材料力學知識點及測試題

材料力學知識點

第一章緒論

教學學時2學時

基本內容材料力學的任務；變形固體的基本假設；外力及其分類；內力、截面法和應力

的概念；變形與應變；桿件變形的基本形式

教學目標1、掌握構件強度、剛度和穩(wěn)定性的概念，明確材料力學這門課的基本任務和

學習目的。2、深入理解變形固體基本假設的內涵和意義。3、準確理解內力、

截面法、應力、變形和應變的概念。4、掌握桿件四種基本變形的受力和變形

特點。

重點、難點重點：1、強度、剛體、穩(wěn)定性的概念。2、變形固體的基本假設。3、分布內

力應滿足的靜力平衡關系。

難點：1、分布內力應滿足的靜力平衡關系。2、靜力學原理與概念在材料力學

中的可用性與限制性。

教學手段課堂講授；實例說明

§1.1材料力學的任務

1.材料力學的任務

在滿足強度、剛度、穩(wěn)定性的要求下，為設計既經(jīng)濟又安全的桿件，提供必要的理論基

礎和計算方法。

2.強度、剛度、穩(wěn)定性的概念

強度是指構件在載荷作用下抵抗破壞的能力。

剛度是指構件在載荷作用下抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性是指構件在載荷作用下保持原有平衡形態(tài)的能力。

