經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷1（共244題）

經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷1（共9套）（共244題）經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第1套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、“對任意給定的ε＞0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時，恒有|xn－a|＜ε／3”是數(shù)列{xn}收斂于a的()．A、充分但非必要條件B、必要但非充分條件C、充分必要條件D、既非充分也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對照數(shù)列極限的定義：對任意給定的ε1＞0，總存在正整數(shù)N1，當(dāng)n＞N1時，恒有|xn－a|＜ε1，則稱數(shù)列{xn}收斂于a．仔細(xì)分析題設(shè)條件知命題的提法與定義相比要強(qiáng)些，但實(shí)質(zhì)是等價的，由定義可知，對任意給定ε1＞0，必定存在正整數(shù)N1，當(dāng)n＞N1時，總有|xn－a|ε1．取ε1=ε／3，，N1=N．故選C．2、A、等于1B、等于eC、為∞D(zhuǎn)、不存在，也不為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：令xn當(dāng)n=2k－1時，故選A．3、A、1／2B、1／4C、1／8D、1／16標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)n→∞時，分子與分母的極限皆為∞，故選D．4、A、0B、1／2C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，x2為無窮小量，sin1／x為有界變量，因此x2sin1／x為無窮小量．故選C．5、A、等于0B、等于4C、為∞D(zhuǎn)、不存在，也不為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：而當(dāng)x→2+時，1／(x－2)→+∞，e1／(x－2)→+∞．當(dāng)x→2－時，1／(x－2)→－∞，e1／(x－2)→0．可知e1／(x－2)不存在，也不為∞．故選D．6、設(shè)xn=e1／n，則當(dāng)n→∞時，xn的極限()．A、1／4B、為1C、為∞D(zhuǎn)、不存在，也不為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)n→∞時，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．則故選A．7、函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=－1處連續(xù)，則()．A、a=e，b=eB、a=1，b=eC、a=0，b=eD、a=1－e，b=e標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于(a+bx2)=a+b，ln(b+x+x2)=lnb．由于f(－1)=1，可知當(dāng)a+b=lnb=1，即a=1－e，b=e時，f(x)在點(diǎn)x=－1處連續(xù)．故選D．8、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=2處可導(dǎo)，且=1／3則f’(2)=()．A、－1B、1C、1／3D、－1／3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題設(shè)f(x)在x=2處可導(dǎo)，而題中極限過程為x→1．若設(shè)u=x+1，則當(dāng)x→1時，u→2，因此因此f’(2)=1．故選B．9、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，則()．A、a=e，b=0B、a=0，b=eC、a=e，b=1D、a=1，b=e標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，因此必定連續(xù)．又由于因此a+b=e．由于f(x)在點(diǎn)x=1連續(xù)，且當(dāng)x＜1時，f(x)=ex，f’(x)=ex，當(dāng)x＞1時，f(x)=ax+b，f’(x)=a，由于f’(1)存在，從而有f’－(1)=f’+(1)，因此a=e．進(jìn)而可知b=0．故選A．10、設(shè)f(x)，g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)－g’(x)f(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：f(x)，g(x)都為抽象函數(shù)，可以先將選項(xiàng)A，B變形：A可以變形為f(x)／g(x)＞f(b)／g(b)；B可以變形為f(x)／g(x)＞f(a)／g(a)．由此可得A，B是比較f(x)／g(x)與其兩個端點(diǎn)值的大小．而C，D是比較f(x)g(x)與其兩個端點(diǎn)值的大?。捎陬}設(shè)條件不能轉(zhuǎn)化為[f(x)．g(x)]’，而題設(shè)f(x)＞0，g(x)＞0，且f’(x)g(x)－g’(x)f(x)＜0，因此有從而知f(x)／g(x)在[a，b]上為單調(diào)減少函數(shù)，因此當(dāng)a＜x＜b時，有f(x)／g(x)＞f(b)／g(b)，進(jìn)而知f(x)g(b)＞f(b)g(x)．故選A．11、設(shè)f(x)=2x+3x－2，當(dāng)x→0時()．A、f(x)與x為等價無窮小B、f(x)與x為同階無窮小但不等價C、f(x)為較x高階的無窮小D、f(x)為較x低階的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題意應(yīng)考查極限，所給極限為“0／0”型，應(yīng)利用洛必達(dá)法則求解．=ln2+ln3．可知當(dāng)x→0時，f(x)與x為同階無窮小，但不等價．故選B．12、設(shè)周期函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)的周期為4，=－1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率為()．