2024年新高考Ⅰ卷浙大優(yōu)學(xué)靶向精準(zhǔn)模擬數(shù)學(xué)試題（二）（含答案解析）

2024年新高考I卷浙大優(yōu)學(xué)靶向精準(zhǔn)模擬數(shù)學(xué)試題（二）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合4={H爐一2*—8<0},5={2,3,4,5},則AB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{354}D.{2,3,4)

2.復(fù)數(shù)上;的共規(guī)復(fù)數(shù)是（）

1-2

A.2+iB.-2+i

C.-2-iD.2-i

3.若q,e2是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，且a=2q+ez與b=-3q+2e2的夾角為（）

A.60°B.120°C.30°D.150°

4.已知sin(a+^)=*,則sin(2a-S)=()

A24R_247D

A.-----D.--------C.-----

252525

5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良

的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

22

6.已知AB是雙曲線斗?=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，,ABM為等腰三角形，

ab~

且頂角為120°,則E的離心率為（）

A.75B.2C.73D.72

7.記S〃為等差數(shù)列{《,}的前〃項(xiàng)和，已知4>0,邑=-%，則使得5〃之?！ǖ摹ǖ娜≈捣秶鸀?/p>

（）

A.B.l<?<9,n€Nx

C.1</2<10,HGN*D.

8.設(shè)函數(shù)/（x）=6sin￡.若存在〃x）的極值點(diǎn)/滿足年+卜伍）了〈小，則m的取值

范圍是

A.(-QO,-6)u(6,oo)

B.(-oo,-4)u(4,oo)

C.(ro,-2)=(2,8)

D.(-oo,-l)u(l,oo)

二、多選題

9.已知函數(shù)+C下列結(jié)論中正確的是()

A.若/'(無(wú))=。，則/是/(x)的極值點(diǎn)

B.叫eR,使得〃占)=。

C.若％是/(x)的極小值點(diǎn)，則/(x)在區(qū)間(-叫/)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

10.下列說(shuō)法中正確的有()

A.在回歸分析中，決定系數(shù)片越大，說(shuō)明回歸模型擬合的效果越好

B.已知相關(guān)變量(x，y)滿足回歸方程5>=9.4X+9.1,則該方程對(duì)應(yīng)于點(diǎn)(2,29)的殘差為

1.1

C.已知隨機(jī)變量若E?)=30,。?=20,則〃=45

D.以亍=ce"擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)z=lny代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為2=0.3x+4,貝ij

c—e4,k—0.3

11.已知球。是正三棱錐A—BCD的外接球，BC=3,A8=2百，點(diǎn)E在線段8￡)上，且

%)=33E.過(guò)點(diǎn)E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是()

A.兀B.2兀C.37rD.4兀

三、填空題

12.在(1-2x)5.(1+34的展開(kāi)式中，按x的升基排列的第3項(xiàng)為.

13.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AAG。中，己知尸分別是棱GQ，AA，BC的

中點(diǎn)，則平面/旃截正方體所得的截面面積為,若。為平面加上的動(dòng)點(diǎn)，且直

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

線QBi與直線DB1的夾角為30°,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為

14.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,

他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:

己知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項(xiàng)是2°，接下

來(lái)的兩項(xiàng)是2°，2',再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°，2'，22.依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整

數(shù)MN>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是.

四、解答題

15.為提高居家養(yǎng)老服務(wù)質(zhì)量，某機(jī)構(gòu)組織調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)抽取了500位老年人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

性別需要志愿者不需要志愿者

男40160

女30270

(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；

(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提

供幫助的比例？說(shuō)明理由.

附：/=_____迎61*):_____,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

16.在銳角A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,S.acosC+\/3asinC-h-c=0.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若￡＞是線段8c上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，。=3,求AD的最大值.

歷

17.如圖，在直棱柱ABC-A4G中，AA.=AC=CB=—AB,E,尸分別是棱8C,AC上

2

的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF.

(1)證明:AtEA.BtF.

(2)當(dāng)三棱錐G-CEF的體積取得最大值時(shí)，求平面用BF與平面B.EF的夾角的余弦值.

18.在直角坐標(biāo)系xOv中，橢圓G：F+方=1(。＞6＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，心.心也

是拋物線G：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且可用=(

⑴求G的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)R(U)的直線/與橢圓C1交于A8兩點(diǎn)，尸為線段A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線。P與橢圓交于點(diǎn)。，點(diǎn)。為直線0P上一動(dòng)點(diǎn)，且OP.OQ=2O￡)2,求證：點(diǎn)。在定

直線上.

