遼寧省沈陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用終邊相同角的概念公式求解即可.【詳解】解：，與角終邊相同的角是．故選：B.2.已知，，，若，則（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】代入向量共線的坐標(biāo)表示，即可求解．【詳解】，，，則，，，則，解得．故選：D3.在扇形中，，且弦，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用弧度制下的扇形面積公式,結(jié)合圓的垂徑定理可解.【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角大小為，半徑為，扇形的面積為，且弦，可得，，扇形的面積為．故選：B4.在梯形中，，，則（）A.25 B.15 C.10 D.5【答案】A【解析】分析】由題意得到，根據(jù)向量垂直和模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，又，，，，，則.故選：A5.在與中，已知，若對(duì)任意這樣兩個(gè)三角形,總有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知有唯一解，且，結(jié)合正弦定理可得曲線和水平直線必須有唯一的交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由題意可知：有唯一解，且，由正弦定理，可得，所以關(guān)于A的方程有唯一解，可知曲線和水平直線必須有唯一的交點(diǎn)，則或，解得或．故選：D.6.小娟，小明兩個(gè)人共提一桶水勻速前進(jìn)，已知水和水桶總重力為，兩人手臂上的拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結(jié)論中正確的是（）A.越小越費(fèi)力，越大越省力 B.始終有C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量的平行四邊形法則可得，由此分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由于，又由，則有向量，為鄰邊的四邊形為菱形，則有，,對(duì)于A，由于不變，則越小越省力，越大越費(fèi)力，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：C.7.若，且，，，則，，的大小是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，，，，可看成與，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】因?yàn)槿?，且，，，若，則，，顯然不符合題意，若時(shí)，，所以，，，由題意可得，，可看成與，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，．故選：B8.已知，其中，.其部分圖象如下圖，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知先求出函數(shù)的一條對(duì)稱軸，結(jié)合對(duì)稱性求出周期，進(jìn)而可求，結(jié)合特殊點(diǎn)可求，從而可求，把代入即可求解.【詳解】由題意可得，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，故，所以，則，又，，且，所以，所以，所以.故選：C二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：BC10.已知向量，，，則（）A.在上的投影數(shù)量是 B.在上的投影向量是C.與夾角的正弦值是 D.【答案】AD【解析】【分析】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算可得，由投影向量計(jì)算可判斷，；由夾角求法可判斷；由數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，即，所以，?duì)于A，在上的投影數(shù)量是，故A正確；對(duì)于B，在上的投影向量是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD11.設(shè)函數(shù)fx=Asinωx+φ（其中，，），若在上具有單調(diào)性，且，則（A. B.C. D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦及余弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性及周期性分別求出，，再由特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值可求，進(jìn)而可求，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以，又，所以，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于對(duì)稱，所以，，所以，故時(shí)，，B錯(cuò)誤；故，因?yàn)?，即，，又，所以，C正確；所以，所以，所以，A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，所以，D錯(cuò)誤．故選：AC12.在中，，，，則（）A.的周長(zhǎng)是 B.邊上的中線長(zhǎng)C.邊上的角平分線長(zhǎng) D.邊上的高長(zhǎng)【答案】ACD【解析】【分析】由題意利用余弦定理可得的值，即可判斷A；，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求，即可判斷B；由以及正弦定理形式的面積公式即可判斷C；設(shè)邊上的高為，利用三角形的面積公式即可判斷D.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)是，故A正確；設(shè)邊上的中線為AD，則，兩邊平方，可得，解得，故B錯(cuò)誤；設(shè)邊上的角平分線為，則，則由得，所以，解得，故C正確；設(shè)邊上的高為，因?yàn)?，，，，所以，解得，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知三角形一邊及其對(duì)角，如已知的一邊及其對(duì)角，則（1）求角平分線常用等面積公式即來(lái)求解；（2）求（為邊上的點(diǎn)且滿足）常用向量法先得，再兩邊平方來(lái)求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，滿足條件的的集合是_______.【答案】【解析】【分析】首先利用輔助角公式化簡(jiǎn)不等式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【詳解】，則，，解得，，又，則滿足條件的的集合是．故答案為：.14.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到的圖象的函數(shù)解析式是________.【答案】【解析】【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．【詳解】函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象．故答案為：15.已知，則______.【答案】##【解析】【分析】由已知直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由，得，即，.故答案為：16.在中，為邊上的任一點(diǎn)，若，，則______.【答案】##【解析】【分析】化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合余弦定理可得，可求，從而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值.【詳解】設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，因?yàn)?，所以，又由余弦定理可得，所以，可得，可得，即，即，所以由余弦定理，可得，所?故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）若，求P的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由點(diǎn)在單位圓上，求，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求，即可求解；（2）利用誘導(dǎo)公式求，，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上且，所以，得.即，且由三角函數(shù)定義知，，，故.【小問(wèn)2詳解】由題意：，，故.18.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N在上，.（1）設(shè)，，用，表示向量；（2）求證：M，N，C三點(diǎn)共線.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.（2）先求得，然后利用共線向量基本定理即可證明.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且由?）知，所以，所以，又C為公共點(diǎn)，所以M，N，C三點(diǎn)共線.19.（1）已知，，求滿足，的點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)，為單位向量，且，向量與共線，求的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件，建立關(guān)于的方程組，即可求解；（2）根據(jù)共線條件，用向量表示，再利用數(shù)量積運(yùn)算公式表示，即可求最小值.【詳解】（1）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以，解得或，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,1或-2,3（2）由向量與共線，令，，則，而向量，為單位向量，且，于是得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以的最小值為.20.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)余弦定理將角化為邊，化簡(jiǎn)后，再根據(jù)余弦定理求角；方法二：根據(jù)正弦定理將邊化為角，再根據(jù)三角函數(shù)兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可求解；（2）根據(jù)余弦定理和銳角三角形的性質(zhì)，求，再代入三角形面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】（方法一：）由余弦定理得：，又由題知：，所以，化簡(jiǎn)得，所以：，因?yàn)?，?（方法二：）由正弦定理得：，因?yàn)樗裕?，因?yàn)?，?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理：，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，最大角B是鈍角，為鈍角三角形，舍去；當(dāng)時(shí)，，最大角B是銳角，為銳角三角形，符合題意.所以.21.已知在上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且對(duì)任意的，都有.（1）求解析式；（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求周期求參，再根據(jù)最值求參即可得出解析式；（2）根據(jù)零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性得出參數(shù)值，再應(yīng)用解析式求函數(shù)值.【小問(wèn)1詳解】由題對(duì)任意，都有，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以得，所以又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，所以，，即，.因?yàn)椋?，所以?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，則在內(nèi)的圖象如圖所示，由題函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，即與在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，，數(shù)形結(jié)合可得：，，即，所以.22.已知a，b，c分別為中角A，B，C對(duì)邊，G為的重心，為邊上的中線.（1）若的面積為，且，，求的長(zhǎng)；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)三角形的面積公式，判斷的形狀，再根據(jù)幾何關(guān)系以及余弦定理求；（2）方法一，首先由是直角三角形，設(shè)，則，，在和和中，分別利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解；方法