A、－2B、－1C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(x+4)，又由于周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)，且其周期與相應(yīng)周期函數(shù)的周期相同，都為4．即f’(1)=f’(5)．又由=－1，可得f’(1)=－2．因此知曲線y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率為f’(5)=－2．故選A．13、設(shè)y=y(x)是由方程ey=(x2+1)2－y確定的隱函數(shù)，則點(diǎn)x=0()．A、不是y的駐點(diǎn)B、是y的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)C、是y的駐點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)D、是y的駐點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：將所給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得ey．y’=4x(x2+1)－y’，y’=．4x(x2+1)．令y’=0，可得y的唯一駐點(diǎn)x=0．當(dāng)x＜0時，y’＜0；當(dāng)x＞0時，y’＞0．由極值的第一充分條件可知x=0為y的極小值點(diǎn)．故選C．14、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)為f(x)的極大值B、f(0)為f(x)的極小值C、f(0)不為f(x)的極值，但(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不為f(x)的極值，(0，f(0))也不為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于f’(0)=0，f"(x)+[f’(x)]2=x，可得f"(0)=0，可知判定極值的第二充分條件失效．由題設(shè)知有f"(x)=x－[f’(x)]2，上式右端可導(dǎo)，表示f(x)三階可導(dǎo)，且f"’(x)=1－2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1．可知：f(0)不是函數(shù)f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．故選C．二、計算題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：=e2／e－3=e5．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、若極限(cosx－b)=5，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給問題為求極限的反問題．所給表達(dá)式為分式，分子的極限sinx．(cosx－b)=0，而表達(dá)式的極限存在，因此分母的極限應(yīng)為零，即(ex－a)=1－a=0，可得a=1，原式化為=1－b=5，可得b=－4．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、若f(x)=f(x)存在，求常數(shù)k的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于點(diǎn)x=0為函數(shù)的分段點(diǎn)，在點(diǎn)x=0兩側(cè)f(x)的表達(dá)式不同，應(yīng)考慮利用左極限與右極限來求解．(1+kx)1／x=ek，由于f(x)，所以ek=2，即k=ln2．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0時，f(x)=sinbx／x處處有定義，且為初等函數(shù)，(－∞，0)為其定義區(qū)間，因此必定連續(xù)．當(dāng)x＞0時，f(x)=a+kx2也為初等函數(shù)，(0，+∞)為其定義區(qū)間，也必定連續(xù)．只需考查f(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性．由于x=0為分段點(diǎn)，在x=0兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，應(yīng)考查其左連續(xù)與右連續(xù)(或左極限、右極限，再依連續(xù)性要素判定)．可知當(dāng)a=b時，f(x)在點(diǎn)x=0處左連續(xù)．(a+如bx2)=a=f(0)．可知對于a為任意值，f(x)在點(diǎn)x=0處右連續(xù)．綜之，對于a=b取任何值，函數(shù)f(x)都在點(diǎn)x=0處連續(xù)，進(jìn)而知f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)=判定f(x)的定義域與連續(xù)區(qū)間，對于間斷點(diǎn)判別其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)==1／x，其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)．在其定義域內(nèi)f(x)為初等函數(shù)，其連續(xù)區(qū)間為(－∞，0)∪(0，+∞)．由1／x=∞，可知點(diǎn)x=0為f(x)的第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=x3+x+1，證明：函數(shù)f(x)至少有一個零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)=x3+x+1在定義區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，且f(－1)=－1＜0，f(1)=3＞0．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(－1，1)，使f(ξ)=0．即f(x)至少存在一個零點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，求dy|x=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=0時，由方程ln(x2+y)=x3y+sinx可得y=1．將方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得．