§1.2變形固體的基本假設

1.連續(xù)性假設

物體的結構是密實、無空隙的，因而其力學性能是連續(xù)的。

2.均勻性假設

物體內各點材料均勻分布，其力學性能是均勻一致的。

3.各向同性假設

物體內任一點處沿各個方向的力學性能都相同。

4.小變形假設

材料力學研究的問題，僅限于變形的大小遠小于構件的原始尺寸的情況。在小變形條件

下，研究構件的平衡和運動時，可以忽略構件的變形，而按構件變形前的原始尺寸進行分析

計算。

符合假設1、2、3的構件稱為理想變形體，符合小變形假設的理想變形體稱為理想彈性

體。這就是材料力學的研究對象。

§1.3外力及其分類

外力是外部物體對構件的作用力，包括外加載荷和約束反力。

1.按外力的作用方式分為：體積力和表面力

1）體積力：連續(xù)分布于物體內部各點上的力，如物體的自重和慣性力。

2）表面力：作用于物體表面上的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于

物體表面的力，如作用于船體上的水壓力等；集中力是作用于一點的力，如火車輪對鋼軌的

壓力等。

2.按外力的性質分為：靜載荷和動載荷

1）靜載荷：載荷緩慢地由零增加到某一定值后，不再隨時間變化，保持不變或變動很

不顯著，稱為靜載荷。

2）動載荷：載荷隨時間而變化。動載荷可分為使構件具有較大加速度的載荷、交變載

荷和沖擊載荷三種情況。

交變載荷是隨時間作周期性變化的載荷;沖擊載荷是物體的運動在瞬時內發(fā)生急劇變化

所引起的載荷。

§1.4內力、截面法和應力的概念

1.內力

指構件在外力的作用下，內部相互作用力的變化量，即構件內部各部分之間的因外力作

用而引起的附加相互作用力，稱為'‘附加內力"，簡稱‘'內力構件的內力隨外力增加而增

大，但增加到某一限度時，構件將發(fā)生破壞，所以內力是有限度的，這一限度與構件強度密

切相關。使用截面法求解內力。

2.截面法

（1）欲求構件某一截面上的內力時，可沿該截面假想把構件切開成兩部分，棄去任一

部分，保留另一部分作為研究對象。

（2）在保留部分的截面上加上內力，以代替棄去部分對保留部分的作用。

（3）根據(jù)平衡條件，列平衡方程，求解截面上內力的合力。

n

NPdP

'即為分布內力系在上點的集度，稱為截面〃一〃上憶點的應力。,是個矢量。垂直于

截面的應力稱為“正應力”，位于截面內的應力稱為“切應力”。

應力的單位是牛/米"稱為帕斯卡或簡稱帕（"）。

§1.5變形與應變

設物體內MN方向線段長/s變形后M川長ds+4u

線應變：

「du

￡=lim7=丁

A.y->0Zds

剪應變：單元體的各棱邊除可能有長度變化外，還可能發(fā)生相互垂直的兩棱邊之間的直

角的改變。其改變量？稱為剪應變，也是無量綱量，常用弧度來度量。

Y=hm\--ZLMN

ML—01

§1.6桿件變形的基本形式

桿件受力有各種情況，相應的變形就有各種形式，在工程結構中，桿件的基本變形只有

以下四種：

1.拉伸和壓縮：變形形式是由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對力

引起的，表現(xiàn)為桿件長度的伸長或縮短。如托架的拉桿和壓桿受力后的變形。

拉伸壓縮

2.剪切：變形形式是由大小相等己?抖的，表現(xiàn)為受剪

桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相，J后的變形。

剪切

3.扭轉：變形形式是由大小相等、轉向相反、作用面都垂直于桿軸的一對力偶引起的,

表現(xiàn)為桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉動。如機器中的傳動軸受力后的變形。

扭轉

4.彎曲：變形形式是由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于包含桿軸的縱向平面內

的一對大小相等、方向相反的力偶引起的，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)槭芰ζ矫鎯鹊那€。

如單梁吊車的橫梁受力后的變形。

MM

彎曲

變形后軸線

5.組合受力與變形：桿件同時發(fā)生幾種基本變形，稱為組合變形。

組合受力

作業(yè)：Piol.l;1.2；1.3；1.4

小結

1、材料力學的任務

（1）強度要求；（2）剛度要求；（3）穩(wěn)定性要求。

2、變形固體的基本假設

（1）連續(xù)性假設；（2）均勻性假設；（3）各向同性假設；（4）小變形假設。

3、外力及其分類

表面力、體積力；靜載荷、動載荷。

4、內力、截面法和應力的概念

內力：

構件在外力的作用下，內部相互作用力的變化量，即構件內部各部分之間的因外力作

用而引起的附加相互作用力，稱為“附加內力”，簡稱“內力”。

截面法：

（1）欲求構件某一截面上的內力時，可沿該截面假想把構件切開成兩部分，棄去任一

部分，保留另一部分作為研究對象。

（2）在保留部分的截面上加上內力，以代替棄去部分對保留部分的作用。

（3）根據(jù)平衡條件，列平衡方程，求解截面上內力的合力.

應力：

rAPdP

正應力、切應力。

5、變形與應變

線應變、切應變。

6、桿件變形的基本形式

（1）拉伸或壓縮；（2）剪切；（3）扭轉；（4）彎曲；（5）組合變形。

第二章拉伸、壓縮與剪切

教學學時6學時（拉伸與壓縮實驗2學時）。

基本內容軸向拉伸與壓縮的概念和實例；軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力；直

桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力；材料拉伸時的力學性能；材料壓縮時的

力學性能；失效、安全系數(shù)和強度計算；軸向拉伸或壓縮時的變形；軸向拉伸

或壓縮的應變能；拉伸、壓縮超靜定問題。

教學目標1、熟練掌握拉（壓）桿內力、應力和變形計算方法。2、領會胡克定律的實質。

3、明確典型材料拉（壓）時的力學性能。4、掌握拉（壓）桿強度計算。5、

了解應變能概念。6、掌握簡單拉（壓）超靜定問題的解法。

重點、難點重點：1、胡克定律。2、拉（壓）桿的強度計算

難點：1、超靜定問題的解法（列寫補充協(xié)調方程）。

教學手段課堂講授；實例說明

§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例

1.軸向拉伸與壓縮的概念

桿件上外力合力的作用線與桿件軸線重合，變形是沿軸線方向的伸長和縮短。

2.力學模型

PP

PP

§2.2軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力

1.軸力

桿在軸向拉壓時，橫截面上的內力稱為軸力。軸力用N表示，方向與軸線重合。

求解軸力的方法：截面法。

軸力的符號規(guī)則：N與截面的外法線方向一致為正；反之為負。軸力為正，桿件受拉;

軸力為負，桿件受壓。

2.軸力圖：用折線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫軸表示截面位

置，縱軸表示軸力大小。它能確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險截

面位置，為強度計算提供依據(jù)