19.已知函數(shù)/(尤)=＜：0$工+111(1+》).

(1)求證：“X)在，1,上有唯一的極大值點(diǎn)；

⑵若f(x)V改+1恒成立，求。的值；

(3)求證：函數(shù)g(x)=/(x)-x有兩個(gè)零點(diǎn).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

I.B

【分析】求出A={R-2<X<4},進(jìn)而求出ACB.

【詳解】由/_2》一8<0解得：-2<x<4,故4={川一2<犬<4},又8={2,3,4,5},

故AcB={2,3}.

故選：B.

2.B

【分析】先將復(fù)數(shù)的分母化成實(shí)數(shù)，再求其共輛復(fù)數(shù)即可.

55(-2-i)-10-5i

【詳解】1^2-(-2+i)(-2-i)=-2-i,而_2-i的共輾復(fù)數(shù)是—2+i.

故選：B.

3.B

【分析】先求得q?%的值，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得a功以及〃力的模，再根據(jù)向量的夾

角公式，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?，/是夾角為60。的兩個(gè)單位向量,

所以q=lxlxcos600=一,

故=(2q+/>(_301+2、)=-6q+q./+2/2=-6+5+2=-鼻,

__2__1

故COS〈Q,6〉=，上一=

\a\-\b\2

由于0。，4,力4180。，故〈〃,力=120。.

故選：B.

4.C

【分析】設(shè)尸=a+g則根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sij2a-，|=-cos2〃，結(jié)合二倍

66\6；

角的余弦公式計(jì)算即可求解.

【詳解】設(shè)￡=C+S7T則冗gsin/?=4J,

665

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

所以$融［2￡_.)=$畝［2(/7_/)_t=sin^2/?-^=-cos2/?,

所以-cos2￡=-(l-2sin26)=2sin?/?-1=.

故選：C.

5.A

【詳解】試題分析：記A="一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，8="第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良“，由

..../、P(AB)4

題意可知P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所以P(砌A)=半(=-故選A.

"(A)5

考點(diǎn)：條件概率.

6.D

［分析］根據(jù)題意可得|A@=\BM\=2a,ZABM=120",過(guò)點(diǎn)M作腦VJ_x軸，求得M(2a,瓜),

代入雙曲線方程求解.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)橐?A8M為等腰三角形，且頂角為120",

所以|朋=忸叫=24,//喇=120°,過(guò)點(diǎn)〃作MNJ_x軸，垂足為N,

在R/BMN中1,則忸兇,故M(2a,6a),

代入雙曲線方程得(2“)2(G")解得/=從，即

?2b2

所以丁=2/,解得e=VL

故選：D

7.C

【分析】法一：根據(jù)條件得到。5=良=0,4=*￡°=S9+4O=4O,再利用等差數(shù)列的通

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

項(xiàng)公式及前W項(xiàng)和公式的函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；法二：根據(jù)條件得到4=-4d,建立不

等不關(guān)系〃4+若1d2q+(〃-l)d,即可求出結(jié)果.

(詳解】方法一：因?yàn)镾,=-%,所以如廣)=9%=-%，得到%=s,=0,

設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為“，由%=4+41=0,得到％=-4d,又4>0,所以d<0,

所以%=4+(〃-l)d=(〃-5)d,Sn=〃4+〃"；d=；面-9n),

又％=S[,S]（）=Sj+4（）=al（）,

令y=(》-5)乩％=3，-9》)，其圖象如圖所示

結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)的函數(shù)特征，

由圖知，〃的取值范圍是14“W10(〃eN*).

方法二：由條件Sg=-%得9%=-%，即％=5=0.

因?yàn)?>0,所以d<0,并且有為=4+4d=0,

所以q=-Ad.

由S,；a“，得〃q+Z!^12dNq+(〃_l)d,

整理得(〃2-9〃)八(2〃-10)”.

因?yàn)閐<0,所以九2—9〃<2〃—10,

即〃2一15+1040,解得14〃410,

所以，?的取值范圍是”“V10(〃eN)

故選：C.

8.C

【詳解】由題意知：f(x)的極值為±6所以卜(%)7=3,因?yàn)?'(%)=。-限。$詈=0,

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

所以也=就+￡/匕，所以血=%+:，&ez即當(dāng)=|A+：2：,所以修目;，即

m2m2m222

22

X0+[/U0)]>-^+3,而已知年+[/5)了</，所以裙>1+3,故手>3,解得心2

或m<-2,故選C.

