2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 三角形2.2 命題與證明第3課時(shí) 證明與反證法教案 （新版）湘教版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章三角形2.2命題與證明第3課時(shí)證明與反證法教案（新版）湘教版主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為湘教版2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章三角形2.2命題與證明的第3課時(shí)，即證明與反證法。本節(jié)課的內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面：

1.理解反證法的概念和基本步驟，能夠運(yùn)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

2.掌握證明與反證法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，提高解決問題的能力。

3.通過實(shí)例分析，了解證明與反證法在實(shí)際問題解決中的重要性。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：

1.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了命題與證明的基本概念，對(duì)于證明的方法有一定的了解，為本節(jié)課的反證法學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在七年級(jí)學(xué)習(xí)了平面幾何的基本知識(shí)，掌握了基本的幾何證明方法，為本節(jié)課的反證法證明提供了知識(shí)支撐。

3.學(xué)生在一元一次方程和不等式的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)接觸過邏輯推理和反證法的方法，有利于理解本節(jié)課的反證法內(nèi)容。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力。通過學(xué)習(xí)反證法，學(xué)生能夠理解并運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，提高解決問題的能力。同時(shí)，通過實(shí)例分析，學(xué)生能夠了解證明與反證法在實(shí)際問題解決中的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。此外，通過小組合作和討論，學(xué)生能夠提高合作交流能力，培養(yǎng)解決問題的積極主動(dòng)性。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了命題與證明的基本概念，對(duì)于證明的方法有一定的了解。他們還學(xué)習(xí)了平面幾何的基本知識(shí)，掌握了基本的幾何證明方法。此外，學(xué)生在一元一次方程和不等式的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)接觸過邏輯推理和反證法的方法。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)證明和邏輯推理是較為抽象和難以理解的概念。其中一部分學(xué)生可能對(duì)此感興趣，愿意投入時(shí)間和精力去理解和掌握；另一部分學(xué)生可能對(duì)此感到困難和無聊，需要教師通過具體實(shí)例和實(shí)際應(yīng)用來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力參差不齊，有的學(xué)生可能需要更多的時(shí)間和幫助來理解和運(yùn)用反證法。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生喜歡通過直觀的圖示和實(shí)例來學(xué)習(xí)，而有的學(xué)生則更喜歡通過邏輯推理和證明來學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)反證法時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是理解反證法的概念和步驟，對(duì)于如何從假設(shè)出發(fā)推出矛盾有一定的困惑；二是如何將反證法應(yīng)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中，對(duì)于如何選擇合適的命題進(jìn)行反證有一定的困難；三是對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如何正確地運(yùn)用反證法進(jìn)行證明，可能會(huì)出現(xiàn)邏輯推理錯(cuò)誤和證明不完整的情況。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，我選擇采用講授法、討論法和案例研究法相結(jié)合的教學(xué)方法。首先，通過講授法向?qū)W生系統(tǒng)地介紹反證法的概念、步驟和應(yīng)用。然后，通過討論法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自對(duì)反證法的理解和應(yīng)用實(shí)例，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和思維碰撞。最后，通過案例研究法讓學(xué)生通過研究具體的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用反證法進(jìn)行證明，提高學(xué)生解決問題的能力。

2.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

(1)導(dǎo)入：通過一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生對(duì)證明與反證法的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(2)講授：采用PPT展示，結(jié)合板書，向?qū)W生系統(tǒng)地講授反證法的概念、步驟和應(yīng)用，讓學(xué)生清晰地理解反證法的本質(zhì)。

(3)小組討論：將學(xué)生分成若干小組，讓他們就事先準(zhǔn)備好的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論，分享各自對(duì)反證法的理解和應(yīng)用實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過討論交流，進(jìn)一步深化對(duì)反證法的認(rèn)識(shí)。

(4)案例研究：讓學(xué)生分組研究具體的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用反證法進(jìn)行證明，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力。

(5)總結(jié)與反思：在課堂的最后，組織學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和反思，讓學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，鞏固知識(shí)，并對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.教學(xué)媒體和資源：為了提高教學(xué)效果，我計(jì)劃使用PPT、視頻和在線工具等教學(xué)媒體和資源。

(1)PPT：制作精美的PPT，展示反證法的概念、步驟和應(yīng)用，幫助學(xué)生清晰地理解知識(shí)點(diǎn)。

(2)視頻：播放與反證法相關(guān)的教學(xué)視頻，讓學(xué)生更直觀地了解反證法的應(yīng)用過程。

(3)在線工具：利用在線工具，讓學(xué)生在實(shí)際操作中運(yùn)用反證法解決問題，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解反證法的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)反證法內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確反證法教學(xué)目標(biāo)和反證法重難點(diǎn)。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保反證法教學(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)反證法的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入反證法學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡(jiǎn)要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的命題與證明內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況，為反證法新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解反證法的概念、步驟和應(yīng)用，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