例AB桿受力如圖所示，已知片=2.5)WV,P2=4kN,6=L5ZN。試求AB桿

各段內并作軸力圖

解：

(1)計算各段的軸力

對AC段，設置截面如圖，

由平衡方程Zx=o得

N、=R=2.5KN

對BC段，由平衡方程Zx=o得

U6=0

M=-1.5KN

(2)按比例畫軸力圖

3.軸向拉(壓)時橫截面上的應力，強度條件

根據(jù)橫截面在軸向拉壓時仍然保持為平面不變的平面假設，可得橫截面上只存在正應

力。又因為材料均勻連續(xù)，并且縱向纖維的伸長相同，所以橫截面上的正應力均勻分布。

N

(J=—

A

強度條件及其應用:

0=曉

例如圖所示托架，已知：AB為鋼板條，截面積100cm2,AC為10號槽鋼，橫截面

面積為A=12.7cm2o若P=65KN,求：各桿的應力。

解：

(1)以節(jié)點C為研究對象，受力分析如圖所示，建立平衡方程

3

?=0%=M

2y=。N,±=p

25

解方程可得

N、=48.8KN

N2=81.3AW

(2)計算各桿的應力

AB和AC的應力為

N

cr.=—i-=163WPa

A

N、

cr,=—-=6AMPa

A

§2.3直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力

橫截面上的正應力

N

<7=一

A

斜截面上的應力

PP

%=了=^7-=bcosa

acosa

斜截面上的正應力和切應力為

2

b“=pacosa=crcosa

0=P〃sina=—sin2a

2

可以得出

a=0時

bmax=b

a=工時

4

cr

%ax=5

§2.4材料拉伸時的力學性能

1.低碳鋼拉伸時的力學性能

材料的力學性能：就是材料在外力作用下，所表現(xiàn)出來的變形和破壞等方面的特性。

試件形狀：

(1)彈性階段

應力一應變曲線上當應力增加到b點時，再將應力降為零，則應變隨之消失；一旦應力

超過b點，卸載后，有一部分應變不能消除，則b點的應力定義為彈性極限0在拉伸(或

壓縮)的初始階段應力b與應變￡為直線關系直至。點，此時。點所對應的應力值稱為比例

極限bj表示為b=E￡

0d'