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法,

考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

9.BD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)A=4/-l助>0時(shí)，/'(x)=0有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正

負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)A=4片-12匕40時(shí)，f'M>0,即可判斷A,B,C；證明等式

/(-y-x)+/(x)=2/(-j)成立即可判斷D.

【詳解】A：因?yàn)?'(%)=丁+辦2+bx+c,所以/(%)=3%2+2ox+。，

當(dāng)△=4/_1助=()時(shí)，/(上0,rf-1j=o,則〃x)在R上單調(diào)遞增，x0=q不是極值

點(diǎn),故A錯(cuò)誤；

B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)/(X)的值域?yàn)镽,所以使得〃毛)=0,故B正確；

C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)A>0時(shí)，在(-8,司)上單調(diào)單調(diào)遞增，在(3,%)上單調(diào)遞減，

所以若與為/(X)的極小值點(diǎn)時(shí)，/(力在(-8,%)上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤;

D：f(———x)+f(x)—(———X)，+a(———x)~+Z?(———x)+c+d+ax~+bx+c

432abs

=—a--------4-2c,

273

—人a、.a、3.a.,a.2ab

ffo/(--)=(-T)+a(--y2+b(z--)+c=—a-3-y+c>

則f嚀-x)+f(x)=2/(一$,

所以點(diǎn)尸(-小/(-至)為y=〃x)的對(duì)稱(chēng)中心，即函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故

D正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】根據(jù)線性相關(guān)的相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷A；根據(jù)線性回歸方程中殘差的算法即可

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

判斷B；根據(jù)二項(xiàng)分布中均值與方差的算法列方程，解之即可判斷C；將8，=。/轉(zhuǎn)化為

ln>'=z=lnc+Ax,即可判斷D.

【詳解】A：因?yàn)闆Q定系數(shù)店越大，殘差平方和越小，擬合效果越好，故A正確；

B：因?yàn)橛^測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差為殘差，

預(yù)測(cè)值9=9.4x2+9.1=27.9,殘差為29—27.9=1.1,故B正確.

C：對(duì)于二項(xiàng)分布f~85,p）,EC）=〃0=3O,。，）=W（1-。）=20,

解得p=g,〃=90,故C錯(cuò)誤.

D：對(duì)于非線性回歸方程y=cek'轉(zhuǎn)化為\ny=z=\nc+kx,

所以lnc=4,貝|c=e4#=0.3,故D正確.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球的半徑，再根據(jù)點(diǎn)E的位置，求。E,即可確定球心

到平面距離的范圍，即可求解.

【詳解】如圖，作4。，平面8cD,。1是等邊的中心，。是正三棱錐A-BCD外接

球的球心，點(diǎn)。在4。1上，連結(jié)OE,OD,O|E,

連結(jié)。。交6c于點(diǎn)F,DF=3O尸,

B

22

由BC=3,AB=2后可得=3x曰x|=8,=^AD-OtD=3,

在。中，（3-村+（揚(yáng)2=W懈得R=2,

因?yàn)?。?3。/，DB=3BE,所以O(shè)E//8F,所以qE=1BF=；BC=l,

在RtZ\OO|E中，=AO1-R=I,QE=I,所以O(shè)E=夜，

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

設(shè)球心。到過(guò)點(diǎn)E的截面圓的距離為a可知de[0.72J,

截面圓半徑/=解-屋=4-/e[2,4],

所以截面圓的面積的取值范圍為[2兀,4兀],

故選：BCD.

12.-26x2

【分析】易知，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，……，故按x的升基排列，第三項(xiàng)為

含犬項(xiàng)，結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)可求解.

【詳解】解：易知，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)等，故所求的項(xiàng)為V項(xiàng).

整個(gè)式子中/項(xiàng)可由(1-2x)5,(]+3幻4的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)相乘

得到，其中(1-2x)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為2=C；(-2x)r,(1+3x)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為小=C：(3x)*；

2

故所求為：《x(3x)2+c“_2x)xC；(3x)+C；(-2x)2xC?=_26^.

故答案為：-26x2-

13.362兀

【分析】如圖1,過(guò)M,N,P三點(diǎn)的平面為正六邊形MENFPG,即可求解其面積；先確定

是以為軸、直線8區(qū)與直線8。的夾角為30,的圓錐的母線，則點(diǎn)。的軌跡為圓錐底面

圓，求出底面圓的半徑即可.

