq\f(ex－e－x,ex＋e－x)的圖象大致為()【解析】由題意，知eq\f(ex－e－x,ex＋e－