2023-2024學(xué)年福建省泉州市科技中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省泉州市科技中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1,2}，B={x|x>0}，則下列結(jié)論不正確的是(

)A.1∈A∩B B.??A∩B

C.{2}?A∩B D.{x|x>0}=A∪B2.已知a，b∈{?2,?1,1,2}，若向量m=(a,b)，n=(1,1)，則向量m與n所成的角為銳角的概率是(

)A.14 B.38 C.3163.若非零向量a，b滿足|a|=|b|=|a+b|A.2b B.32b C.b4.若lnx?lny>y2?xA.ex?y>1 B.ex?y<1 C.5.已知函數(shù)為f(x)=?x2?2ax?a,x<0,ex+lnA.(?∞,0] B.[?1,0] C.[?1,1] D.[0,+∞)6.若正數(shù)x，y滿足4x+y=4，則1x+1yA.2 B.94 C.3 D.7.已知直三棱柱ABC?A1B1C1的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=3A.32 B.1 C.12 8.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D為BC的中點(diǎn)，則線段AD長(zhǎng)度的最大值為(

)A.1 B.2 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z是復(fù)數(shù)，z?是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是(

)A.z2=|z|2

B.若z=(1?2i)2，則復(fù)平面內(nèi)z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.若|z|=1，則|z?1?i|的最大值為2+1

10.某學(xué)校為了解同學(xué)們某天上學(xué)的交通方式，在高一年級(jí)開展了隨機(jī)調(diào)查，將學(xué)生某天上學(xué)的交通方式歸為四類：A一家人接送，B一乘坐地鐵，C一乘坐公交，D一其他方式，學(xué)校把收集到的數(shù)據(jù)整理繪制成條形圖和扇形圖，如圖只給出了其中部分信息，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是(

)

A.若該校高一年級(jí)有學(xué)生1300人，則高一年級(jí)約有780人乘坐公共交通工具上學(xué)

B.估計(jì)該校高一年級(jí)有13的學(xué)生某天家人接送上學(xué)

C.扇形圖中B的占比為40%

D.11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形C1CDDA.記C1D1的中點(diǎn)為N，CC1上存在一點(diǎn)P，使得面NPB1//面BEA1

B.動(dòng)點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為3

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=4，∠BAC=45°，D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，則CD13.已知α，β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，tanα=2314.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)+f(1?x)=1，f(x)=2f(x7)，且對(duì)于0≤x1≤x2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b?ac=sinC?sinAsinB+sinA．

(1)求角B；

(2)若△ABC為銳角三角形，AC=2，D是線段AC的中點(diǎn)，求16.(本小題15分)

對(duì)于函數(shù)f(x)=log2(2x+a)．

(1)若a=2，求f(x)在[13,1]上的值域；

17.(本小題15分)

某市高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試，滿分為100分，為做好分析評(píng)價(jià)工作，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0和100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，制成如圖所示的頻率直方圖．

(1)求頻率直方圖中m的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)；

(2)若成績(jī)?cè)赱90,100]的為A等級(jí)，[70,90)的為B等級(jí)，其他為C等級(jí)，

①在這100名學(xué)生中用分層抽樣的方法在A，B，C三個(gè)等級(jí)中抽取25人，求從B等級(jí)中抽取的人數(shù)．

②以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從該市所有參加考試的高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有一人為B等級(jí)的概率.(注：當(dāng)總體數(shù)比較大時(shí)，不放回抽取可視為有放回抽取)18.(本小題17分)

如圖1，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E為CD上一點(diǎn)且CE=2DE.現(xiàn)將△ADE沿著AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PE⊥BE，得到的圖形如圖2．

(1)證明△BPA為直角三角形；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上，判斷直線EM與平面PCB的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若Q為PB中點(diǎn)，求三棱錐Q?ABE的體積．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]．

(1)若f(x)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|，記g(x)的最大值為M(a,b)．

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求M(b)的最小值；

(ii)證明：對(duì)?a，b∈R，M(a,b)≥1參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.?913.2

14.11615.解：(1)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b?ac=sinC?sinAsinB+sinA．