突出反證法重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)反證法難點(diǎn)，通過對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞反證法問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)反證法的應(yīng)用，提高實(shí)踐能力。

在反證法新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對(duì)反證法知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)。

強(qiáng)調(diào)反證法的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)反證法的掌握情況。

鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決反證法問題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的反證法錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹與反證法內(nèi)容相關(guān)的拓展知識(shí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合反證法內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。

鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)反證法的心得和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的反證法內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)反證法的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的反證法內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)與技能：

學(xué)生能夠理解反證法的概念、步驟和應(yīng)用，能夠運(yùn)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。通過案例研究和實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生能夠掌握反證法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，提高解決問題的能力。

2.過程與方法：

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

學(xué)生能夠了解證明與反證法在實(shí)際問題解決中的重要性，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。通過學(xué)習(xí)反證法，學(xué)生能夠培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

具體到本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該能夠：

1.掌握反證法的概念和步驟，了解反證法與直接證明的區(qū)別和聯(lián)系。

2.能夠運(yùn)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的幾何命題，如三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等。

3.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用反證法，找到解決問題的方法，提高解決問題的效率。

4.通過小組討論和實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)合作交流能力，學(xué)會(huì)與他人共同解決問題。

5.培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。重點(diǎn)題型整理1.題型一：反證法的應(yīng)用

題目：已知三角形ABC中，AB=AC，求證三角形ABC是等腰三角形。

解題思路：

（1）假設(shè)三角形ABC不是等腰三角形，即AB不等于AC。

（2）根據(jù)假設(shè)，得出BC的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度。

（3）根據(jù)三角形的性質(zhì)，任意兩邊之和大于第三邊，得出AB+AC>BC。

（4）但是，根據(jù)假設(shè)，AB=AC，所以AB+AC=AC+AC=BC。

（5）得出矛盾，因?yàn)锳B+AC>BC與AB+AC=BC同時(shí)成立。

（6）由矛盾得出假設(shè)不成立，即三角形ABC是等腰三角形。

答案：三角形ABC是等腰三角形。

2.題型二：反證法證明線段長(zhǎng)度關(guān)系

題目：已知線段AB和線段BC，且AB>BC，證明線段AC<AB+BC。

解題思路：

（1）假設(shè)線段AC>AB+BC。

（2）根據(jù)假設(shè)，得出AC的長(zhǎng)度大于AB和BC的長(zhǎng)度之和。

（3）根據(jù)線段的性質(zhì)，任意兩邊之和大于第三邊，得出AB+BC>AC。

（4）但是，根據(jù)假設(shè)，AC>AB+BC，所以AB+BC<AC+BC。

（5）得出矛盾，因?yàn)锳B+BC>AC與AB+BC<AC+BC同時(shí)成立。

（6）由矛盾得出假設(shè)不成立，即線段AC<AB+BC。

答案：線段AC<AB+BC。

3.題型三：反證法證明角度關(guān)系

題目：已知三角形ABC中，角A不等于角B，證明三角形ABC不是等腰三角形。

解題思路：

（1）假設(shè)三角形ABC是等腰三角形，即角A等于角B。

（2）根據(jù)假設(shè)，得出三角形ABC的兩個(gè)底角相等。

（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和等于180度，得出角A+角B+角C=180度。

（4）但是，根據(jù)假設(shè)，角A等于角B，所以角A+角B+角C=2角A+角C=180度。

（5）得出矛盾，因?yàn)榻茿+角B+角C=180度與2角A+角C=180度同時(shí)成立。

（6）由矛盾得出假設(shè)不成立，即三角形ABC不是等腰三角形。

答案：三角形ABC不是等腰三角形。

4.題型四：反證法證明幾何圖形的性質(zhì)

題目：已知正方形ABCD，證明對(duì)角線AC和BD相等。

解題思路：

（1）假設(shè)對(duì)角線AC和BD不相等。

（2）根據(jù)假設(shè)，假設(shè)AC>BD。

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，對(duì)角線將正方形分成兩個(gè)等腰直角三角形。

（4）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出AC=2AD和BD=2BC。

（5）但是，根據(jù)假設(shè)，AC>BD，所以2AD>2BC，即AD>BC。

（6）得出矛盾，因?yàn)锳D=BC（正方形的性質(zhì)）。

（7）由矛盾得出假設(shè)不成立，即對(duì)角線AC和BD相等。

答案：對(duì)角線AC和BD相等。

5.題型五：反證法證明數(shù)學(xué)命題的正確性

題目：已知正整數(shù)a、b和c滿足a+b+c=100，證明至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)。