(2x+y’)=3x2y+x3y’+cosx，(*)將x=0，y=1代入上式，可得y’|x=0=1，因此dy|x=0=y’|x=0dx=dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)x=－yy，求dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：將所給函數(shù)兩端取對數(shù)，得lnx=ylny，兩端關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得1／x=y’lny+y．1／y．y’=(1+lny)y’，因此dy=y’dx=dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)曲線y=x3+ax與曲線y=bx3+c相交于點(diǎn)(－1，0)，并且在該點(diǎn)有公共切線，求a，b，c和公切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于兩條曲線相交于點(diǎn)(－1，0)，因此有可得a=－1，b=c．由y=x3+ax得y’=3x2+a=3x2－1，y’|x=－1=2．由y=bx3+c得y’=3bx2，y’|x=－1=3b．由于兩曲線在點(diǎn)(－1，0)處有公切線，因此3b=2．即b=2／3，c=2／3．此時公切線方程為y－0=2[x－(－1)]，即y=2(x+1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：本題屬于“0．∞”型，應(yīng)先變形為“0／0”或“∞／∞”型．此時極限為“0／0”型．設(shè)t=1／x，則知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，討論駐點(diǎn)的個數(shù)與范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：使f’(x)=0的點(diǎn)為f(x)的駐點(diǎn)．若直接求f’(x)，再判定f’(x)=0的點(diǎn)很復(fù)雜．由于f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，因此f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0．f(x)在[0，1]，[1，2]，[2，3]上滿足羅爾定理，由羅爾定理可知至少有點(diǎn)ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，ξ3∈(2，3)，滿足f’(ξ1)=0，f’(ξ2)=0，f’(ξ3)=0．即f(x)有駐點(diǎn)ξ1，ξ2，ξ3．又由于f(x)為四次多項(xiàng)式，其導(dǎo)函數(shù)為三次多項(xiàng)式，三次方程至多有三個實(shí)根，綜之，f(x)有且僅有三個駐點(diǎn)，分別位于(0，1)，(1，2)，(2，3)內(nèi)．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)曲線y=x4－2x3+3，求曲線y的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=x4－2x3+3，可得y’－4x3－6x2，y"=12x2－12x=12x(x－1)，令y"=0，得x1=0，x2=1．當(dāng)x＜0時，y"＞0，可知曲線在(－∞，0)內(nèi)為凹．當(dāng)0＜x＜1時，y"＜0，可知曲線在(－1，1)內(nèi)為凸．當(dāng)x＞1時，y"＞0，可知曲線在(1，+∞)內(nèi)為凹．當(dāng)x=0時，y=3，且在x=0兩側(cè)y"異號，因此點(diǎn)(0，3)為曲線的拐點(diǎn)．當(dāng)x=1時，y=2，在x=1兩側(cè)y"異號，因此點(diǎn)(1，2)也是曲線的拐點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、將長為a的鐵絲截成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓，為使正方形與圓的面積之和最小，問兩段鐵絲的長應(yīng)各為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)圍成圓的一段長為x，則圍成正方形的一段長為a－x，正方形與圓的面積之和令S’=0，解得x=為S的唯一駐點(diǎn)，S"=＞0，由極值第二充分條件可知，x=為S的極小值點(diǎn)．由于駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題存在最小值，故當(dāng)x=時，面積之和最?。磭蓤A的一段長為，圍成正方形的一段長為時，正方形與圓的面積之和最?。R點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第2套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、設(shè)xn=則當(dāng)n→∞時，變量xn為()．A、無窮大量B、無窮小量C、有界變量D、無界變量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由題設(shè)可知所以xn不是無窮大量，不是無窮小量，也不是有界變量，是無界變量，故選D．2、A、等于2／3B、等于3／2C、為∞D(zhuǎn)、不存在，也不為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→4時，分子與分母的極限都為零，不能直接利用極限的商的運(yùn)算法則．又由于分子與分母中都含有根式，先有理化再求極限．故選A．3、A、－1B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：所給極限為“∞／∞”型，不能利用極限的四則運(yùn)算法則，也不能利用洛必達(dá)法則求之．通常對無窮大量運(yùn)算的基本原則是轉(zhuǎn)化為無窮小量運(yùn)算．故選B．4、A、－3／2B、－2／3C、2／3D、3／2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→1時，x25x+4→0，因此故選A．5、設(shè)f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1處都有極限，則()．A、a=2，b=0B、a=2，b=sin1C、a=1，b=0D、a=1，b=sin1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：需先求出f(x)+g(x)的表達(dá)式．