(2)屈服階段巴

在應力增加很少或不增加時，應變會很快增加，這種現(xiàn)象叫屈服。開始發(fā)生屈服的點所

對應的應力叫屈服極限b'。到達屈服階段時，在磨光試件表面會出現(xiàn)沿45度方向的條紋，

這是由于該方向有最大剪應力，材料內部晶格相對滑移形成的。

(3)強化階段

材料經(jīng)過屈服階段以后，因塑性變形使其組織結構得到調整，若需要增加應變則需要增

加應力。。一e曲線又開始上升，到最高點e處的強度是材料能承受的強度極限。

(4)局部變形階段

當?shù)吞间摾斓綇姸葮O限時，在試件的某一局部范圍內橫截面急劇縮小，形成縮頸現(xiàn)象。

(5)截面收縮率和延伸率

xlOC%

截面收縮率為

延伸率

6=

(6)卸載定律及冷作硬化

卸載定律：在卸載過程中，應力和應變按直線規(guī)律變化。這就是卸載定律。

冷作硬化：卸載后，如在短期內再次加載，則材料比例極限得到了提高，但塑性變形和

伸長率卻有降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后又可消除。

2.其他塑性材料拉伸時的力學性能

3.鑄鐵拉伸時的力學性能

鑄鐵拉伸時，沒有屈服和頸縮，拉斷時延伸率很小，故強度極限是衡量強度的唯一

指標。

§2.5材料壓縮時的力學性能

1.低碳鋼在壓縮時，彈性摸量和屈服極限與拉伸相似，但壓縮不會破壞，只會越壓越

扁，沒有強度極限。

2.鑄鐵壓縮時，在較小變形時就會破壞，并沿45度方向破壞，說明鑄鐵因剪切破壞。

作業(yè)：P542.1；2.2；2.5；2.6

小結

1、軸向拉伸與壓縮的概念和實例

桿件上外力合力的作用線與桿件軸線重合，變形是沿軸線方向的伸長和縮短。

2、軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力

(1)軸力；

(2)軸力圖；

(3)軸向拉(壓)時橫截面上的應力，強度條件

根據(jù)橫截面在軸向拉壓時仍然保持為平面不變的平面假設，可得橫截面上只存在正應

力。又因為材料均勻連續(xù)，并且縱向纖維的伸長相同，所以橫截面上的正應力均勻分布：

NN川i

b=強度條件及其應用：vJ

AA

3、直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力

斜截面上的正應力和切應力為：(T(I=pacos。=crcos**a\xa-pasina=ysin2a

4、材料拉伸時的力學性能

(1)低碳鋼拉伸時的力學性能：

材料的力學性能就是材料在外力作用下，所表現(xiàn)出來的變形和破壞等方面的特性。

a)彈性階段；b)屈服階段；c)強化階段；d)局部變形階段e)伸長率和斷面收縮率;

f)卸載定律及冷作硬化。

(2)其他塑性材料拉伸時的力學性能

(3)鑄鐵拉伸時的力學性能

5、材料壓縮時的力學性能

低碳鋼及鑄鐵壓縮時的力學性能。

§2.7失效、安全系數(shù)和強度計算

1.失效原因

脆性材料在其強度極限％破壞，塑性材料在其屈服極限巴時失效。二者統(tǒng)稱為極限應

力理想情形。

極限應力：，crmax<crh(極限應力是材料的強度指標)

若工作應力為

N

(T=-

因此工作應力的最大允許值低于1,%。

塑性材料、脆性材料的許用應力分別為

“3,nb

一般工程中

4=1.5-2.2

n=3.0?5.0

hO

2.強度條件

VA/max

2^x4口］

等截面桿A

§2.8軸向拉伸或壓縮時的變形

1.桿件在軸向方向的伸長為

2.沿軸線方向的應變和橫截面上的應力分別為

MNP

S---，(7————o

IAA

3.胡克定律

當應力低于材料的比例極限時，應力與應變成正比，即e=E￡,這就是胡克定律。E

為彈性模量。

將應力與應變的表達式帶入得

EA

4.橫向應變?yōu)?/p>

A/?b.-b

￡=——=------

bb

橫向應變與軸向應變的關系為

§2.9軸向拉伸或壓縮的應變能（自學部分）

固體在外力作用下，因變形而儲存的能量稱為應變能。

軸向拉伸或壓縮時的應變能（線彈性范圍內）：

F-l

匕=W^-FM

2~2EA

應變能密度:

2E

§2.10拉伸、壓縮超靜定問題

1.靜不定問題的概念

對于桿件的軸力，當未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全

部未知力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。

2.靜不定問題的解法

求解靜不定問題的關鍵在于使未知力個數(shù)和方程個數(shù)相等,這要求除了利用理論力學的

知識建立平衡方程外，還要建立若干個補充方程，使其個數(shù)等于靜不定次數(shù)。

以求下面三桿桁架的內力為例說明靜不定問題的解法。

（1）列A點的平衡方程

Wx=0,N1-2N2sina=0

<N[=N2

門=。,N[+2N]cosa=0

（2）變形幾何關系

A/]=A/3cosa

（3）力與變形的關系

E,A,E}A}cosa

NJ

（4）聯(lián)立補充方程和平衡方程求解未知力

Pcosap

,cE.A,3

2cos3a+1+2——cosa

EME3As

例桿的上、下兩端都有固定約束，若抗拉剛度EA已知，試求兩端反力。

解：

（1）列桿的平衡方程

桿的未知反力有用和R?,平衡方程只有一個。即

?=0?+4-P=0

（2）變形幾何關系

由于桿的上、下兩端均已固定，故桿的總變形為零，即

A/=A/,+A/2=0,△/]等于AC段變形，A/2等于BC段變形

（3）力與變形的關系

AC段，其軸力兇=&,對BC段，其軸力N2=—&，

由虎克定律

N、aRxaR,b

~EA~~EAEA~EA

代入變形幾何關系

M蟲_31^=°即Ra-Rb=0

EAEA,2

（4）聯(lián)立補充方程和平衡方程求解未知力

R]+&-P=0

R】a-R2b=0

解得/?!=-^—PR,=4P

a+ba+b

應該注意，/、/?2方向可任意假設，但在建立補充方程時，桿件所受的力必須與產

生的變形一致，才能得到正確答案。

§2.11溫度應力和裝配應力（自學部分）

1.溫度應力

由于約束限制了溫度變化引起的物體的膨脹和收縮所引起桿件的應力，稱為熱應力或溫

度應力。

求解溫度應力，除平衡方程外，還需補充變形協(xié)調方程。

當溫度變化為AT時，桿件的溫度變形為:

