新高考一輪復習導學案第66講 拋物線的標準方程與性質（原卷版）

第66講拋物線的標準方程與性質一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．二、拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)三、與焦點弦有關的常用結論設A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).(4)以AB為直徑的圓與準線相切．1、設SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<02、設F為拋物線C:y2=4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若AFA．2 B．22 C．3 D．3、若拋物線SKIPIF1<0的焦點到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44、已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．95、已知點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的準線的距離為．6、已知SKIPIF1<0為坐標原點，拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一點，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的準線方程為．1、拋物線y＝2x2的準線方程為()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－12、拋物線y2＝x上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03.(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為2，則下列結論中正確的是()A.焦點F的坐標為(1，0)B.過點A(－1，0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點C.直線x＋y－1＝0與拋物線C相交所得弦長為8D.拋物線C與圓x2＋y2＝5交于M，N兩點，則MN＝44.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，直線l：x＝2交拋物線C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，則拋物線C的方程為________．考向一拋物線的定義及其應用例1(1)已知拋物線定點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線x－y＋2＝0上，則拋物線方程為____．(2)動圓過點(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為____．變式1、過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的任意一條直線m，交拋物線于P1，P2兩點，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準線相切．方法總結：與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化．(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．考向二拋物線的標準方程及其幾何性質例2、頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標準方程是________________________．變式1、已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過點F的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．變式2、（1）設拋物線y2＝2px的焦點在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準線方程為()A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1（2）已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，準線為l，點P(4，y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點，且|PK|＝eq\r(2)|PF|，則y0＝________，p＝________.方法總結：1．求拋物線標準方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．2．拋物線性質的應用技巧(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程．(2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算1、已知拋物線y2＝4x的焦點為點F，點A(－1，0)，拋物線上點P滿足PA＝eq\r(,2)PO，O為坐標原點，則PF的長等于A．1B．eq\r(,2)C．2D．eq\f(\r(,2),2)2、拋物線y2＝2x上兩點A，B與坐標原點O構成等邊三角形，則該三角形的邊長為______．3、已知F是拋物線eqC：y\s\up6(2)＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M為FN的中點，則|FN|＝．4、已知拋物線C：SKIPIF1<0的焦點為F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是C上兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．25、已知SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．6 D．96、已知直線SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點，且與該拋物線交于SKIPIF1<0兩點.若線段SKIPIF1<0的長為16，SKIPIF1<0的中點到SKIPIF1<0軸距離為6，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）的面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．