顯然點(diǎn)x=0，x=1為f(x)+g(x)的分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同，應(yīng)考慮左極限與右極限．[f(x)+g(x)]=(2e－x+b)=2+b，[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b．由于f(x)+g(x)在點(diǎn)x=0處有極限，因此a+b=2+b，可知a=2．[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在點(diǎn)z=1處有極限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故選B．6、A、a=1，b=1／2B、a=1，b=2C、a=1／2，b=1D、a=1／2，b=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于=b，且分母的極限為零，則必定有分子的極限為零，即(a－cosx)=a－1=0，從而得a=1，因此有故選A．7、函數(shù)f(x)=，則()．A、x=－1為f(x)的可去間斷點(diǎn)，x=1為無窮間斷點(diǎn)B、x=－1為f(x)的無窮間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)C、x=－1與x=1都是f(x)的可去間斷點(diǎn)D、x=－1與x=1都是f(x)的無窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=－1與x=1時，f(x)沒有定義．這兩個點(diǎn)是f(x)的間斷點(diǎn)．可知x=－1為f(x)的無窮間斷點(diǎn)，x=1為f(x)的可去間斷點(diǎn)．故選B．8、已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)=1處可導(dǎo)，且=2，則f(1)=()．A、1B、2C、3D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：所給題設(shè)為導(dǎo)數(shù)定義的等價形式，由導(dǎo)數(shù)定義可知可得f’(1)=6．故選D．9、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且f(x)／x=1，則下列命題不正確的是()．A、f(x)=0B、f(0)=0C、f’(0)=0D、f’(0)=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，故f(0)=f(x)=0．于是故選C．10、若y=f(x)可導(dǎo)，則當(dāng)△x→0時，△y－dy為△x的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但不等價無窮小D、等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由微分的定義可知，當(dāng)△x→0時，→0，△y－dy為△x的高階無窮小，故選A．11、若在[0，1]上f"(x)＞0，則f’(1)，f’(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小順序是()．A、f’(1)＞f’(0)＞f(1)f(0)B、f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)C、f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)D、f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題考查導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系．題設(shè)條件為二階導(dǎo)數(shù)大于零，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)符號來判定一階導(dǎo)函數(shù)的增減性來求解．由于在[0，1]上f"(x)＞0，可知f’(x)為[0，1]上的單調(diào)增加函數(shù)，因此f’(1)＞f’(0)．又f"(x)在[0，1]上存在，可知f’(x)在[0，1]上連續(xù)．f(x)在[0，1]上滿足拉格朗日中值定理，可知必定存在點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(1)－f(0)=f’(ξ)，由于f’(x)在[0，1]上為單調(diào)增加函數(shù)，必有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．故選B．12、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖1—2—1所示．則f(x)有()．A、一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)B、兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)C、兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)D、三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于極值點(diǎn)只能是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)的點(diǎn)，因此只需考慮這兩類特殊點(diǎn)．由圖1—2—1可知，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有三個，自左至右依次記為x1，x2，x3．在這些點(diǎn)的兩側(cè)，f’(x)異號：當(dāng)x＜x1時，f’(x)＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時，f’(x)＜0．可知x1為f(x)的極大值點(diǎn)．當(dāng)x1＜x＜x2時，f’(x)＜0；當(dāng)x2＜x＜0時，f’(x)＞0．可知x0為f(x)的極小值點(diǎn)．當(dāng)0＜x＜x3時，f’(x)＞0；當(dāng)x＞x3時，f’(x)＜0．可知x3為．f(x)的極大值點(diǎn)．