【詳解】如圖1,擴(kuò)展過(guò)M,N,P三點(diǎn)的平面，

圖I

可知平面尸MV與正方體相交的截面即為正六邊形MENFPG,其邊長(zhǎng)為友,

因此面積為S=6；x(夜)晨乎=36.

由上可知，。與，平面MNP,且垂足，為。片的中點(diǎn)，

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

如圖2,動(dòng)直線與。是以?，敒檩S、直線4。與直線瓦。的夾角為30。的圓錐的母線,

點(diǎn)。的軌跡為圓錐底面圓.

圖2

因?yàn)闅WH=；BP=K,NQBIH=30°,所以底面圓的半徑”。=1,

所以點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為27t.

故答案為：3-73：2兀

14.440

【分析】由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前"項(xiàng)和S,=2向-2-〃，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2m

為2的整數(shù)暴.只需將-2-〃消去即可，分別分別即可求得N的值.

【詳解】解：由題意可知:第一項(xiàng)2°，第二項(xiàng)202,第三項(xiàng)2°,21,22,L,第n項(xiàng)2°,2：,2"-',

根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：2'-1,22-1123-1，■-，2"-1，

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1,2,3,…，n,

總共的項(xiàng)數(shù)為N=l+2+3+…+〃=嗎R，

2

所有項(xiàng)數(shù)的和為

23nl23,,,,+1

S/v:2'-l+2-l+2-l+...+2-l=(2+2+2+...+2)-/2=^—^-rt=2-2-M-

由題意可知：2'用為2的整數(shù)累，只需將-2-〃消去即可，

則①1+2+(-2-〃)=0,解得：n=\,總共有士業(yè)1+2=3,不滿足N>100,

2

②1+2+4+(—2—〃)=0,解得：〃=5,總共有"+；"5+3=18,不滿足N>100,

③1+2+4+8+(-2—〃)=0,解得：?=13,總共有^^^+4=95,不滿足N>100,

2

④1+2+4+8+16+(-2-〃)=0,解得：”=29,總共有婚紗生+5=440,滿足N>100,

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

該款軟件的激活碼440.

故答案為：440.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前”項(xiàng)和，考查計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析

能力，屬于難題.

15.(1)14%

(2)有關(guān)

(3)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意給數(shù)據(jù)可得需要幫助的老年人的比例估計(jì)值為券=14%；

(2)根據(jù)卡方的計(jì)算公式，結(jié)合獨(dú)立性檢測(cè)的思想即可下結(jié)論；

(3)由(2)可知該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，因此先利用分層抽

樣方法調(diào)查男女比例.

【詳解】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，

因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例估計(jì)值為7義0=14%.

(2)零假設(shè)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無(wú)關(guān).

2500x(40x270-30x160)2…“―

=-------------------—?9.967>6.635=,

200x300x70x430001

所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).

(3)由(2)的結(jié)論知道，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，

并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯的差異,

因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，

再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好.

16.(l)y

⑵6+1

【分析】(1)根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得

sin'q)=；,即可求解；

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

（2）方法一：由余弦定理可得〃+c2-bc=9①、A￡>2=3?：2L）_2,可分別用3種思路

h2+C2-he

（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用極限思想）求出2

c

的取值范圍，進(jìn)而利用換元法構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可；方法二：

可分別用2種思路（思路1：齊次化不等式處理；思路2：正弦定理函數(shù)處理）求出AOgx；

方法三：如圖，則卜4=卜。+。44kq+|。斗，確定當(dāng)A,。,。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，求出

即可.

【詳解】（1）acosC+V3?sinC-/?-c=0,由正弦定理得

sinAcosC+GsinAsinC=sin8+sinC,

又sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC+\[3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

由sinC>0整理得石sinA-cosA=1,即sin(4-—j=—,

ZC3兀/兀5兀(C兀)

—.又Ae|O，M，

ooo\2.)

所以A_；=F，即人=m；

OO3

(2)由余弦定理。2=從+/一2bccosA,得從+/一6。=9①，

由C￡>=2BD得cosZBDA+cosZCQ4=0,即""十?一'"W二k=。,

2AD+4AD

3(b2+2c2)3(6+2(?)

解得AD2=!/+2/)-2=

9b1+(r-hc

下面用三種方法求2的取值范圍.

C

思路1:用余弦定理切入.

因?yàn)橐籄BC為銳角三角形，所以COSB='+9一.>0,即c2+9-從>o,

6c

將①代入得2,

C

同理，由cosC>0,,

c2

故;一<2.

2c

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

思路2：用正弦定理切入.

