廣東省深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高一下第二次月考數(shù)學(xué)試題命題：張濤濤審題：林凱標(biāo)時(shí)間：120分鐘分值：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.-2B.C.2D.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（）A.1B.C.D.4.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化“暨”喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的（）①的值為0.005；②估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人；③估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；④估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86.A.②③B.①③④C.①②④D.①②③5.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若是異面直線，，則6.在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（）A.B.C.D.7.解放碑是重慶的標(biāo)志建筑物之一，因其特存的歷義內(nèi)涵，仍牽動(dòng)著人們敬仰的目光，在海內(nèi)外具有非凡的影響.為了測(cè)量其高度，在地面上共線的三點(diǎn)處分別測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為，且，則解放碑的高約為（）A.B.C.D.8.如圖，中，與交于，則為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的按比例給分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則以下說(shuō)法正確的是（）A.是鈍角三角形B.的面積是的面積的2倍C.是等腰直角三角形D.的周長(zhǎng)是10.在中，角所對(duì)的邊分別為，下列命題是真命題的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則只有一解C.若，則D.若為銳角三角形，則11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.直線為異面直線B.二面角的余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為9三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式組的解集為__________.13.若10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是__________.14.如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知向量滿足.（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求在方向上的投影向量.16.（15分）某科研課題組通過(guò)一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡(jiǎn)稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表及頻率分布直方圖：周跑量周）人數(shù)周跑量周人數(shù)100150120601303018010220（1）請(qǐng)補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖；（2）將周跑量在區(qū)間內(nèi)的跑步愛好者依次記為三個(gè)組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個(gè)組中抽取40人，求這三個(gè)組分別抽取的跑步愛好者人數(shù)；（3）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，估計(jì)樣本的下四分位數(shù)?眾數(shù)及平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）.17.（15分）銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍.18.（17分）如圖所示，已知平面平面為等邊三角形.為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求直線和平面所成的角的正弦值.19.（17分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（1）求的值；（2）判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍高一下第二次月考數(shù)學(xué)參考答案1234567891011CBBBCDBACDACDBC1.【答案】C【詳解】由題意可得.故選：C2.【答案】B【詳解】由題設(shè)，，又，解得.3.【答案】B【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，因，即，即，則，解得，因此，，所以.4.【答案】B【詳解】對(duì)于①，由，得.故①正確；對(duì)于②，估計(jì)成績(jī)低于60分的有人.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由眾數(shù)的定義知，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故③正確；對(duì)于④，設(shè)這組數(shù)據(jù)第85百分位數(shù)為，則，解得：，故④正確.故選：B5.【答案】C【詳解】對(duì)于A，利用垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行，可知A正確；對(duì)于B，利用平行于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，可知B正確；對(duì)于相交時(shí)，若與交線平行，則，故C不正確；對(duì)于D，若是異面直線，，可得內(nèi)的兩條相交直線平行于，則，故D正確.故選：C.6.【答案】D【詳解】如圖，分別是正三棱柱上?下底面中心，是棱柱的高，則的中點(diǎn)是該三棱柱外接球的球心，外接球半徑.其中.點(diǎn)為外接圓圓心，為外接圓半徑，為正三角形，（是邊中點(diǎn)）.所以外接球半徑.從而外接球體積為.故選：D.，7.【答案】B【詳解】由題知，設(shè)，則，又，所以在中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得.故選：B.8.【答案】A【詳解】，，同理，向量還可以表示為，所以解得，所以，所以，所以為，故選：A.9.【答案】CD【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，在原圖形中，為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，，則是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示：所以的周長(zhǎng)是，面積是4，故A錯(cuò)誤，C，D正確.在中，，過(guò)作軸垂線，垂足為，所以，所以的面積是的面積是的面積是的面積的倍，故B錯(cuò)誤.故選：CD10【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由，由正弦定理可得，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以為等腰三角形，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，所以有兩解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，有正弦定理可得，則，即，因?yàn)?，則，可得，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若為銳角三角形，則，可得，且，則在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以，故D正確.故選：ACD.11【答案】BC【詳解】對(duì)于A，連接，則為矩形，則，而點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，故，則四點(diǎn)共面，故直線，不是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交于點(diǎn)，連接平面，平面，故，又平面，故平面，即為二面角的平面角，又，故，B正確；對(duì)于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而，故，C正確；對(duì)于D，連接，則，則梯形即為過(guò)點(diǎn)，的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為，D錯(cuò)誤，故選：BC12.【答案】【詳解】由題意，不等式，即，解得或；又由，即，解得，所以不等式的解集為或.即原不等式的解集為.13.【答案】80【詳解】由題意可設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)為，其方差為，則，故，故答案為：80.14.【答案】【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得：，因?yàn)椋晒垂啥ɡ砟娑ɡ淼茫海彼睦庵?，底面為平行四邊形，故，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），故為直徑，取的中點(diǎn)，則為三棱錐的外接球球心在平面的投影，設(shè)與相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，連接，則因?yàn)?，故，故三角形為等邊三角形，，即為的中點(diǎn)，同理可得：為的中點(diǎn)，連接，則平面，故球心在線段上，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的外接球半徑最小，假如點(diǎn)與或重合，此時(shí)最長(zhǎng)，故三棱錐的外接球半徑最大，如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，設(shè)，則，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)外接球表面積為；如圖2，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，連接，其中，設(shè)，則，由勾股定理得：，，故，解得：，此時(shí)外接球半徑為，故外接球表面積為，但因?yàn)辄c(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），故最大值取不到，綜上：S的取值范圍是.故答案為：15.答案：（1）；（2）.（3）在方向上的投影向量：【解析】【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由，得，所以.故.【小問(wèn)3詳解】由題意得，即，得，所以.因?yàn)?，所以，在方向上的投影向量?6.【答案】（1）答案見解析（2）（3）四分位數(shù)約為21.2，眾數(shù)為32.5，平均數(shù)為28.5【詳解】（1）的頻率為的頻率為，全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖如下：（2）將周跑量在區(qū)間內(nèi)的跑步愛好者依次記為A，B，C三個(gè)組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個(gè)組中抽取40人，區(qū)間內(nèi)的頻率分別為：，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人.（3）由頻率分布表得的頻率為的頻率為，樣本的下四分位數(shù)約為21.2，由頻率分布直方圖得眾數(shù)為，由頻率分布布估計(jì)平均數(shù)為：17.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）方法一：因?yàn)?；又因?yàn)椋?，即；又因?yàn)闉殇J角三角形，所以.方法二：，所以，即則，得；因?yàn)闉殇J角三角形，所以.（2）由正弦定理得：，因?yàn)闉殇J角三角形，所以：，即，所以，即.18.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)是的中位線，，平面平面，，又，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面；（2）平面平面四邊形是矩形，.是正三角形，是中點(diǎn)，.，平面平面平面，平面平面平面（3）取線段的中點(diǎn)，連接且四邊形是平行四邊形，，則直線和平面所成的角就是直線和平面所成的角，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，由（2）知平面平面，又平面平面，