A/r=a,AT?I

2.裝配應力

對于靜定問題，不存在裝配應力，但在靜不定結構中，由于桿件的尺寸不準確，強行裝

配在一起，這樣在未受載荷之前，桿內已產生的內力。由于裝配而引起的應力稱為裝配應力。

以下圖為例進行講解。

1.平衡方程

N[sina—Msina=0NiP2N3

N3—N、cosa—N2cosa

2.變形幾何方程

A

A/3+V=S

3/coscr

3.物理方程

N、l/

A/,=/gosaNJ

“3A3

聯(lián)立方程得

短'廠施3A3

i1+44、

2E,A,cos3a,

§2.12應力集中的概念（自學部分）

1.應力集中

等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的應力是均勻分布的，對于構件有圓孔、切

口、軸肩的部位，應力并不均勻，并在此區(qū)域應力顯著增大，這種現(xiàn)象稱為應力集中。

（原孔洞應力向兩旁分配，造成應力分配不均勻。）

應力系中系數(shù)長=展，cr”名義應力（平均應力）

2.應力集中對構件強度的影響

塑性材料：由于塑性引起應力均布，對靜

強度極限影響不大。對疲勞強度，應力集中有

影響。

脆性材料：塑性材料沒有屈服階段，載荷

增加時應力集中處的最大應力一直領先。并首

先在此處出現(xiàn)裂紋。對靜載荷，也應考慮其影

響。P

§2.13剪切和擠壓的實用計算（自學部分）

1.剪切變形與擠壓

剪切變形的受力特點：作用在桿件兩個側面上且與軸線垂直的外力，大小相等，方向相

反，作用線相距很近。

變形特點是：兩個力之間的截面沿剪切面相對錯動。

可能被剪斷的截面稱為剪切面。

A

式中Q：剪切面上的剪力,它與P的關系由平

衡方程確定。A：剪切面面積(不一定是橫截面的面積,

且與外載荷平行)

擠壓應力

式中P:擠壓面上的擠壓力

Ahs：擠壓面面積(與外載荷垂直)，過圓柱直徑的橫截面面積。

2.剪應力與擠壓力的計算

例齒輪和軸用平鍵聯(lián)接如下圖所示。已知軸的直徑d=70mm,鍵的尺寸

匕x〃x1=20x12x1()()〃”〃，傳遞的力偶矩m=2kN.m,鍵的許用應力上］=,許

用擠壓應力口〃』=100/0尸“。試校核鍵的強度。

解：

(1)計算鍵所受

剪力的大小將鍵沿

截面n-n假想切開成兩

部分，并把截面以下部

分和軸作為一個整體來

考慮。n-n截面上的剪力

Q為

Q=AT=blv

由平衡條件

Z2,=0得m=0

。二年

（2）校核鍵的剪切強度

2m2x2000=28.6MPa<[r]

T~bld~20x100x70xIO-9

故平鍵滿足剪切強度條件。

.hl

A加=―

（3）校核鍵的擠壓強度鍵受到的擠壓力為P,擠壓面面積2,由擠壓強度

條件

P_blr_2br_2x20x10-3x28.6x1()6

12x10-3=95.3MPa<\a]

b加丁為"bx

故平鍵滿足擠壓強度條件。

例拖車掛鉤由插銷與板件聯(lián)結。插銷材料為20

號鋼，［r］=30A/p,直徑d=20mm,厚度

t=8mm,P=\5kN。試校核插銷的剪切強度。

若擠壓許可應力為［cr;J=1QGMpa,試校核插銷的擠

壓強度。

解：

（1）計算鍵所受力的大小

將插銷沿截面m-m和n-n假想切開（雙剪切面）。列平衡方程可得

（2）校核鍵的剪切強度

T=—=——15X10-----=23.9MPa<[r]