0"<C<90°

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以

0°<8=120°-C<90"

解得30°<C<90",

小工廿一誨俎匕sin8sin(120°-C)611A1>

由正弦定理得一==-------L=---------+-G-,2.

csinCsinC2tanC2\2)

思路3：用極限方法求解.

因?yàn)?8C為銳角三角形，

當(dāng)3―>90°時(shí)，9-2；當(dāng)C—>90°時(shí)，

cc2

哈加.

接下來(lái)?yè)Q元構(gòu)造函數(shù)求最值.

設(shè)一心2),則3佇2c2)_2=34+2)_2.

。12)/72+c"-bex2-x+1

設(shè)山)=書(shū)—02),則小)=”^,

x-x+\12)(x—x+1)

由)?)>0得7+2工一2<0,又［<x<2,

所以;<x<G-l,由/'(x)<0得

所以f(x)在單調(diào)遞增，在(6-1,2)單調(diào)遞減，

故/(。皿=T)=4+26=(6+1尸.

所以A4x=有+L

方法二：思路1,齊次化不等式處理

1_2-

由CD=25。得AO=§AC+1A8,

兩邊平方得AD2=-Z?2+—c2+—Z?ccos60=-(b2+4c2+2hc]=

V"2：f2

9999)b+c-bc

AbIx"+2x4-43(x+l)f3(x+l)

令工m=一，則/(x)=------—-z----=n-----；--------

cX-X+1x—x+1(x+1)~—3(x+1)+3

=1+-------------<4+273

(X4-1)4------3

X+1

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

3

則石+1,當(dāng)x+l=——即X=A/J-1時(shí)等號(hào)成立,

x+1

故A￡>的最大值為6+1.

思路2：正弦定理函數(shù)處理

12

由C￡>=2肛得A￡)=§AC+§AB,

兩邊平方得AD2=+[〃+[bccos60°=]伍2+4c2+2bc).

1Q

又因?yàn)槎-=---=.=2^,則人=26sin仇c=26sinC,

sinBsinCsinoO

代入得AD2J(/+4c2+2歷)=2gsin(2Cf+4.

又因?yàn)閖ABC為銳角三角形，

0<C<-

2TTTT

所以解得

cc2兀_71

0<B=---C<一62

32

當(dāng)2C-g=g即0=秒時(shí)，/ID2=2^3sin2C-^+4的最大值為4+2石,

所以ARmx="+26=73+1.

方法三：設(shè)BC的中點(diǎn)為E,_A8C外接圓的圓心為o,則AQ=AO+O￡>,

所以卜4=卜0+0。卜卜。卜|。4

2koi=2r=^=2后，所以,。卜6,

OE2=r2-CE2=3-2=3,

44

所以0E=且,。E=L,所以0。=1.

22

所以A。46+1,當(dāng)且僅當(dāng)4。,。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；ABC為銳角三角形.

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵手

【分析】(1)由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)4A=4C=CB=a,BE=CF=t,只

需證明4?3尸=0即可.

答案第II頁(yè)，共17頁(yè)

（2）由題意得到三棱錐G-CEF的體積取得最大值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，E,F分別為BC,AC的

中點(diǎn)，分別求出兩平面的法向量，然后利用平面夾角的余弦公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由題意知在直棱柱4BC-中，AC=CB=—ABAC2+BC2=AB2,

2

所以AC工BC,

又CG，面ABC,AC,8Cu面ABC,所以CQ_LAC,C￡,

即AC,BC,cq兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z,

不妨設(shè)AA=AC=C8=。，BE=CF=t,則A（a,O,O）,A（〃，°M），F(xiàn)（r,O,O）,B（O,a,O）,

E（O,?-r,O）,

所以A"=（—a,a—，,—a）,B]F=,

可得A巨旦尸:一“一片+“+4=0,

所以同石，用戶，即AEJ■四產(chǎn)

（2）

C96\）6|_2J24

當(dāng)且僅當(dāng)1=。一/,即/=￡時(shí)，有最大值，

此時(shí)E,尸分別為8C,AC的中點(diǎn)，40費(fèi),0）,產(chǎn)件0,0）,所以q=已-10）,

由⑴可知線（0,a,a）,3（0必0）,所以3=（0段,"），BF=C，-a,0）,網(wǎng)=（0,0,4）,

不妨設(shè)平面4E尸的一個(gè)法向量為4=&,*,zj,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

