中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題08 尺規(guī)作圖+補(bǔ)全證明過程 解析版

二輪復(fù)習(xí)2023-2024年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題08——尺規(guī)作圖+補(bǔ)全證明過程（重慶專用）1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谥校W(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小明進(jìn)行了拓展性研究．他發(fā)現(xiàn)△ABC的外角∠CBD和外角∠BCE的角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，他猜想AF平分∠BAC，他的解決思路是利用角平分線性質(zhì)，過點(diǎn)F分別向BD、BC、CE作垂線，再證明這∠BAF和∠CAF這兩個(gè)角所在的三角形全等得出結(jié)論．其中小明已經(jīng)完成過點(diǎn)F分別向BD，BC作垂線，請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)F作FK⊥CE于點(diǎn)K．（保留作圖痕跡）己知：如圖，△ABC的外角∠CBD和外角∠BCE的角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，F(xiàn)K⊥CE于點(diǎn)K，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BD于點(diǎn)G．求證：∠BAF=∠CAF．證明：∵BF平分∠CBDFH⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BD于點(diǎn)G∴①∵CF平分∠BCEFK⊥CE于點(diǎn)K，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H∴FH=FK∴②∵FG⊥BD，F(xiàn)K⊥CE∴△AGF，△AKF均為直角三角形．∵AF=AF∴③∴∠BAF=∠CAF由此他得到結(jié)論：三角形兩條④平分線所在直線交點(diǎn)與三角形另一個(gè)頂點(diǎn)連線平分此內(nèi)角．【答案】作圖見解析，①FH=FG；②FG=FK；③Rt△FAG≌【分析】本題主要考查了尺規(guī)做角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分的限制和三角形全等的性質(zhì)和判定判定，同通過FH=FG，F(xiàn)H=FK，證明FG=FK，再證明Rt△FAG≌【詳解】解∵BF平分∠CBD，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BD于點(diǎn)G，∴FH=FG，①∵CF平分∠BCEFK⊥CE于點(diǎn)K，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H∴FH=FK∴FG=FK，②∵FG⊥BD，F(xiàn)K⊥CE∴△AGF，△AKF均為直角三角形．∵AF=AF，F(xiàn)G=FK∴Rt△FAG≌∴∠BAF=∠CAF由此他得到結(jié)論：三角形兩條外角平分線所在直線交點(diǎn)與三角形另一個(gè)頂點(diǎn)連線平分此內(nèi)角．④故答案為：①FH=FG；②FG=FK；③Rt△FAG≌2．（2024上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D：正方形ABCD中，直線l1經(jīng)過點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E(1)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)C作DE的垂線l2，垂足為G，交AD于點(diǎn)F(2)同學(xué)們作圖完成后，通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)DE=CF，并且推理論證了該結(jié)論，請(qǐng)你根據(jù)他們的推理論證過程完成以下證明：如圖：已知正方形ABCD中，DE、CF分別是直線l1，直線l2被一組對(duì)邊截得的線段，當(dāng)DE⊥CF時(shí)，求證：證明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴??????①??????+∠AED=90°∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴②，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF??????③??????∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．同學(xué)們進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，一條直線被正方形的一組對(duì)邊所截得的線段與另一條直線被正方形的另一組對(duì)邊所截得的線段垂直時(shí)均具備此特征，請(qǐng)你依據(jù)題目中的相關(guān)描述，完成下列命題：兩條直線分別被正方形的一組對(duì)邊所截，若所截得的線段④．【答案】(1)見解析(2)①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD④互相垂直，那么這兩條線段相等【分析】本題考查了作圖—基本作圖，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵，也考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．（1）利用基本作圖，過點(diǎn)C作DE的垂線l2（2）先利用等角的余角證明∠AED=∠DFG，然后根據(jù)“ASA”證明△DAE≌△CDF，從而得到結(jié)論【詳解】（1）解：如圖所示，l2（2）證明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴??????∠ADE∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴∠ADE+∠DFG=90°，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF????∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．兩條直線分別被正方形的一組對(duì)邊所截，若所截得的線段互相垂直，那么這兩條線段相等故答案為①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD，④互相垂直，那么這兩條線段相等．3．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谀┰趯W(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小紅進(jìn)行了拓展性探究，她發(fā)現(xiàn)在直角梯形中，如果兩內(nèi)角（非直角內(nèi)角）的角平分線相交于腰上同一點(diǎn)，那么兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)度，她的解決思路是：將問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等使問題得到解決，請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為點(diǎn)F（只保留作圖痕跡）已知：在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AE平分∠BAD，DE平分求證：AB+CD=AD．證明：∵AE平分∠BAD，∴①，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE?△AFE(AAS∴③，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD小紅再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，均有此結(jié)論．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，那么④．【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì)定理，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．以點(diǎn)E為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于AD兩點(diǎn)，再以兩交點(diǎn)為圓心，大于兩交點(diǎn)距離的12為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接該交點(diǎn)與點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=EF，證明Rt△ABE≌Rt△AFE，得到AB=AF，同理可得DC=DF【詳解】解：由題意可畫圖如下：證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE?△AFE(AAS∴AB=AF，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD．小紅再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，均有此結(jié)論．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，那么兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)度．4．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接EF，BF，∠ABD是△ABC的一個(gè)外角．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠ABD的角平分線BG，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG．（只保留作圖痕跡(2)在（1）所作的圖形中，若BE=FE，證明：四邊形AGBF是矩形．（請(qǐng)完成下面的填空）∵BG平分∠ABD，∴①，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴②，∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴③．∵BE=FE，∴④，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴四邊形AGBF是平行四邊形．（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四邊形AGBF是矩形．（⑤）【答案】(1)見解析(2)∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)．掌握矩形的判定是解答本題的關(guān)鍵．（1）以B為圓心，以一定長(zhǎng)度為半徑畫弧交AB、BD于點(diǎn)Q、P，再分別以點(diǎn)Q、P為圓心，以大于QP一半的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)T，連接BT，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，即可；（2）依據(jù)題目已給出的思路進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解∶如圖，（2）證明：∵BG平分∠ABD，∴∠ABG=∠DBG，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴EG=EB．∵BE=FE，∴EG=EF，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴四邊形AGBF是平行四邊形．（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四邊形AGBF是矩形．（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）故答案為：∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；5．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶市松樹橋中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△ABC中，BD是AC邊上的中線，CF⊥BD于點(diǎn)F，(1)尺規(guī)作圖：過A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接AF，(2)在（1）所作圖形中，求證：四邊形AECF是平行四邊形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）證：∵AE⊥BD，∴∠AED=___________=90°．∵BD是AC邊上的中線，∴___________．∵在△AED和△CFD中，∠AED=∠CFD___________，AD=CD∴△AED≌∴___________．∵AD=CD，∴四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)∠CFD；AD=CD；∠ADE=∠CDF；ED=FD【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法進(jìn)行作圖即可；（2）通過證明△AED≌△CFD(AAS【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：∵AE⊥BD，∴∠AED=∠CFD=90°．∵BD是AC邊上的中線，∴AD=CD∵在△AED和△CFD中，∠AED=∠CFD∴△AED≌∴ED=FD∵AD=CD∴四邊形AECF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，平行四邊形的判定；熟練掌握全等三角形的判定方法和平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2024上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，矩形ABCD中，AC為其對(duì)角線．過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E．(1)用直尺和圓規(guī)，作∠CDF，使∠CDF=∠ABE，DF交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G；(2)小明思考此時(shí)的DF是否會(huì)垂直AC，為了探究這個(gè)問題，小明嘗試?yán)米C明三角形全等來推導(dǎo)DF⊥AC．根據(jù)小明的思路，完成以下填空：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，①，∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDFASA∴③．∵BE⊥AC，∴④，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．【答案】(1)見解析(2)①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD【分析】本題考查了作圖?基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)．（1）利用基本作圖作∠CDF=∠ABE；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，則∠BAE=∠DCF，再證明△ABE≌△CDFASA得到∠AEB=∠CFD【詳解】（1）如圖，∠CDF為所作；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCFAB=CD∴△ABE≌△CDFASA∴∠AEB=∠CFD，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．故答案為：①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD，④7．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)了矩形后，小雨借助尺規(guī)找到了直角三角形斜邊的中點(diǎn)，通過倍長(zhǎng)中線構(gòu)造了矩形，然后利用矩形對(duì)角線的性質(zhì)探究出了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：(1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)，在射線BO上截取OD=OB，連接AD、CD(2)在（1）問所作的圖形中，求證：OB=1證明：∵OE垂直平分AC，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴OA=_____．∵OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠ABC=_____，∴四邊形ABCD是_____．∴_____．∵OB=1∴OB=_____．【答案】(1)圖形見解析；(2)OC；90°；矩形；AC=BD，1【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定，矩形的判定等知識(shí)，（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明四邊形ABCD是矩形，可得結(jié)論；解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵OE垂直平分AC，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴OA=OC．∵OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形．∴AC=BD．∵OB=1∴OB=1故答案為：OC；90°；矩形；AC=BD，128．（2024上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┰趯W(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，林林進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊的高重合時(shí)，這個(gè)三角形是等腰三角形，他通過證明三角形全等得到結(jié)論，請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規(guī)，作∠BAC的角平分線交BC于D．（只保留作圖痕跡）(2)已知：如圖：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD⊥BC．求證：AB=AC．證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=①___________．∵AD⊥BC，∴∠BDA=②____________=90°，∴△ABD?△ACDASA∴③__________．林林根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：三角形一邊上的④________________重合時(shí)，這個(gè)三角形是等腰三角形．【答案】(1)詳見解析；(2)∠CAD，∠CDA【分析】本題考查了作圖?基本作圖，等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)角平分線的基本作法作出圖形即可；（2）根據(jù)ASA證明△ABD≌△ACD即可得出結(jié)論；證明△ABD≌△ACD是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖所示；（2）∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA∵AD=AD∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC．林林根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：三角形一邊上的高與中線重合時(shí)，這個(gè)三角形是等腰三角形，故答案為：∠CAD，9．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中AD＞AB．(1)尺規(guī)作圖：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分線交BC于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作圖形中，連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）．證明：∵DF平分∠ADC，∴∵在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，∴∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即又∵∴四邊形BEDF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用基本作圖畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）由角平分線的性質(zhì)得到∠ADF=∠CDF，由平行線的性質(zhì)得到∠ADF=∠CFD，最后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答．【詳解】（1）解：如圖就是所求作的圖形；（2）證明：∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF∵在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，∴∠ADF=∠CFD∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE=BF又∵DE∴四邊形BEDF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，在重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AE∥(1)請(qǐng)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在射線BF上截取BC=AB，作∠ABC的平分線，交AE于點(diǎn)D，連接CD；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AE∥∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC∴①,∴∠ADB=∠ABD,∴②,又∵AB=BC,∴AD=BC,又∵③,∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵④,∴四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)見解析(2)∠ABD=∠CBD，AB=AD,AD∥BC,【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用尺規(guī)作出圖形以及菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖和題目要求作圖即可；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定定理說明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可解答．【詳解】（1）解：如圖即為所求；．（2）證明：