A2x^(20xl0-3)2

（3）校核鍵的擠壓強度

考慮中段的直徑面積小于上段和下段直徑面面積之和2dt,故校核中段的擠壓強度。

PP15x103_..「］

（y=—=-----=------------；----------r=6A2.C5MDPa<\o,J

hsfaJ

A1K1.5J/1.5x8x10-3x20x10-3

作業(yè)：P572.12：2.15；2.43；2.45

小結

1、失效、安全系數(shù)和強度計算

（1）失效原因

脆性材料在其強度極限與破壞，塑性材料在其屈服極限5時失效。二者統(tǒng)稱為極限應

M=-

力理想情形。塑性材料、脆性材料的許用應力分別為：4,%

bmax=件)?[M[M

(2)強度條件：、A/max,等截面桿A

2、軸向拉伸或壓縮時的變形

(1)桿件在軸向方向的伸長為：A/=/,-I

A/NP

(2)沿軸線方向的應變和橫截面上的應力分別為：￡=—,(T=—=-=

IAA

(3)胡克定律：當應力低于材料的比例極限時，應力與應變成正比，即b=E￡,這

就是胡克定律。E為彈性模量。將應力與應變的表達式帶入得：A/=—

EA

(4)橫向應變?yōu)椋骸?竺=與二2,橫向應變與軸向應變的關系為：

bb

3、拉伸、壓縮超靜定問題

(1)靜不定問題的概念

對于桿件的軸力，當未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全

部未知力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。

(2)靜不定問題的解法

求解靜不定問題的關鍵在于使未知力個數(shù)和方程個數(shù)相等,這要求除了利用理論力學的

知識建立平衡方程外，還要建立若干個補充方程，使其個數(shù)等于靜不定次數(shù)。

第三章扭轉

教學學時6學時（其中，扭轉實驗2學時）。

基本內容扭轉的概念和實例；外力偶矩的計算、扭矩和扭矩圖；純剪切；圓軸扭轉時的

應力；圓軸扭轉時的變形。

教學目標1、掌握外力偶矩的計算。2、理解扭轉剪應力推導過程。3、熟練掌握圓軸扭

轉時橫截面上剪應力分布規(guī)律和強度計算，圓軸扭轉變形時的剛度和變形（相

對扭轉角）計算。

重點、難點重點：1、扭矩和扭矩圖。2、圓軸扭轉時強度、剛度和變形計算。

難點：1、剪切胡克定律。2、應力推導的變形幾何關系、物理關系和靜力關系。

教學手段課堂講授；實例說明

§3.1扭轉的概念和實例

1.外力特征

力偶矩矢平行于桿的軸線。力偶矩矢方向按右手螺旋法則確定。

2.扭轉變形受力特點

桿件的兩端作用著大小相等，方向相反，且作用面垂直于桿件軸線。

3.力偶變形特點

各軸線仍為直線，桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉動。

4.工程實例

方向盤軸、傳動軸。

§3.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖

1.外力偶矩的計算

N

m=9549——（N./n）

n

N：功率；71:轉速

2.扭矩和扭矩圖

（1）內力偶矩：桿件受扭時截面上的內力偶矩。符號T

（2）內力偶矩計算一截面法

用截面〃一〃將軸分成兩部分，按右手螺旋法則把機，T表示為矢量，列出左部分平衡

方程工“、.=0,得到

T=m

當矢量方向與截面外法線方向一致時，T為正；反之為負。

對于桿件一側作用多個外力偶矩情況，任一截面的內力偶矩等

于其一側所有外力偶矩的代數(shù)和

（3）扭矩圖

表示桿件各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形，反應出|丁|值及其截面位置，從而進行強

IImax

度計算(危險截面)。該圖一般以桿件軸線為橫軸表示橫截面位置，縱

軸表示扭矩大小。

例傳動軸如圖，主動輪A輸出功率？=3金W,從動輪B、C、

D輸出功率分別為弓=足=1kW,券=14AW,軸的轉速為〃=3(X)r/min。試作軸的

扭矩圖。

解：

(1)求外力偶矩

9549^-=9549x—=1146V.//1

n300

=954曲=9549x—=350N."