由導(dǎo)函數(shù)圖形知，在點(diǎn)x=0處f(x)不可導(dǎo)，但在x=0左側(cè)f’(x)＞0，在x=0右側(cè)f’(x)＞0．可知點(diǎn)x=0不為．f(x)的極值點(diǎn)．綜上可知函數(shù)f(x)有一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)．故選A．13、設(shè)y=sinx，則y’=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：y=sinx，則y’=(x1／3)’sinx+x1／3．(sinx)’=1／3x－2／3sinx+x1／3cosx=故選D．14、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(x)／x=2，則曲線y=f(x)上對應(yīng)x=0處的切線方程是()．A、y=xB、y=－xC、y=2xD、y=－2x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y=2x．故選C．二、計算題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、求極限x[ln(x+2)－lnx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求極限為“0．∞”型，不能利用極限的四則運(yùn)算法則．由對數(shù)性質(zhì)及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有：=lne2=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求極限(3－n+4－n)1／n．標(biāo)準(zhǔn)答案：(3－n+4－n)1／n令x=(3／4)n，則(3／4)n=0，即x=0．原式=1／3(1+x)1／n=1／3[(1+x)1／x]x／n=1／3．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求極限(1+2n+3n)1／n．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于由極限存在準(zhǔn)則(夾逼定理)可知=1／3lim(1+2n+3n)1／n=1，(1+2n+3n)1／n=3．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、若=0，求常數(shù)a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給表達(dá)式中，由于當(dāng)x→0時sin3x／x極限存在，由極限的性質(zhì)可知當(dāng)x→0時，ln()1／x極限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)當(dāng)x→0時，(－1)．ln(1+x2)是比xnsinx高階的無窮小量，而xnsinx是比1－cosx高階的無窮小量，求正整數(shù)n的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時，(－1)．ln(1+x2)～x2．x2=x4，xnsinx～xn+1，1－cosx～x2／2．由題設(shè)可知，應(yīng)有2＜n+1＜4，因此n=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)為分段函數(shù)，點(diǎn)x=0為分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，考查f(x)在點(diǎn)x=0處左連續(xù)與右連續(xù)．由于sin1／x為有界變量，當(dāng)x→0時，x為無窮小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知當(dāng)a=3時，f(x)在點(diǎn)x=0處左連續(xù)．(1+bx)2／x=e2b．可知當(dāng)e2b=a，即b=1／2lna時，f(x)在點(diǎn)x=0處右連續(xù)．綜上可知，當(dāng)a=3，b=1／2ln3時，f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求函數(shù)y=ln的連續(xù)區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求y=ln的定義域，應(yīng)有＞0，且1－x≠0，解得0＜x＜1．可知y=ln的定義域?yàn)?0，1)，y=ln為初等函數(shù)，在其定義區(qū)間(0，1)內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù)，可知(0，1)為所求．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=+sinx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將所給函數(shù)分為兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)為連乘除形式，應(yīng)利用對數(shù)求導(dǎo)法，對此，令則有l(wèi)n|y1|=2ln|x|－ln|1－x|+ln|2+x|－ln|2－x|，兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1確定，求n[f(2／n)－e]．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于n→∞時，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先將x=0代入所給方程，可得f(0)=e．只需求f’(0)．將方程兩端對x求導(dǎo)，有cosxy．(y+xy’)+．y’－1=0．將x=0及y|x=0=e代入上式，可得y’|x=0=f’(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是“苦0／0”型極限，但若直接用洛必達(dá)法則，求導(dǎo)比較麻煩．考慮到分子、分母都有，故可先設(shè)t=，然后用洛必達(dá)法則．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→∞時，ln(1+)～1→x，可知所以本題是“∞－∞”型．