如圖：∵AE∥∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD又∵AB=BC,∴AD=BC,又∵AD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形故答案為：∠ABD=∠CBD，AB=AD,AD∥BC,11．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)重慶市萬州國(guó)本中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．

(1)尺規(guī)作圖：在CB的延長(zhǎng)線上截取BE=BC，連接AE，再過點(diǎn)B作AE的垂線交AE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形AOBF為矩形．證明：∵BF⊥AE∴①∵四邊形ABCD是菱形∴AD∥BC，AD=BC∴∠AOB=90°∵BE=BC∴②又∵AD∴四邊形ADBE為平行四邊形∴③∴∠AFB+∠FBO=180°∴④∴∠AFB=∠AOB=∠FBO=90°∴四邊形AOBF為矩形．【答案】(1)見解析(2)①∠AFB=90°，②BE=AD，③AE∥BD【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可得∠AFB=90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BE=AD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FBO=90°，根據(jù)矩形的判定可得四邊形【詳解】（1）如圖：

作法：延長(zhǎng)CB，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑，在CB的延長(zhǎng)線上畫弧，即為點(diǎn)E；連接AE，分別以A，E為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑，在AE的上方畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)B，與AE交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)F（2）證明：∵BF⊥AE∴∠AFB=90°∵四邊形ABCD是菱形∴AD∥BC，AD=BC∴∠AOB=90°∵BE=BC∴BE=AD又∵AD∴四邊形ADBE為平行四邊形∴AE∴∠AFB+∠FBO=180°∴∠FBO=90°∴∠AFB=∠AOB=∠FBO=90°∴四邊形AOBF為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)要求尺規(guī)作圖．12．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形ABCD中，H為BC邊上一點(diǎn)，連接AH，DH，AC．(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于E（保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若BE=HE，∠BAH=∠CAD，AH為的角平分線．求證：∠ADH=∠ACB．完成下列填空．證明：∵AE⊥BC，BE=HE，∴①____________，∴∠ABH=∠AHB，∵AH為∠BHD的角平分線，∴∠AHD=∠AHB，∴②____________，∴∠BAH=∠CAD，∴∠BAH+∠HAC=∠CAD+∠HAC，即：③____________，∴△ABC≌∴∠ADH=∠ACB．【答案】(1)見解析(2)①AB=AH②∠ABH=∠AHD③∠BAC=∠HAD④△AHD【分析】本題考查了“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”及全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的基本做法作圖，注意垂線是一條直線．（2）根據(jù)三角形的全等的判定定理（ASA）即可補(bǔ)充證明過程．【詳解】（1）如圖所示：點(diǎn)E即為所求：作法：以點(diǎn)A為圓心，大于A到BC的距離長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于M、N兩點(diǎn)，分別以這兩交點(diǎn)為圓心，以AM的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧于直線下方交于點(diǎn)Q，連接AQ，交BC于點(diǎn)E，直線AQ即為BC的垂線．（2）證明：∵AE⊥BC，BE=HE，∴①AB=AH，∴∠ABH=∠AHB，∵AH為∠BHD的角平分線，∴∠AHD=∠AHB，∴②∠ABH=∠AHD，∴∠BAH=∠CAD，∴∠BAH+∠HAC=∠CAD+∠HAC，即：③∠BAC=∠HAD，∴△ABC≌④△AHD∴∠ADH=∠ACB．13．（2023上·重慶江北·九年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對(duì)角線．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，再在CA上截取CF=AE．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接DE、DF、BF，猜想四邊形BEDF的形狀，將下面的推理過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，①∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF（②），∴BE=DF，∴③

∴四邊形DEBF是④．（⑤

）（⑤填推理依據(jù)）【答案】(1)見詳解(2)①AB∥DC②SAS③BE∥DF④平行四邊形⑤一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形【分析】本題考查的是過已知點(diǎn)向已知直線作垂線，作一條線段等于已知線段，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟悉基本作圖的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）先以B為圓心，大于B到AC的距離長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于兩點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為半徑畫弧，得到兩弧的兩個(gè)交點(diǎn)，再過這兩個(gè)交點(diǎn)作直線交AC于E，再在AC上截取CF=AE即可；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=DC，AB∥CD，再證明△ABE≌△CDFSAS，證明∠FEB=∠EFD，可得BE∥DF【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF∴BE=DF，∴BE∥DF∴四邊形DEBF是平行四邊形．（一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形）14．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)四川外國(guó)語大學(xué)附屬外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEN=90°．