解題思路：

（1）假設(shè)所有正整數(shù)a、b和c都是奇數(shù)。

（2）根據(jù)假設(shè)，得出a=2m+1，b=2n+1，c=2p+1，其中m、n、p是正整數(shù)。

（3）將a、b、c的表達(dá)式代入a+b+c=100，得出2m+1+2n+1+2p+1=100。

（4）化簡(jiǎn)得出2(m+n+p)+3=100。

（5）進(jìn)一步化簡(jiǎn)得出2(m+n+p)=97。

（6）得出矛盾，因?yàn)?7是一個(gè)素?cái)?shù)，無法被2整除。

（7）由矛盾得出假設(shè)不成立，即至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)。

答案：至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)。內(nèi)容邏輯關(guān)系①反證法的概念和步驟

反證法是一種證明方法，通過否定要證明的命題，進(jìn)而推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性。反證法的步驟包括：

1.否定要證明的命題。

2.推導(dǎo)出矛盾。

3.得出原命題的正確性。

②反證法與直接證明的區(qū)別和聯(lián)系

反證法與直接證明是兩種不同的證明方法，它們之間的區(qū)別和聯(lián)系如下：

1.直接證明是通過正面論證命題的正確性來證明命題，而反證法是通過否定命題來證明命題的正確性。

2.直接證明更直接、直觀，反證法更曲折、深入。

3.反證法是一種更加強(qiáng)調(diào)邏輯推理和思維能力的證明方法，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題的本質(zhì)。

③反證法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

反證法在實(shí)際問題中的應(yīng)用非常廣泛，例如在數(shù)學(xué)問題解決、邏輯推理、科學(xué)探究等領(lǐng)域都有應(yīng)用。以下是一些反證法在實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)例：

1.數(shù)學(xué)問題解決：通過否定一個(gè)命題，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性。

2.邏輯推理：通過否定一個(gè)前提，推導(dǎo)出矛盾，從而證明前提的不正確性。

3.科學(xué)探究：通過否定一個(gè)假設(shè)，推導(dǎo)出矛盾，從而證明假設(shè)的不正確性。

④反證法的優(yōu)缺點(diǎn)

反證法雖然是一種強(qiáng)有力的證明方法，但也存在一些優(yōu)缺點(diǎn)，例如：

1.優(yōu)點(diǎn)：反證法可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題的本質(zhì)，提高邏輯推理和思維能力，可以解決一些直接證明難以解決的問題。

2.缺點(diǎn)：反證法需要較強(qiáng)的邏輯推理能力，對(duì)于一些初學(xué)者來說可能比較困難。

⑤反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，可以用來證明數(shù)學(xué)定理和公式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。以下是一些反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例：

1.證明數(shù)學(xué)定理：通過否定定理的條件或結(jié)論，推導(dǎo)出矛盾，從而證明定理的正確性。

2.證明數(shù)學(xué)公式：通過否定公式的兩邊，推導(dǎo)出矛盾，從而證明公式的正確性。

⑥反證法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

反證法不僅在學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用。以下是一些反證法在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例：

1.邏輯推理：在辯論中，通過否定對(duì)方的觀點(diǎn)，推導(dǎo)出矛盾，從而證明自己的觀點(diǎn)的正確性。

2.科學(xué)探究：在科學(xué)研究中，通過否定一個(gè)假設(shè)，推導(dǎo)出矛盾，從而證明假設(shè)的不正確性。

八、板書設(shè)計(jì)

板書設(shè)計(jì)應(yīng)條理清楚、重點(diǎn)突出、簡(jiǎn)潔明了，以便于學(xué)生理解和記憶。以下是一個(gè)板書設(shè)計(jì)的示例：

1.反證法的概念和步驟

-否定要證明的命題

-推導(dǎo)出矛盾

-得出原命題的正確性

2.反證法與直接證明的區(qū)別和聯(lián)系

-直接證明：正面論證命題的正確性

-反證法：否定命題，推導(dǎo)出矛盾

3.反證法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-數(shù)學(xué)問題解決

-邏輯推理

-科學(xué)探究

4.反證法的優(yōu)缺點(diǎn)

-優(yōu)點(diǎn)：深入思考問題的本質(zhì)，提高邏輯推理和思維能力

-缺點(diǎn)：需要較強(qiáng)的邏輯推理能力，初學(xué)者可能感到困難

5.反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

-證明數(shù)學(xué)定理

-證明數(shù)學(xué)公式

6.反證法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

-邏輯推理

-科學(xué)探究教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

在課堂上，學(xué)生的表現(xiàn)是教學(xué)評(píng)價(jià)的重要方面。通過觀察學(xué)生的課堂參與度、提問和回答問題的情況，可以了解學(xué)生對(duì)反證法的理解和掌握程度。例如，學(xué)生是否能夠正確運(yùn)用反證法的步驟，是否