2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-圓的方程【導(dǎo)學(xué)案】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-圓的方程【課標解讀】【課程標準】1.掌握圓的標準方程的特征,能根據(jù)所給條件求圓的標準方程.2.掌握圓的一般方程,能對圓的一般方程與標準方程進行互化,了解二元二次方程表示圓的條件.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法圓的方程高考一般不單獨考查,它常與直線、平面向量及圓錐曲線相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.預(yù)測預(yù)計2025年高考圓的方程與平面向量、圓錐曲線交匯考查,三種題型都有可能出現(xiàn).【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.圓的定義與方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心為(a,b)半徑為r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0充要條件:D2+E2-4F>0圓心坐標:(-D2,-E半徑:r=1微點撥圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點:(1)x2,y2項的系數(shù)均為1;(2)沒有xy項;(3)D2+E2-4F>0.2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.常用結(jié)論1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號12341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)圓心位置和圓的半徑確定,圓就唯一確定.(√)提示:(1)確定圓的幾何要素就是圓心和半徑,故(1)正確;(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓.(×)提示:(2)當m=0時,不表示圓,故(2)錯誤;(3)圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標是(1,-1),半徑長是2.(×)提示:(3)圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標是(-1,1),半徑長是2,故(3)錯誤;(4)點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外.(√)提示:(4)因為(0-1)2+(0-2)2>1,所以點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正確.2.(選擇性必修第一冊人AP88練習(xí)T1變形式)圓x2+y2-4x-1=0的圓心坐標及半徑分別為()A.(2,0),5 B.(2,0),5C.(0,2),5 D.(2,2),5【解析】選B.依題意,圓x2+y2-4x-1=0轉(zhuǎn)化為標準方程得(x-2)2+y2=5,所以圓心為(2,0),半徑為5.3.(忽略D2+E2-4F>0)若點P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0外,則實數(shù)k的取值范圍是()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) D.【解析】選C.由題意得1+1+1-1+k>0,4.(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為____________.

【命題意圖】本題主要考查求圓的標準方程的方法,關(guān)鍵是確定圓心和半徑.【解析】因為點M在直線2x+y-1=0上,所以設(shè)點M為(a,1-2a),又因為點(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以點M到兩點的距離相等且為半徑R,所以(a-3)2a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=5【核心考點·分類突破】考點一求圓的方程[例1](1)(一題多法)過點A(1,-1)與B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】選C.方法一(待定系數(shù)法):設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則(1-a)2+(-1-b)2方法二(幾何法):圓心一定在AB的中垂線上,AB的中垂線方程為y=x.由y=x,x+所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.(2)(2022·全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為__________.

【命題意圖】考查圓的一般方程,待定系數(shù)法.【解析】依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,若過(0,0),(-1,1),(4,0),則F=016+4D+F=01+1-D+E+F即(x-2)2+(y-3)2=13;若過(0,0),(4,0),(4,2),則F=016+4D所以圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若過(0,0),(-1,1),(4,2),則F=01+1-所以圓的方程為x2+y2-83x-143y=0,即(x-4若過(-1,1),(4,0),(4,2),則1+1-D+所以圓的方程為x2+y2-165x-2y-16即(x-85)2+(答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)【誤區(qū)警示】選取不共線的三點求解即可.若考慮三點共線,既耽誤時間又無解.解題技法求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標準方程,求出a,b,r的值.②若已知條件中涉及圓上的點的坐標,常選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值提醒:解答圓的有關(guān)問題時,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運用圓的幾何性質(zhì).對點訓(xùn)練1.(2024·許昌模擬)以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的標準方程為()A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x-3)2+(y+4)2=16C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+4)2=9【解析】選C.以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的半徑為3,故圓的標準方程是(x-3)2+(y-4)2=9.2.(2024·茂名模擬)過四點(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三點的一個圓的方程為__________(寫出一個即可).

【解析】過(-1,1),(1,-1),(3,1)時,設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則2-D+圓的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4;同理可得:過(1,-1),(2,2),(3,1)時,圓的方程是(x-32)2+(y-12)2=過(-1,1),(1,-1),(2,2)時,圓的方程是(x-34)2+(y-34)2=過(-1,1),(2,2),(3,1)時,圓的方程是(x-1)2+y2=5.答案:(x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4,(x-32)2+(y-12)2=52,(x-34)2+(y-34)2=258,(x【加練備選】若圓C經(jīng)過坐標原點,且圓心在直線y=-2x+3上運動,當半徑最小時,圓的方程為__________.

