2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市皋蘭一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市皋蘭一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)a?2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則ab=(

)A.?6 B.?1 C.1 D.62.中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會試分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為200，則北卷錄取人數(shù)為(

)A.70 B.20 C.110 D.1503.已知正六邊形ABCDEF，則AC+BD?FD=A.BC B.AE C.BE D.AC4.圓臺上、下底面半徑分別是1，2，高為3，這個圓臺的體積是(

)A.733π B.235.在△ABC中，三邊長分為3，7，8，則最大角和最小角之和是(

)A.34π B.23π C.6.小張某一周的總開支分布如圖①所示，該星期的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是(

)

A.儲蓄比通信開支多50元 B.日常開支比食品中的其他開支少150元

C.娛樂支出為100元 D.肉類開支占總開支的17.已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若AE=λAB+μAD，則A.12 B.13 C.148.在正方體ABCD?A′B′C′D′中，O為底面ABCD的中心，P為棱AA′的中點，則下列說法正確的是(

)A.A′C′⊥OP B.A′B⊥OP C.AB′⊥OP D.B′C⊥OP二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在4×4方格中，向量a，b，c的起點和終點均為小正方形的頂點，則(

)A.|a|=|c|

B.2a⊥310.下列各式中，值為12的是(

)A.sin5π6 B.2sin?15°cos?15° C.11.已知正四面體ABCD的各棱長均為2，下列結(jié)論正確的是(

)A.正四面體ABCD的高為263

B.正四面體ABCD的體積為223

C.正四面體ABCD的外接球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(1+2i)z?=5?5i(i是虛數(shù)單位)，則z13.已知向量a=(m,?3)，b=(?1,5)，若a⊥b，則實數(shù)14.某地為了更好地開發(fā)當(dāng)?shù)氐穆糜钨Y源，決定在兩座山頭建一條索道，現(xiàn)測得兩座山高分別為MC=160米，NB=100米.從山腳下的A處測得M處的仰角為53°，N處的仰角為45°，∠MAN=45°，點A，B，C在同一水平面內(nèi)，MC⊥AC，NB⊥AB，則兩座山的山頂M，N之間的距離是______米.(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈3四、解答題：本題共4小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知0<α<π，cosα=?55．

(1)求sin2α，cos2α的值；

(2)求sin16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，PB⊥BC，D為BP的中點，PA=AB．

(1)求證：BC⊥平面PAB；

(2)求證：AD⊥平面PBC．17.(本小題17分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知sinB=2Sb2?c2．

(1)證明：b2c=a218.(本小題17分)

如圖，在四棱錐B?PACQ中，BC⊥平面PAB，且在四邊形PACQ中，PQ//AC，∠PAC=π2，二面角B?AP?Q的大小為π3，且AP=AB=PQ=1．

(1)點E為BC的中點，證明：QE//平面PAB；

(2)求直線BQ與平面PACQ

參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BCD

10.ABD

11.AB

12.3

13.?15

14.10015.解：(1)∵0<α<π，cosα=?55，

∴sinα=1?cos2α=2516.證明：(1)∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴AP⊥BC，

∵BC⊥AP，BC⊥BP，AP∩BP=P，AP，BP?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB；

(2)∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，

∴BC⊥AD，

∵△PAB為等腰直角三角形，D為斜邊PB的中點，

∴AD⊥PB，

∵AD⊥PB，AD⊥BC，BP∩BC=B，BP，BC?平面PBC，

∴AD⊥平面PBC．

17.(1)證明：因為sinB=2Sb2?c2，

所以sinB=acsinBb2?c2，又sinB≠0，

所以b2?c2=ac，

所以a2+b2?c2a=a2+aca=a+c=b2c；

(2)解：由余弦定理，cosC=a2+b2?c22ab，

由(1)得bc=a2+b2?c2ab，18.(1)證明：因為BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，

所以BC⊥PA，

又因為∠PAC=π2，

所以PA⊥AC，

因為BC∩AC=C，所以PA⊥平面ABC，

因為AB?平面ABC，所以AP⊥AB，

因為AP⊥AB，AC⊥AP，

所以二面角B?AP?Q的平面角即為∠CAB，

所以∠CAB=π3，

因為BC⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥AB，

因為AP=AB=PQ=1，所以AC=2，

取AB中點F，連接EF，則EF/?/AC，且EF=12AC，

又PQ//AC，且PQ=12AC，

所以PQ/?/EF，且PQ=EF，所以四邊形PQEF為平行四邊形，

所以QE//PF，

又PF?平面PAB，QE?平面PAB，

所以QE//平面PAB；

(2)解：過B作BM⊥AC于點M，因為PA?平面PACQ，PA⊥平面ABC1，

所以平面PACQ⊥平面ABC，交線為AC，則BM⊥平面