四川省內(nèi)江市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)文科試題（解析版）

內(nèi)江市高中2024屆第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）1．本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答第Ⅰ卷時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；答第Ⅱ卷時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.集合的子集個(gè)數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合P，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以集合A的子集個(gè)數(shù)為.故選：D2.已知是虛數(shù)單位，，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】依題意，，，所以.故選：C3.已知向量，，若，則值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，即，代入即可求解.【詳解】已知向量，，若，則，即，所以的值為.故選：C4.三個(gè)不互相重合的平面將空間分成個(gè)部分，則的最小值與最大值之和為（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】【分析】求出三個(gè)不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.【詳解】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來分類：（1）三個(gè)平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；（2）兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；（3）三個(gè)平面中沒有平行的平面：（i）三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；（ii）三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4，可將空間分成部分；（iii）三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分，所以三個(gè)不平面將空間分成、、、部分，的最小值與最大值之和為12.故選：B5.如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（）A.3 B.7 C.15 D.31【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由程序框圖代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】循環(huán)前，第一次循環(huán)，，，則，第二次循環(huán)，，，則，第三次循環(huán)，，，則，第四次循環(huán)，，，輸出.故選：C6.在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（）A.25 B.30 C.35 D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，可得，所以.故選：C7.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（）A. B.1或 C. D.1或【答案】D【解析】分析】分以及兩種情況分別進(jìn)行求解即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，若（?dāng)時(shí)，面積一樣），則，，所以；若，設(shè)，則，所以，故，符合題意；綜上：的面積為1或.故選：D8.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】記兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，從中任取兩個(gè)小球可能結(jié)果有，，，，，，，，，，，，，，共種情況，其中滿足兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于的有，，，，共種情況，所以兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于的概率.故選：A9.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M、N、P分別為棱AB、、的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體所得截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過平行畫出截面為正六邊形，然后結(jié)合正三角形面積計(jì)算其面積即可.【詳解】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，，則，.因?yàn)?，所以，同理得?由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得的截面是六邊形.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知截面是邊長為的正六邊形，所求面積.故選：B10.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)問題；由此設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的圖象如圖：當(dāng)直線與圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，則，故此時(shí)，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需滿足，故，故選：D11.已知雙曲線，以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取中點(diǎn)B，連接AB，得，利用點(diǎn)到直線距離求出，根據(jù)建立關(guān)系即可求出.【詳解】如圖，取中點(diǎn)B，連接AB，則，且，則點(diǎn)Aa,0到漸近線的距離為，，，結(jié)合可得，則，解得：（舍去）或，則.故選：D.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用賦值法對進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.【詳解】令，得，即，令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，得，，或，若，解得與已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函數(shù)的周期為4..故選：A第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則在處的切線方程是__________．【答案】【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線方程點(diǎn)斜式得到答案.【詳解】由，得，，又，在處的切線方程為，即.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為______.【答案】1【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，結(jié)合的幾何意義可求最值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖陰影部分所示：聯(lián)立，解得，得A0,-1，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)直線過點(diǎn)A0,-1時(shí)，直線與軸的截距最小，取得最大值，最小值為.故答案為：115.若函數(shù)是奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，結(jié)合分段函數(shù)分段探討求解即得.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，，則，所以，.故答案為：16.在中，角A的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，若，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程，結(jié)合基本不等式的妙用即可得解.【詳解】依題意，，設(shè)，依題意AD是角A的角平分線，，所以，，由三角形的面積公式得，整理得，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）17.2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024?內(nèi)江市中區(qū)新春極光焰火草地狂歡節(jié)”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節(jié)目．前5場的觀眾人數(shù)（單位：萬人）與場次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：場次編號12345觀眾人數(shù)0.70.811.21.3（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個(gè)等次的票價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關(guān)．購買A等票購買非A等票總計(jì)男性觀眾50女性觀眾60總計(jì)100200參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416635【答案】（1）（2）表格見解析，沒有【解析】【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法計(jì)算回歸直線即可；（2）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表即可，再由卡方公式及獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判定結(jié)果即可.【小問1詳解】由表格可知，，，所以，則；【小問2詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全表格如下：

購買A等票購買非A等票總計(jì)男性觀眾405090女性觀眾6050110總計(jì)100100200所以，故沒有的把握認(rèn)為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關(guān).18.已知等差數(shù)列an的公差為4，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列an、b（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解等差數(shù)列an的首項(xiàng)，即可求解，由得，兩式相減得，再驗(yàn)證，最后利用等比數(shù)列的定義求解即可.（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.【小問1詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，又，即，解得，故，由已知，故，兩式相減，得，又，解得，所以，所以數(shù)列bn是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1）得，故，則，兩式相減得，故.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD直角梯形，且，，，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）若PD與平面PBC所成的角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PB的中點(diǎn)M，連接AM.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）取PC的中點(diǎn)N，連接MN、DN，利用平行四邊形性可得，則有平面，利用線面角的定義得是PD與平面PBC所成的角，再利用等體積法求解體積即可.【小問1詳解】取PB的中點(diǎn)M，連接AM.∵，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.∵底面ABCD是直角梯形，且，∴，∴.又，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.【小問2詳解】取PC的中點(diǎn)N，連接MN、DN，則，.∴四邊形AMND是平行四邊形，則.又平面，∴平面，則是PD與平面PBC所成的角，即，在中，.在直角梯形ABCD中，，∴，∴，∴，在中，，∴是等邊三角形，從而.∴.故所求三棱錐的體積為.20.已知函數(shù)，.（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性及最小值，然后構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最大值，結(jié)合恒成立列式求解即可.（2）由（1）可知，令，利用累加法求和即可.【小問1詳解】由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴?dāng)時(shí)，f'x<0，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，∴，由已知恒成立，所以，.令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴，又∵，∴，即，∴，故a的取值集合為.【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，即，∴（當(dāng)時(shí)，“＝”成立），令，，則，即，故，，…，，由累加法可得，即.21.已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn).（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求解，即可求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線AB的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，推出兩切線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)，點(diǎn)，從而求出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長公式求出MN,PQ，代入運(yùn)算化簡即可證明.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為：，設(shè)，則，所以，故拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】易知拋物線E的焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為，Ax1,y聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，接下來證明拋物線E在點(diǎn)A處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，即，所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點(diǎn)，所以，AC的方程為，同理可知，直線BD的方程為，在直線AC的方程中，令，可得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，同理可得，所以，故為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)，用2B鉛筆將所選題號涂黑．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和的普通方程，并指出曲線和所表示的曲線類型；（2）若曲線和交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)在曲線上，且的面積為，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【答案】（1）的普通方程為，表示以為圓心，1為半徑的圓；的普通方程為，表示過點(diǎn)，斜率為的直線；（2）或【解析】【分析】（1）利用消參法可求出曲線的普通方程，并判斷曲線類型，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可求得的普通方程，并判斷曲線類型；（2）求出，設(shè)，利用三角形面積即可求得答案.【小問1詳解】由于曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），故消去α可得曲線的普通方程為，即曲線表示以為圓心，1為半徑的圓；曲線的極坐標(biāo)方程為，將代入得的普通方程為，即曲線表示過點(diǎn)，斜率為的直