新高考一輪復習導學案第63講 圓與圓的位置關(guān)系（解析版）

第63講圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解2、常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．1、（2022?新高考Ⅰ）寫出與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程．【答案】SKIPIF1<0（填SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都正確）．【解析】圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，如圖：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負值舍去），則SKIPIF1<0；由圖可知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一個交點為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，該點關(guān)于SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得對稱點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程為：SKIPIF1<0（填SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都正確）．故答案為：SKIPIF1<0（填SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都正確）1、若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2、圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為C1(－1,2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3.3、圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－1)2＋(y－4)2＝9的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離【答案】C【解析】由題意，得兩圓心距離d＝5，r1＋r2＝2＋3＝5，所以兩圓外切．4、已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圓C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，則圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程為_______________________________．【答案】4x＋3y－23＝0【解析】圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.考向一圓與圓的位置關(guān)系例1、已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【解析】兩圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當兩圓外切時，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11).(2)當兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑eq\r(11)小于兩圓圓心距5，故只有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).(3)當m＝45時，4－eq\r(11)＜|MN|＝5＜eq\r(11)＋4，兩圓相交，其兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦長為2eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq\r(7).變式1、（1）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為________．【答案】eq\f(9,4)【解析】由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根據(jù)基本不等式，得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，當且僅當a＝b時等號成立．故ab的最大值為eq\f(9,4).（2）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1，則a2＋b2的最小值為__________．【答案】eq\f(1,2)【解析】由圓C1與圓C2內(nèi)切，得eq\r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝1，即(a＋b)2＝1.又由基本不等式eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，可知a2＋b2≥eq\f((a＋b)2,2)＝eq\f(1,2)，當且僅當a＝b時等號成立，故a2＋b2的最小值為eq\f(1,2).變式2、(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是____________．(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________．【答案】：(1)x－2y＋4＝0(2)2(3)x＝eq\f(3,2)【解析】：(1)兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0．(2)兩圓圓心距d＝eq\r(74)＜eq\r(66)＋eq\r(64)，∴兩圓相交，故有2條公切線，(3)⊙O的圓心為(0，0)，半徑為eq\r(2)，⊙O′的圓心為(4，0)，半徑為eq\r(6)，設(shè)點P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質(zhì)得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化簡得x＝eq\f(3,2)方法總結(jié)：(1)判斷兩圓的位置關(guān)系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法．(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq\f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．考向二圓與圓的綜合問題例2、（2022·山東臨沂·高三期末）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則（）A．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點處的切線C．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交 D．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切【答案】ABD【解析】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為1，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為2，觀察圖象可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，A對，∵SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，又SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑為1，∴直線SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點處的切線，B對，∵點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑為2，∴直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相離，C錯，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，D對，故選：ABD.變式、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圓O的方程為SKIPIF1<0，P是圓C：SKIPIF1<0上一點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A、B，則SKIPIF1<0的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，設(shè)PA與PB的夾角為2α，則|PA|=|PB|=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．P是圓C：SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時P的坐標為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時P的坐標為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.方法總結(jié)：圓與圓的綜合題目涉及到參數(shù)的問題，解題思路就是通過圓與圓的位置關(guān)系，尋求參數(shù)之間的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想進行解決1、（2022年重慶市巴蜀中學高三模擬試卷）圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的圓為SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0有公共點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又設(shè)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.又兩圓有公共點，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2、（2022·山東棗莊·高三期末）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩式相減：得過SKIPIF1<0兩點的直線方程：SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<03、（深圳市羅湖區(qū)期末試題）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0公共弦長為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】聯(lián)立兩個圓的方程SKIPIF1<0，兩式相減可得公共弦方程SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到公共弦的距離為SKIPIF1<0，公共弦長為SKIPIF1<0.故選:SKIPIF1<0.4、（2022年重慶市第八中學高三模擬試卷）（多選題）若過點SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0與兩坐標軸都相切，且與過點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的直線相離，設(shè)SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的動點，則下列說法正確的是（）A.圓心SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0面積的最大值為22C.當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0D.不存在點SKIPIF1<0使SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【詳解】由題意知圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標為SKIPIF1<0，則圓的半徑為SKIPIF1<0，圓的標準方程為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相離，所以圓心的坐標為SKIPIF1<0，A錯誤；因為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正確；當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，由對稱性或勾股定理可得SKIPIF1<0，C正確；假設(shè)存在點SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的動點，當圓心SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當圓心