?1EF=yX1-yyI=0

則a，令Z[=T,解得x=y=2,

勺?EB}=1y+%=0

所以可取平面與EF的一個(gè)法向量為〃=（2,2,-1）,

不妨設(shè)平面及8尸的一個(gè)法向量為％=（9,%，Z2），

?BF=—x,~ay7=0

則2'J，令必=1,解得々=2,Z2=0,

々-BB[=az2=0

所以可取平面用防的一個(gè)法向量為加=（2,1,0）,

“詞_6_26

設(shè)平面與平面BEF的夾角為6,則cos（9=|cos〃，洲=

t同Ml3\f55

所以平面B、BF與平面B、EF的夾角的余弦值為平.

v2V2

18.⑴土+匕=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義求得布］進(jìn)而|岫|=:,結(jié)合橢圓的定

義求出4,進(jìn)而求出b,即可求解；

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=%（x-i）+i,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理

表示為+々,弘+必，得d第弁，槳當(dāng)女工0時(shí)，直線OP方程聯(lián)立橢圓方程求出

耳，羽和。（々,"），結(jié)合OP.OQ=2OD化簡(jiǎn)計(jì)算可知點(diǎn)。在定直線;+方=2上；當(dāng)&=0或

人不存在時(shí)也符合以上結(jié)論.

52

【詳解】（1）由題意得6（1,0）,四用=%+1=3,解得

由于點(diǎn)M在G上，所以a=4%=《，解得加=城，

33

所以竽）’所以以|［（|+1尸+（孚）2=:，

則2。=§+：=4,即。=2,又c=l,所以沙=7=6，

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

22

所以橢圓方程為'+±=1.

43

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=Z(x-1)+1,

與橢圓方程9+：=1聯(lián)立，消去y得(4r+3b2+8-1-無(wú)比+4[(1-02-3]=0.

因?yàn)辄c(diǎn)陽(yáng)1，1)在橢圓內(nèi)，所以A>0,

設(shè)4(4，乂)，8(毛，％)，則%+工2=唯一?,

^TK十D

./\Sk~{k—1)C八7、6(1—k)

y,+y2=^(x,+x2)+2(l-^)=+2(1-^)=—7—,

JK"TD^TKID

訴N/必(0D3(1-儲(chǔ)

所以北樂(lè)T際)

33

當(dāng)&工0時(shí)，％=-力，則直線OP的方程為y=-《工，

4K4k

與橢圓方程聯(lián)立得看=黑，羽=M-

、/\34k

設(shè)。(％，幾)，則幾二一五勺3=-'TyQ,

^TKD

4k(J)3(1--(]6k29

由OPOQ=2M,得4^+3'Xq+4〃+3,%一214^+3+4公+3,

n4k*-1)%+3(1-幻力=2(16/+9)

2

=x>4kxQ-3kyQ+3yQ-4kxQ=2(16%?+9)

=4網(wǎng)-3(-2々1+3為-4*(-華人)=2(166+9)

=竺+也=2,

43

所以點(diǎn)Q在定直線;+5=2上.

當(dāng)％=0時(shí),由條件可得P(0,l),積=0,九=3,%=0,%=6,

則點(diǎn)Q(0,6)也在直線;+與=2上.

當(dāng)女不存在時(shí)，由條件可得尸(l,O),%=O,x^,=4,X0=8,%=O,可知點(diǎn)。(8,0)也在直線

*=2上.

43

綜上，點(diǎn)Q在定直線?+,=2上.

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)

立方程組并消元得到關(guān)于X或y的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的

交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有％》2，藥+%或最后利用韋達(dá)定理

把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程(或函數(shù))，從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.

19.(1)證明見(jiàn)解析

⑵。=1

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用二次求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，即可證明;

⑵設(shè)心)=/。)一處一1,一方面：由題意可知取切皿40,則x=0是〃(x)的一個(gè)極大

值點(diǎn)，即九'(0)=0,求得4=1；另一方面：當(dāng)。=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合不等式

cosx<l,ln(l+x)<x討論函數(shù)h(x)的性質(zhì)即可;

(3)由(2),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)的存在性定理可得在函數(shù)g(x)(e-3_1,0)、［0,兀］上各有1個(gè)

零點(diǎn)；由(1),利用放縮法計(jì)算可知g(x)在5,+8)上無(wú)零點(diǎn).

【詳解】⑴因?yàn)榘藊)=-sinx+」一，?w(x)=-sinx+—(-l<x<—),

l+x1+x2

<0對(duì)卜1,5恒成立,

貝|Ju(x)=-