(1)尺規(guī)作圖：在射線EN上截取EG=EA，過點(diǎn)G作BM的垂線交BM于點(diǎn)Q．（只保留作圖痕跡）(2)證明BE=GQ．將下面的過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEN=90°∴∠GEQ+∠AEB=90°∴①______∵GQ⊥BM于點(diǎn)Q∴∠GQE=90°∴②______又∵③______∴△ABE≌△EQG（④______）∴BE=GQ【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了基本作圖、矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)．（1）先在邊EN上截取AE=EG，利用基本作圖作GQ⊥BM得到GQ，然后連接GQ即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，再根據(jù)同角的余角相等得出∠BAE=∠QEG，然后根據(jù)垂直的性質(zhì)得出∠ABE=∠EQG，利用AAS可證明△ABE≌△EQG，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）如圖：

即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEN=90°∴∠GEQ+∠AEB=90°∴∠BAE=∠QEG∵GQ⊥BM于點(diǎn)Q∴∠GQE=90°∴∠ABE=∠EQG又∵AE=EG∴△ABE≌△EQGAAS∴BE=GQ．故答案為：∠BAE=∠QEG，∠ABE=∠EQG，AE=EG，AAS．15．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）在三角形ABC中，∠C=90°，AD為邊BC上的中線，小明想以BC為對(duì)角線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形ABEC，做了如下思考：過點(diǎn)B作BC的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE，則四邊形ABEC即為平行四邊形．請(qǐng)你按小明的思路進(jìn)行作圖并證明：四邊形ABEC即為平行四邊形（用基本尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不下結(jié)論）．證明：∵AD為邊BC上的中線∴①又∵BE⊥BC∴②∵∠ACB=90°∴③在△ACD與△EBD中∠ACB=∠EBC∴△ACD≌△EBD(ASA)∴④∴四邊形ABEC為平行四邊形【答案】圖見解析，BD=CD；∠EBC=90°；∠EBC=∠ACB；AD=ED【分析】本題考查作垂線，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)作法描述作出圖形．先證明△ACD≌△EBD(ASA)，得到【詳解】解：如圖，四邊形ABEC即為所作，證明：∵AD為邊BC上的中線∴BD=CD又∵BE⊥BC∴∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠EBC=∠ACB在△ACD與△EBD中∠ACB=∠EBC∴△ACD≌△EBD(∴AD=ED∴四邊形ABEC為平行四邊形16．（2023上·重慶渝北·九年級(jí)重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．(1)用尺規(guī)完成下列基本作圖：在DC上取點(diǎn)E，使DE=AD，連接AE，作∠BCD的平分線交AB于F；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：AE=CF，補(bǔ)充完成下列證明過程（答案填寫在答題對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)位置）．證明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=______，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=______，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=______，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=______，∵CE∥AF，∴四邊形AECF為______，∴【答案】(1)見詳解(2)∠BCF，∠BFC，BF，AF，平行四邊形【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，（1）以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫圓交DC交點(diǎn)為E，再以點(diǎn)C為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧交DC和BC，以交點(diǎn)為圓心大于交點(diǎn)為半徑畫弧，連接點(diǎn)C和交點(diǎn)交AB即為點(diǎn)F；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠DCF=∠BCF，由平行四邊形性質(zhì)得AB∥DC和BC=AD，得到∠BCF=∠BFC，有BC=BF，進(jìn)一步得到CE=AF，即可判斷四邊形AECF為平行四邊形，有結(jié)論成立．【詳解】（1）解：如圖，（2）∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠BCF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=∠BFC，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=AF，∵CE∥∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AE=CF．17．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，已知△ABC，BD平分∠ABC．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，連接DE，DF．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：四邊形BFDE是菱形．證明：∵BD平分∠ABC∴①∵EF垂直平分BD∴BE=DE，GB=GD∴∠1=∠EDB∴∠2=∠EDB∴②在△BGF和△DGE中，∠2=∠EDB∴△BGF≌△DGE（ASA）∴③∵BF∴四邊形BFDE是平行四邊形∵④∴平行四邊形BFDE是菱形【答案】(1)見解析(2)①∠1=∠2，②BF∥ED，③BF=DE【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可，作BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，連接DE，DF；（2）證明△BGF≌△DGE（ASA），然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∵EF垂直平分BD∴BE=DE，GB=GD∴∠1=∠EDB∴∠2=∠EDB∴②BF在△BGF和△DGE中，∠2=∠EDB∴△BGF≌△DGE（ASA）∴③BF=DE∵BF∴四邊形BFDE是平行四邊形∵BE=DE∴平行四邊形BFDE是菱形．故答案為：①∠1=∠2，②BF∥ED，③BF=DE，④【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段BD的垂直平分線EF,EF分別交BD,AD,BC于點(diǎn)O,E，F(xiàn)．連接BE,DF．（只保留作圖痕跡）(2)在（1）問所作的圖形中，求證：四邊形BFDE為菱形．（請(qǐng)完成下面的填空）證明：∵EF垂直平分BD∴①，EF⊥BD∵AD∴②∠EDO=∠FBO∴△EDO≌△FBO∴④∴四邊形BFDE為菱形（兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形）在作圖過程中，進(jìn)一步研究還可發(fā)現(xiàn)，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后，可以得到一個(gè)特殊四邊形，請(qǐng)你依照題意完成下面命題：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后⑤．【答案】(1)見解析(2)①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的基本作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)垂直平分線的定義得出BO=DO，EF⊥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDO=∠FBO，證明△EDO≌△FBOASA，得出EO=FO【詳解】（1）解：如圖，EF為所求作的線段BD的垂直平分線；（2）證明：∵EF垂直平分BD，∴①BO=DO，EF⊥BD，∵AD∴②∠EDO=∠FBO，∵∠EDO=∠FBODO=BO∴△EDO≌△FBOASA∴④EO=FO，∴四邊形BFDE為菱形（兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形）在作圖過程中，進(jìn)一步研究還可發(fā)現(xiàn)，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后，可以得到一個(gè)特殊四邊形，請(qǐng)你依照題意完成下面命題：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后⑤得到的四邊形是菱形．故答案為：①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作垂直平分線，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形全等和菱形的判定方法．19．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且BE=CF．

