《數(shù)學(xué)分析》(2)復(fù)習(xí)

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多元函數(shù)微分學(xué)★

《數(shù)學(xué)分析》〔2〕復(fù)習(xí)〔課本ch13,ch14,ch15,ch16〕

2.求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，全微分3.了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求由方程或方程組所確定的多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)〔包括二階偏導(dǎo)數(shù)〕1.判定一個(gè)二元函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在、是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)及他們之間的關(guān)系考試要求4.求二元函數(shù)的極值，用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，最值問題數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)一、多元函數(shù)微分學(xué)中的根本概念及其聯(lián)系數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)★多元函數(shù)微分學(xué)基此題型二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——求帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——求隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)與全微分五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——變量替換下方程的變形六、多元函數(shù)的極值與最值問題重難點(diǎn)一、多元函數(shù)微分學(xué)中的根本概念及其聯(lián)系1.二元函數(shù)的極限數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)是以“任意方式”題型一：求極限常用方法：等價(jià)無窮小代換；利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量，

兩邊夾定理.題型二：證明重極限不存在

常用方法：沿不同路徑極限不同（如：沿過點(diǎn)的直線）；2)沿某一路徑極限不存在.=e

練習(xí)=0(4)

證明二重極限不存在數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)2.討論函數(shù)的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性、可微性連續(xù)可微

可微的判定:必要條件:與都存在;充分條件:和在連續(xù);是否為零?ii〕用定義判定可微性：一、多元函數(shù)微分學(xué)中的根本概念及其聯(lián)系數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)一、多元函數(shù)微分學(xué)中的根本概念及其聯(lián)系偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在極限存在數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)定義

若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，一元函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：對(duì)于x的偏改變量二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)★計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的方法：求多元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將其他變量看成常數(shù)，再用一元函數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)此變量求導(dǎo)，即可得到偏導(dǎo)數(shù)。多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是“在固定其他自變量的前提下，對(duì)某個(gè)自變量求導(dǎo)數(shù)”的問題。★全微分：全微分=各個(gè)偏微分之和二元函數(shù)三元函數(shù)二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分?jǐn)?shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，“分線相加，連線相乘”“分路偏導(dǎo)，單路全導(dǎo)”對(duì)抽象或半抽象函數(shù)，注意1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)2.全微分形式不變性三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——求帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分?jǐn)?shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)1.設(shè),其中f(u,v)可微，求：。2.

設(shè)函數(shù)z=f(x+y,x-y,xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與。練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——求隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)與全微分對(duì)于一個(gè)方程的隱函數(shù)求導(dǎo)，解題方法有如下二種：〔1〕公式法那么；〔2〕推導(dǎo)法。1、隱函數(shù)存在定理2、隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)的個(gè)數(shù)=方程的個(gè)數(shù)隱函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)?方程的個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)(1)［公式法］(2)［推導(dǎo)法］(直接法)——方法步驟③①②

x、y、z等各變量地位等同公式不必記,要求掌握［推導(dǎo)法］方法1將方程(組)兩邊同時(shí)對(duì)某個(gè)自變量求(偏)導(dǎo)；方法2將方程(組)兩邊同時(shí)取微分.數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)1.A.只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)B.可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)C.可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)D.可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)D練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)2.

設(shè)z=f(x,y)由方程確定,則練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法——變量替換下方程的變形2.練習(xí)數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)六、多元函數(shù)的極值1、無條件極值二元函數(shù)：(極值必要條件)如果z

f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。使一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)極值點(diǎn)未必是駐點(diǎn)，數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)時(shí),具有極值1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.極值的求法第一步：求駐點(diǎn)第二步：判定〔對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，求〕數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)六、多元函數(shù)的極值2、條件極值拉格朗日乘數(shù)法設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件數(shù)學(xué)分析〔2〕——多元函數(shù)微分學(xué)2