應(yīng)先做變換，令t=1→x，則知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)y=x2+ax+b在點(diǎn)x=2處取得極小值3，求常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于函數(shù)y在點(diǎn)x=2處取得極小值3，因此有3=22+2a+b，即2a+b=－1．又y’=2x+a，y’|x=2=4+a=0，可得a=－4，進(jìn)而知b=7．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、當(dāng)e＜x1＜x2時，問lnx1／x1與lnx2／x2哪個大，為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題目可知是考查函數(shù)y=lnx／x的單調(diào)性．當(dāng)x＞e時，y有定義，由于令y’=0得y的駐點(diǎn)x=e．當(dāng)x＞e時，y’＜0，可知函數(shù)y=lnx／x單調(diào)減少．因此當(dāng)e＜x1＜x2時，有l(wèi)nx1／x1＞lnx2／x2．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、假設(shè)某種商品的需求量Q是單價p(單位：千元)的函數(shù)Q=120－8p．商品的固定成本為25(千元)，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加5(千元)．試求使銷售利潤最大的商品單價和最大銷售利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：利潤等于銷售收益減去總成本，所以首先求出成本函數(shù)C=C(Q)．然后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本為25(千元)，可變成本呈線性增長．所以總成本函數(shù)C=25+5Q．總銷售利潤L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p2－625，L’=160－16p．令L’=0，得駐點(diǎn)p=10．由L"=－16＜0及唯一性可知當(dāng)p=10(千元)時，總銷售利潤最大．最大銷售利潤為L(10)=160×10－8×102－625=175(千元)．知識點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第3套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、設(shè)對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且im[g(x)－φ(x)]=0，則f(x)()．A、存在且為零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：注意題設(shè)條件與夾逼準(zhǔn)則不同，夾逼準(zhǔn)則中條件為當(dāng)|x|＞M時：(1)φ(x)≤f(x)≤g(x)；(2)φ(x)都存在!)而本題條件為[g(x)－φ(x)]=0并不能保證φ(x)都存在．例如g(x)=符合本題條件，但f(x)不存在．而取g(x)=也符合本題條件，有f(x)=0，故選D．2、A、1／4B、1／2C、－1／2D、－1／4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：故選D．3、設(shè)f(x－3)=2x2+x+2，則f(x)／x2=()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)t=x－3，則x=t+3，由題設(shè)可得f(t)=2(t+3)2+(t+3)+2=2t2+13t+23，即f(x)=2x2+13x+23．則故選B．4、A、0B、1C、2／3D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→∞時，為無窮小量，因此故選D．5、設(shè)f(x)=f(x)存在，則()．A、a=b=1B、a=b=eC、a=0，b=eD、a任意，b=e標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：點(diǎn)x=0為f(x)的分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同，應(yīng)利用左極限與右極限判定．(1+x)1／x=e．當(dāng)b=e時，f(x)存在，且f(x)=e．由于極限值與函數(shù)在該點(diǎn)有無定義無關(guān)，因此a可以取任意值．故選D．6、設(shè)f(x)=且f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則()．A、a=5／3，b=2／3B、a=5／2，b=3／2C、a=e2／3+1，b=e2／3D、a=e3／2－1，b=e3／2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于在點(diǎn)x=0兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，應(yīng)分左極限、右極限來討論．f(x)=(1+3x)1／2x=e3／2，由于f(0)=a+1，僅當(dāng)a+1=e3／2=b時，即當(dāng)a=e3／2－1，b=e3／2時，f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．故選D．7、設(shè)函數(shù)f(x)=，則()．A、x=－2為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=2為f(x)的第二類間斷點(diǎn)B、x=－2為f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=2為f(x)的第一類間斷點(diǎn)C、x=－2與x=2都為f(x)的第一類間斷點(diǎn)D、x=－2與x=2都為f(x)的第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)在x=－2，x=2處沒有定義，可知x=－2與x=2為f(x)的兩個間斷點(diǎn)．由可知x=－2與x=2都為f(x)的第一類間斷點(diǎn)．故選C．8、已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則=()．A、1／2f(0)B、f’(0)C、2f’(0)D、4f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：所給題設(shè)條件為導(dǎo)數(shù)定義的等價形式，有故選C．