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)C在線段CD上方作∠DCG=DBE交線段DF于點(diǎn)G（用基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法、不下結(jié)論）(2)在（1）中所作的圖中，證明：AE=AF（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）．證明：∵D為BC邊中點(diǎn)，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴①．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD∴△CDG≌∴③．∵BE=CF∴CF=CG，∴④．又∵∠CGF=∠AEF，∴⑤．∴AE=AF【答案】(1)見解析(2)CG∥BE；∠CDG=∠BDE；CG=BE；∠AFE=∠CGF；∠AFE=∠AEF【分析】（1）以B為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交BD、BE于點(diǎn)M、N，再以C為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)P；以N為圓心，MN長(zhǎng)度為半徑畫弧，再以P為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q，連接CQ，交DF于點(diǎn)G，作圖即可；（2）根據(jù)條件證明△CDG≌△BDEASA【詳解】（1）解：以B為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交BD、BE于點(diǎn)M、N，再以C為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)P；以N為圓心，MN長(zhǎng)度為半徑畫弧，再以P為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q，連接CQ，交DF于點(diǎn)G，如圖所示，

（2）證明∵D為BC邊中點(diǎn)，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴BE∥CG．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD∴△CDG≌∴BE=CG．∵BE=CF∴CF=CG，∴∠CGF=∠CFG．又∵∠CGF=∠AEF，∴∠AEF=∠CFG．∴AE=AF；【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本尺規(guī)作圖的方法，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE交AB于點(diǎn)G.

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)A作線段DE的垂線交DE于點(diǎn)F．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：DF=FG（請(qǐng)補(bǔ)全證明過程）.證明：∵AD∥BE，∴∠DAC=①.在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=∠BCE，CD=②，∴∠CDE=∠CED，∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED，∴∠ADG=∠AGD，∴③．∵AF⊥④，∴DF=FG．【答案】(1)見解析(2)∠B；EC；AD=AG；DG【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的方法作圖即可；（2）先證明△ACD≌△BECSAS，得出∠ADC=∠BCE，CD=CE，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠CDE=∠CED，然后求出∠ADG=∠AGD，進(jìn)而得出AD=AG【詳解】（1）解：如圖，AF為所作；

