選修4-4-第一講-坐標(biāo)系

平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程課前思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?問題分析：坐標(biāo)壓縮變換：歸納總結(jié)：?jiǎn)栴}分析：坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換歸納總結(jié)：?jiǎn)栴}分析：坐標(biāo)伸縮變換歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：例題分析：例題分析：例題分析：由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓。思考：在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？拋物線、雙曲線變成什么曲線？結(jié)論分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：極坐標(biāo)系的概念某同學(xué)在教學(xué)樓處，（1）向東偏北60°方向走120m到達(dá)什么位置（2）如果有人打聽實(shí)驗(yàn)樓和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？60°60m45°C圖書館D實(shí)驗(yàn)樓50m120mB體育館A教學(xué)樓辦公樓E？在生活中，這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。右圖為某校園的平面示意圖在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫極點(diǎn)。自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸。再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度單位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向）XO極坐標(biāo)系的建立XOM

極點(diǎn)o與M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為

；一般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為≥0，可取任意實(shí)數(shù)。以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為

.有序數(shù)對(duì)（，）叫做M的極坐標(biāo)，記作M（

，）.M是平面內(nèi)一點(diǎn)，|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為

；角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為

.點(diǎn)的極坐標(biāo)系表示PPMNMN例1說出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)，并找出點(diǎn)解：以A為極點(diǎn)，AB所在的射線為極軸建立極坐標(biāo)系。點(diǎn)A（0，0）B（60，0），C（120，）E60°60m45°C圖書館D實(shí)驗(yàn)樓50m120mB體育館A教學(xué)樓辦公樓E（O）x例2建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)60°60m45°C圖書館D實(shí)驗(yàn)樓50m120mB體育館A教學(xué)樓辦公樓E（O）xC點(diǎn)坐標(biāo)唯一嗎？…思考：XOM

如圖：OM的長(zhǎng)度為120，它們是終邊相同的角。極徑相同，不同的是極角這些極坐標(biāo)之間有何異同？這些極角有何關(guān)系？極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況OXPM(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)一般地,若（，）是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則(ρ,θ+2kπ)都可以作為它的極坐標(biāo).特別的：極點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了.給定平面上一點(diǎn)M，有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化互化前提1.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2.極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同.互化關(guān)系式反饋練習(xí)例2.將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo).例3已知兩點(diǎn)（2，），（3，）求兩點(diǎn)間的距離.例3已知兩點(diǎn)（2，），（3，）求兩點(diǎn)間的距離.oxAB解：∠AOB=用余弦定理求AB的長(zhǎng)即可.極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離公式（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程（圓與直線）一般地，求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟（1）建立極坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件；（3）將幾何條件用極坐標(biāo)表示；（4）化簡(jiǎn)小結(jié).

下結(jié)論建立極坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)（

,）找

,的關(guān)系化簡(jiǎn)F(,)=0圓的極坐標(biāo)方程思考：一般地，在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是什么？MθρxO總結(jié)：極點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓

ρ＝r

思考：在極坐標(biāo)系中，若半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C(a，0)(a＞0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)滿足的條件嗎？xCMθρxOCA總結(jié)：圓心為C(a，0)半徑為a的圓ρ＝2acosθ思考：點(diǎn)O，A的極坐標(biāo)可以分別是什么？它們都滿足等式ρ＝2acosθ嗎？點(diǎn)

，A(2a，0)都滿足等式.總結(jié)：一般地，在極坐標(biāo)系中，對(duì)于平面曲線C和方程f(ρ，θ)＝0，在下列條件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲線C的極坐標(biāo)方程（1）曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0；（2）坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上.思考：在極坐標(biāo)系中，圓心坐標(biāo)為C(a，π)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是什么？圓心坐標(biāo)為C(a，)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是什么？

ρ＝－2acosθ

ρ＝2asinθMθρxOCAMθρxOCAMθρxOC思考：在極坐標(biāo)系中，圓心坐標(biāo)為C(a，

０)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是什么？思考：一般地，在極坐標(biāo)系中，圓心坐標(biāo)為

C(

0,

０)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是什么？MθρxOC

2+

0

2-2

0cos(-

０)=

r2還可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)去解決2.在極坐標(biāo)系中，圓心為(4，0)，半徑為4的圓4.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,)為圓心，1為半徑的圓1.在極坐標(biāo)系中，圓心為極點(diǎn)，半徑為2的圓3.在極坐標(biāo)系中，圓心為(3，)，半徑為3的圓5.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(,)為圓心，1為半徑的圓練習(xí)1：寫出下列條件所滿足的圓的極坐標(biāo)方程ρ＝4

練習(xí)：說出下列極坐標(biāo)方程所對(duì)應(yīng)的圓思考：如圖，過極點(diǎn)作射線OM，若從極軸到射線OM的最小正角為450，則射線OM的極坐標(biāo)方程是什么？過極點(diǎn)作射線OM的反向延長(zhǎng)線ON，則射線ON的極坐標(biāo)方程是什么？直線MN的極坐標(biāo)方程是什么？M45°xON射線OM：；射線ON：；和直線MN：；思考：M45°xON或可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。如果允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)，MN的極坐標(biāo)方程是什么？探究：過點(diǎn)A(a，0)(a≠0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是什么？Mρθρcosθ＝a

xOAxOAMρθ-ρcosθ＝a.過點(diǎn)A(a，π)(a≠0)在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為a的極坐標(biāo)方程：在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為a的極坐標(biāo)方程：-思考：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為

，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。

解：如圖，設(shè)點(diǎn)為直線上異于P的點(diǎn)連接OM，﹚oMxp在中有

即顯然P點(diǎn)也滿足上述方程。思考

：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚解：如圖，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接OM為直線上除則由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知設(shè)直線L