9、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且=0，則()．A、f(0)=0，f’(0)=0B、f(0)=0，f’(0)=1C、f(0)=1，f’(0)=0D、f(0)=1，f’(0)=1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于又由于f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，從而f(0)=f(x)=0．可知應(yīng)排除C，D．故選A．10、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，y=f(x3)．當(dāng)自變量x在x=－1處取得增量△x=－0．1時，相應(yīng)的函數(shù)增量△y的線性主部為0．3，則f’(－1)=()．A、－1B、0．1C、1D、0．3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于當(dāng)f(x)可導(dǎo)且△x→0時，由微分的定義知△y與dy的差為△x的高階無窮小量，且dy為△y的線性主部，因此有△y=dy+o(△x)=y’△x+o(△x)，當(dāng)y=f(x3)時，有y’=3x2f’(x3)，由題設(shè)有[f’(x3)．3x2]|x=－1．△x=0．3，3f’(－1)．(－0．1)=0．3，f’(－1)=－1，故選A．11、設(shè)f’(x0)=f"(x0)=0，f"(x0)＞0，則下列選項(xiàng)正確的是()．A、f’(x0)是f’(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：需注意如果f"(x0)=0，則判定極值的第二充分條件失效．如果記F(x)=f’(x)，由題設(shè)條件有F’(x0)=0，F(xiàn)"(x0)＞0．由極值的第二充分條件知F(x0)為F(x)的極小值，即f’(x0)為f’(x)的極小值，因此A不正確，排除A．取f(x)=x3，則f’(x)=3x2，f"(x)=6x，f"’(x)=6．因此f’(0)=f"(0)=0，f"’(0)=6＞0．而x=0既不為．f(x)=x3的極小值，也不為f(x)=x3的極大值，可知B，C都不正確，排除B，C．由于f"’(x0)＞0，知f"(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，又f"(x0)=0，由導(dǎo)數(shù)定義可以驗(yàn)證f"(x)在x0兩側(cè)異號，從而知點(diǎn)(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．故選D．利用泰勒公式可以證明下述命題：若f’(x0)=f"(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，則(1)當(dāng)n為偶數(shù)時，x0為f(x)的極值點(diǎn)，且①當(dāng)f(n)(x0)＞0時，x0為f(x)的極小值點(diǎn)；②當(dāng)f(n)(x0)＜0時，x0為f(x)的極大值點(diǎn)．(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，x0不為f(x)的極值點(diǎn)．但點(diǎn)(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．以后可以將上述結(jié)論作為定理使用．12、若函數(shù)f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，則f’(x)的零點(diǎn)的個數(shù)為()．A、4B、3C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：f’(x)的零點(diǎn)即為f’(x)=0的根，也就是f(x)的駐點(diǎn)．可以直接求f’(x)，令f’(x)=0求解，但運(yùn)算較復(fù)雜．注意到由f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0．在[1，2]，[2，3]，[3，4]上f(x)滿足羅爾定理，因此必定存在ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，ξ3∈(3，4)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0，由于f(x)為四次多項(xiàng)式，f’(x)為三次多項(xiàng)式，因此三次方程f’(x)=0至多有三個實(shí)根．故選B．13、設(shè)y=x3／cosx，則y’|x=π=()．A、－3πB、3πC、－3π2D、3π2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：y=x3／cosx，則y’|x=π=－3π2．故選C．14、曲線sin(xy)+ln(y－x)=x在點(diǎn)(0，1)處的切線方程是()．A、y=－x+1B、y=x+1C、y=2x+1D、y=3x+1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：所給問題為由隱函數(shù)形式確定的函數(shù)曲線的切線問題，這類問題與由顯函數(shù)形式確定的函數(shù)曲線切線問題相仿，只需求出導(dǎo)數(shù)值，代入切線方程求解即可．將所給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得cosxy．(xy)’+．(y－x)’=1，點(diǎn)(0，1)在曲線上，在點(diǎn)(0，1)處有y’|x=0=1，切線方程為y=x+1．故選B．對于顯函數(shù)，如果y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處必定存在切線，切線斜率為f’(x0)，切線方程為y－f(x0)=f’(x0)(x－x0)．當(dāng)f’(x0)≠0時，法線方程為y－f(x0)=(x－x0)．特別當(dāng)f’(x0)=0時，相應(yīng)的切線方程為y=f(x0)．對于隱函數(shù)，如果曲線方程y=y(x)由F(x，y)=0確定，如果(x0，y0)在曲線上，求過該點(diǎn)的切線方程時，只需先依隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出dy／dx，再代入切線方程即可．二、計算題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：所給極限為“0／0”型，不能直接利用極限的四則運(yùn)算法則．