（2）證明：∵AD∥BE，∴∠DAC=∠B，在△ACD和△BEC中，AC=BE∠DAC=∠CBE∴△ACD≌△BECSAS∴∠ADC=∠BCE，CD=EC，∴∠CDE=∠CED，∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED，∴∠ADG=∠AGD，∴AD=AG，∵AF⊥DG，∴DF=FG.故答案為：∠B；EC；AD=AG；DG．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本尺規(guī)作圖的方法，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，已知矩形ABCD，AB>AD，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作AE的垂線交AE于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接BF，若AF=AB，求證：BF平分∠GBE，為證明BF平分∠GBE，小明的思路是將其轉(zhuǎn)化成證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的定義使問題得到解決．（請(qǐng)根據(jù)小明的思路補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴①______，∴∠ABF=∠BFC，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∴∠BFG=∠BFC，∵②_______，∴∠BGF=90°，∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴③_______，又∵BF＝∴△GBF≌∴∠GBF=∠CBF，∴BF平分∠GBE．【答案】(1)見解析(2)①AB∥CD；②BG⊥AE；③【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——垂線，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握尺規(guī)作圖的基本方法以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)B為圓心畫弧，交AE于M、N，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，弧交點(diǎn)為H，連接BH，BH與AE的交點(diǎn)即為點(diǎn)（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得出∠BFG=∠BFC，∠BGF=∠BCD，從而證明△GBF≌△CBFAAS【詳解】（1）解：如圖，BG即為所求作；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠ABF=∠BFC，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∴∠BFG=∠BFC，∵BG⊥AE，∴∠BGF=90°，∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BGF=∠BCD，又∵BF＝∴△GBF≌∴∠GBF=∠CBF，∴BF平分∠GBE，故答案為：①AB∥CD；②BG⊥AE；③22．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，直線l1∥l2，線段AD分別與直線l1、l2交于點(diǎn)(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段BC的垂直平分線交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F，交線段BC于點(diǎn)O，連接ED、DF、FA、(2)求證：四邊形AEDF為菱形(請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程)，證明：∵l1∥l∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴＿＿＿＿＿＿②≌△FOB，∴OE=＿＿＿＿＿＿③，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四邊形AEDF是＿＿＿＿＿＿④，∵EF⊥AD，∴四邊形AEDF是菱形．【答案】(1)見解析(2)∠2；△EOC；OF；平行四邊形【分析】本題考查作圖-基本作圖，菱形的判定等知識(shí)；（1）利用基本作圖作EF，以B，C分別為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所在直線，交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F，交線段BC于點(diǎn)O，連接ED、DF、FA、（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可．【詳解】（1）解：以B，C分別為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所在直線，交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F，交線段BC于點(diǎn)O，連接ED、DF、FA、如圖所示，即為所求：（2）證明：∵l1∴∠1=∠2，∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴△EOC≌∴OE=OF，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵EF⊥AD∴四邊形AEDF是菱形．故答案為：∠2；△EOC；OF；平行四邊形．23．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)平行四邊形后，小函進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，平行四邊形ABCD中，在DC邊上截DF=DA，連接AF，作∠BCD的角平分線交AB于點(diǎn)E，則AF=CE．她的解決思路是通過證明兩條線段所在的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖和填空：用直尺和圓規(guī)，在DC邊上截DF=DA，連接AF，作∠BCD的角平分線CE，交AB于點(diǎn)E（只保留作圖痕跡）．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DA=DF，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E．求證：AF=CE．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ECF=______，①∵CE平分∠BCD，∴∠ECF=______，②∴∠CEB=∠ECB，∴BE=BC∵AD=DF，∴BE=______，③∴AB?BE=______，④∴AE=CF∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴AF=CE．【答案】作圖見解析；∠CEB,∠ECB,DF,CD?DF【分析】作圖見解析；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD,AB=CD,AD=BG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ECF=∠CEB，根據(jù)角平分線的得到∠ECF=∠BCE，求得∠CEB=∠ECB，得到BE=BC，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形【詳解】解：如圖所示；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∴∠ECF=∠CEB,∵CE平分∠BCD,∴∠ECF=∠BCE,∴∠CEB=∠ECB,∴BE=BC,∵AD=DF,∴BE=DF，∴AB?BE=CD?DF，∴AE=CF.∴四邊形AECF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，∴AF=CE．故答案為：∠CEB,∠ECB,DF,CD?DF．24．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB=AC，∠ABC=72°．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F(只保留作圖痕跡)；(2)在（1）所作的圖形中，求證：AB=FB．(思路是通過證明兩個(gè)三角形全等得出對(duì)應(yīng)線段相等，請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程．)證明：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ACB=∠ABC=72°．.∠BAC=180°?∠ACB?∠ABC=36°．∵．∴∠ABE=∠FBC?∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°．又∠ACB=72°，∴．∴BE=BC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠BFC=∠ABE=36°∴∠BAE=∠BFC．在△ABE和△FBC中，∠ABE=∠FBC∠BAE=∠BFC∴△ABE≌△FBC(AAS∴AB=FB．【答案】(1)見解析(2)BE平分∠ABC，∠BEC=∠BCE，AB∥CD，BE=BC【分析】本題考查作圖之復(fù)雜作圖（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明△ABE≌△FBC(AAS)，可得【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ACB=∠ABC=72°．.∠BAC=180°?∠ACB?∠ABC=36°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBC?∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°．又∠ACB=72°，∴∠BEC=∠BCE．∴BE=BC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BFC=∠ABE=36°∴∠BAE=∠BFC．在△ABE和△FBC中，∠ABE=∠FBC∠BAE=∠BFC∴△ABE≌△FBC(AAS∴AB=FB．故答案為：BE平分∠ABC，∠BEC=∠BCE，AB∥CD，BE=BC．25．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是平行四邊形，BD是對(duì)角線．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在邊AD的下方作射線AE，使∠DAE=∠1，射線AE分別交BD于點(diǎn)O，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE．（只保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，證明：AB=DE，（請(qǐng)完成下面的填空）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴①，∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=②．∵∠1=∠DAE，∴③，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，④∵⑤∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．【答案】(1)見解析(2)①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD【分析】本題考查了作圖——作一個(gè)角等于已知角，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角∠DAE=∠1的方法作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定可得答案．【詳解】（1）解：如圖，射線AE即為所求，