由正弦定理得b?ac=c?ab+a，

所以a2+c2?b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)△ABC為銳角三角形，AC=2，D是線段AC的中點(diǎn)，

因?yàn)閍2+c2?b2=ac，所以a2+c216.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=log2(2+2x)，

因?yàn)閥=2+2x在[13,1]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈[13,1]時(shí)，4≤2+2x≤8，

則f(x)=log2(2+2x)∈[2,3]，

故當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f(x)在[13,1]上的值域?yàn)閇2,3]；

(2)方程log2(2x+a)=log2[(a?6)x+2a?8]，

所以2x+a=(a?6)x+2a?8①2x+a>0②，

由①可得，(a?6)x2+(a?8)x?2=0，即[(a?6)x?2](x+1)=0，

當(dāng)a=6時(shí)，方程有唯一解x=?1，滿足②2x+a=?2+6>0，所以a=6符合條件；

當(dāng)a=4時(shí)，方程有兩相等解x=17.解：(1)由頻率直方圖知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，

∴m=0.012，

∴100名同學(xué)的平均成績(jī)估計(jì)值為：

0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4(分)；

(2)①由(1)知A等級(jí)的頻率為0.04，A等級(jí)的人數(shù)為100×0.04=4人，

B等級(jí)的頻率為(0.28+0.12)=0.4，B等級(jí)的人數(shù)為100×0.4=40人，

C等級(jí)的頻率為(0.04+0.22+0.30)=0.56，C等級(jí)的人數(shù)為100×0.56=56人，

∴抽取25人中B等級(jí)中的人數(shù)為25×404+40+56=10人；

②用頻率代替概率，所以抽取一次，B等級(jí)被抽中的概率為0.4，

抽取三次都沒有抽中B等級(jí)的概率為(1?0.4)3=0.216，

所以隨機(jī)抽取318.(1)證明：在折疊前的圖中，連接BE，如圖：

由題意可得：ED=1，CE=2，則BE=6，AE=3，

折疊后PE⊥BE，所以PB=7，

又AP=2，所以PB2+PA2=AB2，即PB⊥PA，

所以△BPA為直角三角形．

(2)解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上，設(shè)PMPA=λ，同樣在線段PB上取N，使得PNPB=λ，則MN//AB，

當(dāng)λ=23時(shí)，則MN=23AB=2，

又CE/?/AB且CE=2，所以MN//CE，且MN=CE，

則四邊形CEMN為平行四邊形，所以ME/?/CN，EM?平面PBC，CN?平面PBC，

所以ME/?/平面PBC；

當(dāng)λ≠23時(shí)，此時(shí)MN//CE，但MN≠CE，所以四邊形CEMN為梯形，

所以ME與CN必然相交，則ME與平面PBC必然相交．

綜上所述：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足PMPA=23時(shí)，ME/?/平面PBC；

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足PMPA≠23時(shí)，ME與平面PBC相交．

(3)解：若Q為PB中點(diǎn)，

由(1)可得BE⊥AE，PE⊥BE，19.解：(1)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]，

開口向上，對(duì)稱軸方程為x=?a2，

要使函數(shù)單調(diào)，則?a2≤0或?a2≥2，

解得a≥0或a≤?4，

所以a的范圍為{a|a≥0或a≤?4}；

(2)(i)當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=|x2+b|，

所以M(b)=max{g(0),g(2)}=max{|b|,|4+b|}，

當(dāng)b≤?2時(shí)，|b|≥|4+b|，M(b)=|b|=?b≥2，

當(dāng)且僅當(dāng)b=?2時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)b>?2時(shí)，|b|<|4+b|，M(b)=|4+b|=4+b>2；

所以M(b)的最小值為2；

(ii)下面根據(jù)對(duì)稱軸對(duì)a進(jìn)行討論：

當(dāng)?a2≤0時(shí)，a≥0，M(a,b)=max{g(0)，g(2)}=max{|b|，|4+2a+b|}，

①若|b|≥12，顯然M(a,b)≥12，

②若|b|<12，則M(a,b)=|4+2a+b|=4+2a+b>4+0?12>12，

當(dāng)?a2≥2時(shí)，a≤?4，則M(a,b)=max{g(0)，g(2