【青松雪】中考數(shù)學幾何模型【模型03】對角互補模型

初中數(shù)學（北師大版）中考數(shù)學幾何模型【模型03】對角互補模型主講人：王建林【模型介紹】

對角互補模型：指在四邊形中，如果有一組對角互補，此時該四邊形的邊、角、對角線、面積等，會存在一些特定的結論．這樣的四邊形也稱為“對角互補四邊形”，即我們后面要研究的圓的內接四邊形．

對角互補模型包含“全等型”和“相似型”兩種，初一階段主要研究前者，即我們通常所說的“鄰等對補四邊形”，初三階段研究后者．

對角互補的類型主要有：含90°+90°

的對角互補，含60°+120°

的對角互補，或其他類型，種類不同得出的個別結論會有所差別．

解決此類問題常用到的輔助線作法主要有兩種：旋轉法或作垂線．【模型介紹】“全等型”對角互補模型【類型一】含90°+90°

的對角互補模型【結論】③

OC平分∠AOB；④

；⑤.【條件】①∠AOB=∠DCE=90°；②CD=CE．【說明】條件①給出對角互補，條件②給出鄰邊相等，結論③得出角平分

線．這三個條件實際上可以任意組合，知二推一．結論④⑤則是?？嫉模灸Ｐ徒榻B】“全等型”對角互補模型【類型一】含90°+90°

的對角互補模型【條件】①∠AOB=∠DCE=90°；②CD=CE．【結論】③

OC平分∠AOB；④

；⑤.【模型介紹】“全等型”對角互補模型【類型二】含60°+120°

的對角互補模型【條件】①∠AOB=120°，∠DCE=60°；②CD=CE．【結論】③

OC平分∠AOB；④OD+OE=OC；⑤.【模型介紹】“全等型”對角互補模型【類型二】含60°+120°

的對角互補模型【條件】①∠AOB=120°，∠DCE=60°；②CD=CE．【結論】③

OC平分∠AOB；④OE-OD=OC；⑤.【模型介紹】“相似型”對角互補模型【類型三】相似型對角互補模型(本質是四點共圓，旋轉相似)【典型例題】【例1】(1)如圖，在四邊形

ABCD

中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若這個四

邊形的面積為12，則BC+CD=_______.(2)如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD

于點

E，且四邊形

ABCD

的面積為8，則BE

的長為_______.(3)如圖，在△ABC中，∠BAC=70°，延長

BC

至點

D，使

CD＝CA，連

接AD，過點

C作

AD的垂線，交∠ABC的平分線于點

E，則∠CDE的度

數(shù)為_______.【例2】如圖，在正方形

ABCD

中，對角線

AC、BD

交于點

O，點

E、F

分

別在

AB、BC

上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點

M，

OF、AB的延長線交于點

N，連接

MN．(1)求證：OM=ON；(2)若正方形

ABCD的邊長為4，E為

OM

的中點，求

MN

的長．【典型例題】【典型例題】【例3】定義：一組鄰邊相等且一組對角互補的四邊形叫做等補四邊形．(1)如圖1，△ABC

是等邊三角形，在

BC

上任取一點

D(B、C

除外)，連

接AD，我們把△ABD繞點

A

逆時針旋轉60°，則

AB與

AC

重合，點

D

的

對應點

E，請根據(jù)給出的定義判斷：四邊形

ADCE

(選擇是或不是)

等補四邊形．(2)如圖2，等補四邊形

ABCD

中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若

S四邊形ABCD=8，求

BD的長．(3)如圖3，在四邊形

ABCD

中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=4，求四

邊形

ABCD

面積的最大值．【典型例題】【例4】(1)如圖①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同學從

P

點分別向

OA、OB作垂線

PE、PF，由此得到正方形

OFPE，與△PED

全等的三角形是

；(2)如圖②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，

OC=2，求

OP的長；(3)如圖③，點

P

是正方形

ABCD

外一點，∠CPD=90°，∠PCD=30°，

對角線

AC、BD交于點O，連接

OP，若OP=8，求正方形ABCD的面積．【典型例題】【例5】(1)如圖，在矩形

ABCD

中，AB=3，BC=5，點

E

在對角線

AC

上，

連接

BE，過點

E作

EF⊥BE交線段

DC

于點

F，則

EF:BE=

；(2)如圖，在

Rt△ABC

中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，另一個Rt△MPN

如圖這樣放置，∠MPN=90°，點

P在

AC上，PM交

AB于點

E，PN交

BC于點F，當

PE=2PF時，則AP=

．【典型例題】【例6】探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D

是

AB

邊上一點，且

AD:BD=1:n(

n為正

整數(shù)

)，E

是

AC

邊上的動點，過點

D

作DE

的垂線交直線BC

于點

F.

(1)

如圖1，當n=1時，興趣小組探究得出結論：

，請寫出證明過程；

(2)①如圖2，當n=2，且點

F

在線段BC

上時，試探究線段AE、BF、AB

之間的數(shù)量

關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE、BE、AB

之間數(shù)量關系的一般結論

(直接寫出結論，不必證明

).

(3)

如圖3，連接

EF，設

EF

的中點為M，若

，求點

E

從點

A

運動到點

C

的

過程中，點

M

運動的路徑長

(

用含

n

的代數(shù)式表示

).(2023年成都中考26題

)【課堂小結】【變式練習】【變式1】如圖，正方形

ABCD

的邊長為6，點

O是對角線

AC，BD的交

點，點

E

在

CD

上，且

DE=2CE，連接BE，過點

C作

CF⊥BE，垂足為

點F，連接OF．(1)求

CF

的長；(2)求

OF的長．【變式2】已知，點

P

是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線

OM于點

A，

將射線

PA

繞點

P

逆時針旋轉交射線

ON

于點

B，且使∠APB+∠MON=180°．(1)利用圖1，求證：PA=PB；(2)如圖2，若點

C是

AB與

OP的交點，當S△POB=3S△PCB

時，求PB

與

PC

的比值；(3)若∠MON=60°，OB=2，射線AP

交ON

于點

D，且滿足∠PBD=∠ABO，請借

助圖3補全圖形，并求

OP的長．【變式練習】【變式練習】【變式3】定義：有一組對角互補的四邊形叫做對補四邊形．(1)如圖①，四邊形

ABCD是對補四邊形，且對角線BD平分∠ABC，則

AD和

CD的

數(shù)量關系是

；(2)如圖②，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝60，CD平分∠ACB與

AB交于點

D，E為邊

AC上的一點，連接

DE，作

DF⊥DE與

BC交于點

F．①如果AD＝20，求四邊形CFDE的面積；②如圖③，設

AD的長為

x，陰影部分的面積為

y，求

y與

x的函數(shù)關系式；(3)如圖③，在(2)的條件下，直接寫出陰影部分面積的最大值．【變式4】“如圖1，在

Rt△ABC

中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點

D”.

這里，根據(jù)已

學的相似三角形的知識易證

CD:BD=AC:BC，在圖

1

這個基本圖形的基礎上，繼

續(xù)添加條件“如圖2，點

E

是直線AC

上一動點，連接

DE，過點

D

作

FD⊥ED，交

直線

BC

于點

F，設

AC:BC=n:m；

(1)

如圖2，若

m=n，點

E

在線段AC上，則

DE:DF=

；

(2)

①如圖3，若點

E

在線段

AC上，則

DE:DF=

(用含m、n

的代數(shù)式表