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠1．∵∠1=∠DAE，∴∠1=∠AEB，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，OA=OD，∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．故答案為：①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD；⑤26．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB(1)尺規(guī)作圖：作線段BC的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作圖中，證明四邊形ABED為菱形，完成下列填空．證明：∵EF垂直平分BC，∴______．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（______），∴DE=BE，∴DE=______，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四邊形ABED是______．∵DE=______．∴四邊形ABED為菱形．【答案】(1)圖見詳解(2)BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四邊形，BE【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵；（1）分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩個(gè)點(diǎn)，分別交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)（2）由（1）易得BE=EC，然后可得DE=BE，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定定理可進(jìn)行求解【詳解】（1）解：所作圖形如圖所示：（2）證明：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（等角的余角相等），∴DE=BE，∴DE=CE，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四邊形ABED是平行四邊形．∵DE=BE．∴四邊形ABED為菱形；故答案為BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四邊形，BE．27．（2023下·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┰跀?shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：如圖，∠B=160°，當(dāng)∠A與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，BC∥DE?小明認(rèn)為∠D?∠A=20°時(shí)BC∥DE，他解答這個(gè)問題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：解：用直尺和圓規(guī)，在DA的右側(cè)找一點(diǎn)M，使∠DAM=∠D（只保留作圖痕跡）．∵∠DAM=∠D，∴①_____________∵∠D?∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________∴BC∥DE．所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D?∠A=20°時(shí)，BC∥DE．【答案】①DE∥AM，②20，③180【分析】首先根據(jù)作一個(gè)角等于已知角進(jìn)行尺規(guī)作圖，然后再題目步驟的引導(dǎo)下，將空白處補(bǔ)充完整即可．【詳解】解：如圖，通過尺規(guī)作圖得：∠DAM=∠D，∵∠DAM=∠D，∴①DE∥∵∠D?∠DAB=20°，∴∠BAM=②20°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③180°，∴④BC∥∴BC∥DE．所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D?∠A=20°時(shí)，BC∥DE．故答案為：①DE∥AM，②20，③180，④【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法、尺規(guī)作圖（作一個(gè)角等于已知角）等知識(shí)點(diǎn)，平行線判定方法的熟練掌握是解題關(guān)鍵．28．（2023下·重慶九龍坡·九年級(jí)四川外國(guó)語大學(xué)附屬外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為AD邊上的一點(diǎn)，連接AC，CE．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)E作EF垂直AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接AF，若BF=DE，證明：四邊形AECF為菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴①∵BF=DE∴BC?BF=AD?DE即②∵BC即AE∥CF∴四邊形AECF為③又∵④∴四邊形AFCE為菱形．【答案】(1)見解析(2)①BC=AD；②CF=AE；③；平行四邊形；④EF⊥AC【分析】（1）根據(jù)作線段垂直平分線的作法即可；（2）先證明四邊形AECF為平行四邊形，根據(jù)（1）可得對(duì)角線互相垂直，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)E作EF垂直AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD∵BF=DE∴BC?BF=AD?DE即CF=AE∵BC即AE∥CF∴四邊形AECF為平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AECF為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，作線段垂直平分線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？既＃┰趯W(xué)習(xí)正方形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作AE的垂線，分別交AE，AB于點(diǎn)G和點(diǎn)F．求證：AE=DF．他的思路是：首先利用正方形的性質(zhì)得到正方形各邊相等，再利用垂直，得到角相等，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點(diǎn)G、F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．∵DF⊥AE，∴∠AGD=①∴②+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴③在△ABE和△DAF中，___∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．【答案】①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟畫圖，利用正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)證明△ABE≌△DAFASA【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．

∵DF⊥AE，∴∠AGD=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．故答案為：①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖的基本步驟畫圖，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，連接AC，AD=AC，點(diǎn)E在線段AC上，連接BE，BE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在∠BAC內(nèi)部作∠CAG，使得∠CAG=∠ABE，AG交BE邊于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖中，求證：AF=CG．完成下列填空．證明：∵四邊形ABCD是菱形；∴AB=AD=CB=CD，AB∥DC，∵AD=AC；∴△ABC與均為等邊三角形；∴AB=，∠D=∠ACD=60°；∴∠BAF==120°；在△AFB與△CGA中，∠BAF=∠ACG∴△AFB≌△CGA(ASA∴．【答案】(1)見解析(2)△ADC；AC；∠ACG；AF=CG【分析】（1）根據(jù)題意作∠CAG=∠ABE，AG交BE邊于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合條件AD=AC得出△ABC與△ADC均為等邊三角形；進(jìn)而證明△AFB≌△CGA(ASA【詳解】（1）解：如圖所示，（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形；∴AB=AD=CB=CD，AB∥DC，∵AD=AC；∴△ABC與△ADC均為等邊三角形；∴AB=AC，∠D=∠ACD=60°；∴∠BAF=∠ACG=120°；在△AFB與△CGA中，∠BAF=∠ACG∴△AFB≌△CGA(ASA∴AF=CG．故答案為：△ADC；AC；∠ACG；AF=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．31．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┰趯W(xué)習(xí)矩形的過程中，小靚遇到一個(gè)問題：在矩形ABCD中，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，E是BC邊的一點(diǎn)，AE平分∠BAF，AF=AB+CF．求證：BE=CE．她的思路是：連接EF，過點(diǎn)E作AF的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小艦的思路完成下面的作圖與填空：

證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作AF的垂線EG，垂足為點(diǎn)G，連接EF（只保留作圖痕跡）．∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=90°．∵EG⊥AF，∴∠AGE=∠FGE=90°，∵AE平分∠BAF．∴BE=GE．∵_(dá)_____，∴Rt△ABE≌∴______∵AF=AB+CF=AG+GF，∴GF=CF．∵EF=EF，∴______（HL）∴______．∵BE=GE，∴BE=CE．【答案】見詳解【分析】連接EF，以點(diǎn)E為圓心，EF長(zhǎng)為半徑畫弧，交AF于點(diǎn)M，再以M、F為圓心，大于12【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作AF的垂線EG，垂足為點(diǎn)G，連接EF，如圖．

∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=90°．∵EG⊥AF，∴∠AGE=∠FGE=90°，∵AE平分∠BAF．∴BE=GE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌∴AB=AG，∵AF=AB+CF=AG+GF，∴GF=CF．∵EF=EF，∴Rt△EGF≌∴EG=EC．∵BE=GE，∴BE=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線的尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂線的尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．32．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考三模）由平行四邊形如何構(gòu)造菱形？如圖，平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，珈跏的思路是：過點(diǎn)A作BE的垂線AG，垂足為G，交線段BC于點(diǎn)F，然后利用四邊相等的四邊形是菱形即可完成構(gòu)造，請(qǐng)根據(jù)以上思路完成作圖和填空．證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作BE的垂線AG交BE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，連接EF（只保留作圖痕跡）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴①______∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴②______∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠FGB=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGASA∴③______，∵AB=AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④______，BF=BA=EF=AE，∴四邊形ABFE是菱形．【答案】作圖見解析；①AD∥BC；②∠AEB=∠ABE；③BF=BA【分析】根據(jù)題目要求作圖即可；證明∠AEB=∠ABE，得出AB=AE，證明△ABG≌△FBGASA，得出BF=BA，證明AF垂直平分BE，得出BF=EF，即可得出BF=BA=EF=AE，說明四邊形ABFE【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作BE的垂線AG交BE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，連接EF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴①AD∥∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴②∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠FGB=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGASA∴③BF=BA，∵AB=AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④BF=EF，BF=BA=EF=AE，∴四邊形ABFE是菱形．故答案為：①AD∥BC；②∠AEB=∠ABE；③BF=BA；④【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)做垂線，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定．33．（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校?？级＃┤鐖D，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，BE平分∠ABD，交AD于點(diǎn)E，AB>BC

(1)尺規(guī)作圖：作∠BDC的角平分線，交BC于點(diǎn)F(2)根據(jù)圖形證明四邊形BEDF為平行四邊形，請(qǐng)完成下面的填空．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AB∴∠ABD=①又∵BE平分∠ABD，DF平分∴∠EBD=12∠ABD，∴③∴BE∥DF又∵四邊形ABCD是矩形∴BC④AD∴四邊形BEDF為平行四邊形【答案】(1)見解析(2)①∠BDC，②12∠BDC，③∠EBD=∠FDB【分析】（1）以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD,CD于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，連接DP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABD=∠BDC，根據(jù)角平平分線的定義得出∠EBD=∠FDB，則BE∥DF，再根據(jù)BC∥【詳解】（1）解：如圖所示：DF即為所求；

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠BDC，又∵BE平分∠ABD，DF平分∠∴∠EBD=12∠ABD∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF又∵四邊形ABCD是矩形∴BC∥∴四邊形BEDF為平行四邊形．故答案為：∠BDC，12∠BDC，∠EBD=∠FDB，【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——角平分線，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)邊互相平行，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．34．（2023·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且AD=CD．

(1)用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并把證明過程補(bǔ)充完整．判斷：DE①AC，理由如下：∵AD=CD（已知）∴∠A=②（

③

）又∵DE平分∠BDC（已知）∴∠BDC=2∠CDE（

④

）又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD∴∠CDE=∠ACD（等量代換）∴DE⑤AC（

⑥

）【答案】(1)見解析(2)∥；∠ACD；等邊對(duì)等角；角平分線的定義；∥；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】（1）先以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與DB、DC交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接D與該點(diǎn)，交BC與點(diǎn)E，即可得出∠BDC的平分線DE；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACD，根據(jù)角平分線的定義得出∠BDC=2∠CDE，證明∠CDE=∠ACD，根據(jù)平行線的判定得出DE∥【詳解】（1）解：DE即為所求作的∠BDC的平分線，如圖所示：

（2）解：DE∥∵AD=CD（已知），∴∠A=∠ACD（等邊對(duì)等角），又∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠CDE（角平分線的定義），又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，∴∠CDE=∠ACD（等量代換），∴DE∥故答案為：∥；∠ACD；等邊對(duì)等角；角平分線的定義；∥；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作一個(gè)角的平分線，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．35．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接BE．

(1)用直尺和圓規(guī)，在BC上作一點(diǎn)F，使得∠FDC=∠ABE（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，求證：四邊形BFDE為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=①，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=③，BE=DF，∴AD?AE=CB?CF，∴ED=④∴四邊形BFDE為平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)①∠C②AB=CD③CF④BF【分析】根據(jù)基本作圖作出兩角相等即可．結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，證出△ABE≌△CDF，利用三角形全等的性質(zhì)得出邊相等，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）作圖如圖所示

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)∴AE=CF，BE=DF，∴AD?AE=CB?CF，∴ED=BF∴四邊形BFDE為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活解決綜合問題是解題的關(guān)鍵．36．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，已知E是平行四