【解析】設(shè)圓心坐標為(a,-2a+3),則圓的半徑r=(a-0)2當a=65時,rmin=3故所求圓的方程為(x-65)答案:(x-65考點二與圓有關(guān)的軌跡問題教考銜接類題串串聯(lián)題號類題說明(1)源自第89頁綜合運用·T8.此題為定義圓(2)源自第87頁例5.此題為圓的伴生圓(3)源自第89頁拓廣探索·T9.此題為比例圓(阿氏圓)(4)源自第89頁拓廣探索·T10.此題為圓的參數(shù)方程[例2](1)長為2a的線段的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,則線段AB的中點的軌跡方程為__________.

【解析】(1)如圖,設(shè)線段AB的中點為M(x,y),點M運動時,它到原點O的距離為定長,即Rt△AOB的斜邊上的中線長為定長.因為AB=2a,即點M∈M|OM=a,點M的軌跡方程為x2+y2答案:x2+y2=a2(2)已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,則線段AB的中點M的軌跡方程為__________________.

【解析】(2)如圖,設(shè)點M的坐標是(x,y),點A的坐標是x0由于點B的坐標是(4,3),且M是線段AB的中點,所以x=x0+42,y于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標滿足方程,即(x0+1)把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322答案:x-32(3)已知動點M到兩定點O(0,0),A(3,0)的距離比為12,則動點M的軌跡方程為__________【解析】(3)如圖,設(shè)點M的坐標為(x,y),根據(jù)題設(shè)有M∈M|MO||MA化簡,得點M的軌跡方程為x2+y2+2x-3=0.軌跡是圓心為-1,答案:x2+y2+2x-3=0(4)在平面直角坐標系中,如果點P的坐標(x,y)滿足x=a+rcosθ,【解析】(4)由于點P的坐標(x,y)滿足x=a+rcosθ,y=b+rsinθ,其中θ為參數(shù),所以x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos答案:(x-a)2+(y-b)2=r2解題技法求與圓有關(guān)軌跡問題的兩種方法(1)直接法:當題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時,可設(shè)出該點的坐標,用坐標表示等式,直接求解軌跡方程.(2)代入法:當題目條件中已知某動點的軌跡方程,而要求的點與該動點有關(guān)時,常找出要求的點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.對點訓(xùn)練(2024·宜昌模擬)已知定點M(1,0),N(2,0),動點P滿足|PN|=2|PM|.(1)求動點P的軌跡C的方程;【解析】(1)設(shè)動點P的坐標為(x,y),因為M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,所以(x-2)2+y2=2·所以動點P的軌跡C的方程為x2+y2=2.(2)已知點B(6,0),點A在軌跡C上運動,求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.【解析】(2)設(shè)點Q的坐標為(m,n),點A的坐標為(xA,yA),因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點,所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),解得xA=3m-12由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化簡得(m-4)2+n2=29即點Q的軌跡方程為(x-4)2+y2=29【加練備選】1.在平面直角坐標系xOy中,已知點A0,-2,若動點M滿足MAMO=2,則點MA.x2+(y+2)2=22 B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8【解析】選D.設(shè)M(x,y),因為MAMO=2,A(0,-2),所以x2+所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8為點M的軌跡方程.2.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應(yīng)的頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),則底邊另一個端點C的軌跡方程是__________________________________.

【解析】設(shè)C(x,y).由題意知,|AB|=(3-4因為△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即點C的軌跡是以點A為圓心,10為半徑的圓.又點A,B,C構(gòu)成三角形,所以三點不可共線,所以軌跡中需去掉點B(3,5)及點B關(guān)于點A對稱的點(5,-1),所以點C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點)考點三圓的對稱性問題[例3](1)(2022·北京高考)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,則a=()A.12 B.-12 C.1 D【命題意圖】考查直線與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)題.【解析】選A.因為直線是圓的對稱軸,所以直線過圓心.又因為圓心坐標為(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12(2)(多選題)圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在圓上,且圓的半徑為5,則圓的方程可能是()A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5【解析】選AD.因為圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在這個圓上,所以圓心在直線x+y=0上,因此設(shè)圓心坐標為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.解題技法圓的對稱性的兩點推廣由于圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,因此過圓心的直線必定平分圓的周長,且圓上的點關(guān)于過圓心直線的對稱點也在圓上.對點訓(xùn)練(多選題)關(guān)于圓(x-2)2+y2=5,下列說法正確的是()A.關(guān)于點(2,0)對稱B.關(guān)于直線y=0對稱C.關(guān)于直線x-y+2=0對稱