2006-2017武漢中考圓專題(教師用)

2006-2015武漢中考圓專題(06年中考)1、已知：OA、OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是射線OA上一點(diǎn)(點(diǎn)A除外)，直線BP交⊙O于點(diǎn)Q，過Q作⊙O的切線交直線OA與點(diǎn)E。（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段OA上，求證：∠OBP+∠AQE=45°；（2）若點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，∠OBP與∠AQE之間是否存在某種確定的等量關(guān)系？請(qǐng)你完成圖②，并寫出結(jié)論(不需要證明)。AAABBOOPPEQ第1題圖圖①圖②(07年中考)ABDCEFGO(第22題圖)2、如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)ABDCEFGO(第22題圖)(1)求證：直線EF是⊙O的切線；(2)求sin∠E的值。FEDCBAO(08年中考)3、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．⑴求證：DE是⊙FEDCBAO22.⑴略；⑵(09年中考)4、如圖，中，，以為直徑作交邊于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接．CEBAOFD（CEBAOFD（2）連接交于點(diǎn)，若，求的值．22．證明：（1）連接．是的直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．．直線是的切線．（2）作于點(diǎn)，由（1）知，，．，且．．，，．．．．(10年中考)5、如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．(1)求證：直線PB與⊙O相切；(2)PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長(zhǎng)．(11年中考)6、如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)B,延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,(1)求證：PB為⊙O的切線；（2）若tan∠ABE=,求sin∠E.(12年中考)7、在銳角三角形ABC中，BC=4，sin∠A=，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；（2）如圖2，點(diǎn)I為三角形ABC的內(nèi)心，BA=BC，求AI的長(zhǎng)．22．（本題滿分8分）（1）解：作△ABC的外接圓直徑CD，連接BD．則∠CBD＝90°，∠D＝∠A．∴．∵BC＝5，∴CD＝．即△ABC的外接圓的直徑為CD＝．（2）連接BI并延長(zhǎng)交AC于H，作IE⊥AB于E．∵I為△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC．∵BA＝BC，∴BH⊥AC，∴IH＝IE．在Rt△ABH中，BH＝，AH＝．∵．∴，即：．∵IH＝IE∴IH＝．在Rt△AIH中，由勾股定理得，(13年中考)8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，點(diǎn)P是eq\o(AB,\s\up5(⌒))的中點(diǎn)，連接PA，PB，PC．（1）如圖①，若∠BPC＝60°，求證：；（2）如圖②，若，求的值．22．（本題滿分8分）（1）證明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．又∵AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形∴∠ACB＝60°，∵點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，∴∠ACP＝30°，又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝AP．（2）解：連接AO并延長(zhǎng)交PC于F，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接OC．∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．∵點(diǎn)P是弧AB中點(diǎn)，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF．∵∠BPC＝∠FOC，∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．設(shè)FC＝24a，則OC＝OA＝25a，∴OF＝7a，AF＝32a．在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a．在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，∴，∴EG＝12a．∴tan∠PAB＝tan∠PCB=．(14年中考)9、如圖，AB是⊙O的直徑，C、P是弧AB上兩點(diǎn)，AB＝13，AC＝5(1)如圖(1)，若點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)(2)如圖(2)，若點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，求PA得長(zhǎng)(15年中考)10、如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB(1)求證：AT是⊙O的切線(2)連接OT交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，求tan∠TAC的值21.【思路分析】（1）由AB=AT，知∠ATB=∠B=45°，故∠BAT=90°，AT是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O半徑為r，延長(zhǎng)TO交⊙O于D，連接AD，則∠CAD=∠BAT=90°，∠TAC=∠OAD=∠D.通過△TAC∽△TDA，說明TA2=TC·TD，即4r2=TC(TC+2r),可以用r表示TC，tan∠TAC=tan∠D=.證明：（1）∵AB=AT，∴∠ATB=∠B=45°，∴∠BAT=90°，∴AT是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O半徑為r，延長(zhǎng)TO交⊙O于D，連接AD.∵CD是直徑，∴∠CAD=∠BAT=90°，∴∠TAC=∠OAD=∠D.又∠ATC=∠DTA，∴△TAC∽△TDA，∴，∴TA2=TC·TD，即即4r2=TC(TC+2r),解得TA=,∴tan∠TAC=tan∠D===.備考指導(dǎo)：(1)圓的切線的判定方法有三種：①和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；這種方法不常用．②若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則這條直線是圓的切線；這種證明方法通常是在直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，通過“作垂直，證半徑”的方法來證明直線是圓的切線．③經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．這種證明方法通常是在直線和圓有公共點(diǎn)，通過“連半徑，證垂直”的方法來證明直線是圓的切線．涉及角的三角函數(shù)時(shí)，應(yīng)該把這個(gè)角放在直角三角形中來考慮，如果這個(gè)角不在直角三角形中，可以在其他直角三角形中用它的等角來替換，最終把三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形邊的比值來解答.(16年中考)11、如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E．(1)求證：AC平分∠DAB；(2)連接BE交AC于點(diǎn)F，若cos∠CAD＝，求的值．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系的應(yīng)用【答案】(1)略；(2)【解析】（1）證明：連接OC，則OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：連接BE交OC于點(diǎn)H，易證OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝，