2.2綜合法與分析法省微課一等獎?wù)n件公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

[讀教材·填要點]1．綜正當(dāng)普通地，從出發(fā)，運用定義、公理、定理、性質(zhì)等，通過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明辦法叫做綜正當(dāng)，又叫或．2．分析法證明命題時，我們還經(jīng)常從要證的出發(fā)，逐步謀求使它成立的充足條件，直至所需條件為或(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明辦法叫做分析法，這是一種的思考和證明辦法．已知條件順推證法由因?qū)ЧńY(jié)論已知條件一種明顯成立的事實執(zhí)果索因[小問題·大思維]1．如何理解分析法尋找的是充足條件？提示：用分析法證題時，語調(diào)總是假定的，慣用“欲證A只需證B”表達(dá)，闡明只要B成立，就一定有A成立，因此B必須是A的充足條件才行，固然B是A的充要條件也可．2．用綜正當(dāng)和分析法證明不等式有如何的邏輯關(guān)系？提示：綜正當(dāng)：A?B1?B2?…?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要條件)，即由條件出發(fā)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立．分析法：B?B1?B2?…?Bn?A(步步謀求不等式成立的充足條件)，總之，綜正當(dāng)與分析法是對立統(tǒng)一的兩種辦法．[研一題][悟一法][通一類][研一題][悟一法](1)當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或很難發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑．(2)對于無理不等式的證明，常采用分析法通過平方將其有理化，但在乘方的過程中，要注意其變形的等價性．(3)分析法證題的本質(zhì)是從被證的不等式出發(fā)謀求使結(jié)論成立的充足條件，證明的核心是推理的每一步都必須可逆．[通一類][研一題][例3]已知a，b，c均為正實數(shù)，且b2＝ac.求證：a4＋b4＋c4＞(a2－b2＋c2)2.[精講詳析]本題考察綜正當(dāng)與分析法的綜合應(yīng)用．解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為較易證明的不等式，然后再用綜正當(dāng)證明．欲證原不等式成立，只需證a4＋b4＋c4＞a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2，即證a2b2＋b2c2－a2c2＞0，∵b2＝ac，故只需證(a2＋c2)ac－a2c2＞0.∵a、c＞0，故只需證a2＋c2－ac>0，又∵a2＋c2>2ac，∴a2＋c2－ac>0顯然成立．∴原不等式成立．[悟一法](1)通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明．(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜正當(dāng)，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種辦法充足表明了分析與綜合之間互為前提，互相滲入，互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系．[通一類]數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)高考的核心問題，有時單獨考察，有時以解答題的一問出現(xiàn)，綜正當(dāng)是解決數(shù)學(xué)證明問題的基本辦法，而分析法又為綜正當(dāng)?shù)氖褂锰峁┝怂悸?，因此，綜正當(dāng)與分析法是解決數(shù)學(xué)證