n300

mn=9549^=9549x—=446N.m

Dn300

(2)求截面內扭矩

在BC段內

T1+mB=0

T}==-350N.m

在CA段內

T^+mc=0

2=—mc—mB=—700/V.m

在AD段內

7jn=mD=446/V.m

(3)畫扭矩圖

§3.3純剪切

1.薄壁圓筒的扭轉實驗

試驗前后比較現(xiàn)象：

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度Y。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。

得出結論：

縱向截面和過軸線的截面上無正應力，只有切于縱向截面的切應力。

2.薄壁圓筒扭轉時的切應力

應用截面法并考慮qq左側的平衡方程=0,得出加=2加小廠，

m

T=------------

2萬?r~t

3.切應力互等定理：

r

由ZM.V=°得，(?tdy)dx=(r?tdxjdy

T=T

由上式得出：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在且數(shù)值相等，兩者

都垂直于兩平面的交線，方向則共同指向或背離該交線。

4.切應變剪切胡克定律

/=y一一切應變

r=Gy一—剪切胡克定律

式中「一半徑；。一扭轉角；/一圓筒長度；7一—剪應變；G——剪切彈性模量。

5.剪切應變能

扭矩作功

W=g機。

扭轉變形能和能密度

22

匕=皿=4〃7°=4加"=mlTl

'22Glp2GIP2Glp

_（7_1m（/）1m尸。

-7-2*2^7<-20

1T~

￡2,2G

作業(yè)：P1023.1;3.2；3.3；3.5

小結

1、扭轉的概念和實例

（1）外力特征：力偶矩矢平行于桿的軸線。力偶矩矢方向按右手螺旋法則確定。

（2）扭轉變形受力特點：桿件的兩端作用著大小相等，方向相反，且作用面垂直于桿

件軸線。

（3）力偶變形特點：各軸線仍為直線，桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉動。

（4）工程實例：方向盤軸、傳動軸。

2、外力偶矩的計算、扭矩和扭矩圖

機=9549?」N（%./〃）

（1）外力偶矩的計算：〃

（2）扭矩和扭矩圖

a）內力偶矩：桿件受扭時截面上的內力偶矩。符號T

b）內力偶矩計算一截面法

c）扭矩圖

表示桿件各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形，反應出|T|值及其截面位置，從而進行強

IImax

度計算（危險截面）。該圖一般以桿件軸線為橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩大小。

3、純剪切

（1）薄壁圓筒的扭轉實驗

（2）切應力互等定理：7=7。在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存

在且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，方向則共同指向或背離該交線。

（3）切應變：7=吊；剪切胡克定律：f=

§3.4圓軸扭轉時的應力

1.變形幾何關系一圓軸扭轉的平面假設

圓軸扭轉的平面假設：圓軸扭轉變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不

變，半徑保持為直線；且相鄰兩截面間距離不變。

_T

“max-/一卬

Pt

其中叱=上，稱為抗扭截面模量，是僅與橫

'R

截面尺寸有關的量。

為了保證圓軸安全可靠地工作，應使軸內的最大剪應力不超過材料的許用剪應力H，

即°max

根據(jù)圓軸扭轉的強度條件，可以進行強度校核、截面設計和確定許可載荷等三大類強度

計算問題。

§3.5圓軸扭轉時的變形

圓軸扭轉時的變形:

0=仔仆］工公

J，G〃

等直桿：9=』Tl-

GO

對于階梯軸（各段的極慣性矩不同）或軸上有幾個外力偶作用時，應分段計算每段的餓

扭轉角，然后求代數(shù)和，即為兩端面間的扭轉角:

寸EL

圓軸扭轉時的剛度條件:

為了消除長度的影響，用表示扭轉變形的程度，令

(P<[(p']

dxGI

p*

例傳動軸上有三個齒輪，齒輪2為主動輪，齒輪1和齒輪3消耗的功率分別為

0.756KW和2.98KW。若軸的轉速為183.5"min,材料為45鋼，H=40MPa。根據(jù)

強度確定軸的直徑。

解：

(1)計算力偶距

m=9549—=39.3N.〃2

}n

m3=954走=155乂加

n

%=4+?=1943A?.m

(2)根據(jù)強度條件計算直徑155N.m

從扭矩圖上可以看出，齒輪2與3間的扭矩絕對值最大。

TiAT

1max_1max<M

maxW^~7TD3

D>316小0.0272〃

乃同

例若上題規(guī)定［切=1.5(。)/〃?，且已知G=80GPa按剛度條件確定軸的直徑，并求齒

輪3對齒輪1的轉角。

155X物同=1.5

解：￡ax

G?？471

32x155x180

D>4=0.02%?

80X109X^2X1.5

Tl39.3x0.33

（pn=-----=-----------------------------------=1.85x10-rad

GIp80xl09x—x（30xl0-3）4

32''

Tl39.3x0.4=-9.75x1004

。23=為一=一155—

「80x砂x—x（30xl0-3）4

32''

（p、3=%+O23=-7.9x10-rad

§3.6圓柱密圈螺旋彈簧的應力和變形（自學部分）

1.彈簧絲橫截面上的應力

Fs=F,T=FD/2

FsAF_T_SFD

了一飄‘“max-訶一

「max-G+^-2,max

4c-l?0.615]8尸。_/嚴。

修正公式：t^ax

4c—4CJ成3成3

式中c=2,k=

d4c-4c

2.彈簧的變形

彈簧的變形是指彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，沿軸線方向的縮短量（或伸長量）,

用2表示

在彈性范圍內，壓力P與變形九成正比。

W=-FA

2

r2128尸。22

嚓一元—G乃2d8P

匕="

r128F2Z）2產廣〃2產4F2D3n

匕73丫=百萬1>外。3SJ?！╯=一廠

令變形能等于外力作功，即匕=W,于是有

1i4廣￡>>

—FZ=------

2Gd4

,8FD3HF....「Gd，

2=---1-=一具中C=-7-

Gd4C80%

作業(yè)：PIOA8；3.10S3.11S3.14

小結

1、圓軸扭轉時的應力

（1）變形幾何關系一圓軸扭轉的平面假設

d（/）

r=p-r

Pax

（2）物理關系一一胡克定律

%=Gy=Gp牛

dx

（3）力學關系

T=JC"="G^=Gp2dA

圓軸扭轉時的應力：r=—/?=—；圓軸扭轉的強度條件：r=—<[r]

imTaldxXj117UldX117max

lpw,叱

可以進行強度校核、截面設計和確定許可載荷等三大類強度計算問題。

2、圓軸扭轉時的變形

圓軸扭轉時的變形：（p=\c-^T—dx=\e-^T—dx.等直桿：夕=—T匕l(fā)

圓軸扭轉時的剛度條件："=也=工，%=端<[“]

max

dxGIpGIp

第四章彎曲內力

教學學時6學時。

基本內容彎曲的概念和實例；受彎桿件的簡化；剪力和彎矩；剪力方程和彎矩方程、剪

力圖和彎矩圖；載荷集度、剪力和彎矩間的關系。

教學目標1、熟練掌握梁內力計算方法。2、正確畫出梁的剪力圖和彎矩圖。3、掌握載

荷集度、剪力和彎矩間的關系。

重點、難點重點：1、內力計算。2、剪力圖和彎矩圖。

難點：1、彎曲內力計算。2、載荷集度、剪力和彎矩間的關系；內力方向的確

定；突變位置、方向、大小數(shù)值。

教學手段課堂講授；實例說明

§4.1彎曲的概念和實例

平面彎曲：

受力特點是：所有外力都作用在桿件的縱向平面上且與桿軸線垂直。

變形特點是：桿的軸線由原來的直線彎曲成與外力在同一平面上的曲線。

軸線

§4.2受彎桿件的簡化

1.支承簡化

可動較固定較支

固定端

2.載荷的簡化

集中力、均布載荷、集中力偶

3.靜定梁的分類

簡支梁外伸梁懸臂梁

例求懸臂梁的約束反力。

解：

（1）分析受力

受集中力P，分布力q,力偶m,固定端簡化為〃u、XQYA.

（2）列平衡方程

>=0%=0P=ql

q

YY=O,YA-P-^=O

B

I3

y^jfnA=0,-P/-q-.—l-\-m+mA=0

解得

37

XA=0,r=-ql,m=-ql~

zl