由于f(x)存在，則f(x)sinx=0，當(dāng)x→0時，－1～1／2f(x)sinx，因此可得f(x)=12．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于由極限存在準(zhǔn)則(夾逼定理)可知知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=ansinx／an(a≠0，x≠0)，討論f(x)是否存在?若存在，求出極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：極限過程為n→∞，式中a為參數(shù)，an的值不僅與n有關(guān)，且與a也有關(guān)，因此應(yīng)對a進(jìn)行討論．當(dāng)|a|＜1時，an=0，由于sinx／an為有界變量，因此ansinx／an=0．當(dāng)|a|=1時，ansinx／an=(±1)nsinx／(±1)n=sinx．當(dāng)|a|＞1時，an=∞，x／an=0，因此綜上所述，得知識點(diǎn)解析：暫無解析18、確定變量y=在什么過程下為無窮大量．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給表達(dá)式為分式，分母在(－∞，+∞)內(nèi)皆非零，因此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，+∞)．又由于表達(dá)式為有理式，分母為二次多項(xiàng)式，最高次冪數(shù)為2，分子也為多項(xiàng)式，最高次冪數(shù)為8／3．因此可知當(dāng)x→∞時，y為無窮大量．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=討論f(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由可知當(dāng)f(x)=f(0)，即a=1時，f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)；當(dāng)a≠1時，f(x)在點(diǎn)x=0處間斷，點(diǎn)x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)=求其間斷點(diǎn)，并判別其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可知，當(dāng)x=0時，f(x)間斷．由于可知f(x)不存在．所以點(diǎn)x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y=ln，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：在求導(dǎo)函數(shù)時有對數(shù)運(yùn)算時，先利用對數(shù)運(yùn)算法則化簡再求導(dǎo)，往往能使運(yùn)算過程簡化．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=，求dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將所給函數(shù)兩端取對數(shù)，有兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)=x3+3x2－2x+1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程與法線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：點(diǎn)(0，1)在所給曲線y=f(x)上．y’=3x2+6x－2，y’|x=0=－2．因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y－1=－2(x－0)，即2x+y－1=0，法線方程為y－1=1／2(x－0)，即x－2y+2=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是“0／0”型極限，注意到當(dāng)x→+∞時，ln(1+)～1／x，可得知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求極限，其中n是給定的自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?n／n=1，所以本題是“1∞”型．可以利用取對數(shù)法．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)點(diǎn)(－1，3)為曲線y=ax3+bx2+x的拐點(diǎn)，求常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由點(diǎn)(－1，3)為曲線y的拐點(diǎn)，可知點(diǎn)(－1，3)在曲線上，因此有3=－a+b－1，即－a+b=4．(*)y’=3ax2+2bx+1，y"=6ax+2b，因此y"|x=－1=－6a+2b=0，可解得b=3a，代入(*)式可得a=2，b=6．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、當(dāng)a為何值時，方程x3－3x+a=0僅有兩個相異的實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給方程為三次方程，最多可能存在三個實(shí)根．設(shè)y=x3－3x+a，則問題轉(zhuǎn)化為討論a為何值時函數(shù)y僅有兩個零點(diǎn)．所給函數(shù)y的定義域?yàn)?－∞，+∞)．且(x3－3x+a)=－∞，(x3－3x+a)=+∞，y在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知y必定存在零點(diǎn)．y’=3x2－3=3(x－1)(x+1)，令y’=0，可得x1=－1，x2=1為y的兩個駐點(diǎn)．可知y(－1)=2+a為y的極大值，y(1)=－2+a為y的極小值．當(dāng)y的極大值或極小值之一為零時，y僅有兩個不同的零點(diǎn)，即當(dāng)a=－2或a=2時，y僅有兩個不同的零點(diǎn)．因此當(dāng)a=－2或a=2時，方程x3－3x+a=0僅有兩個相異的實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、某糖果f生產(chǎn)的奶油糖每袋售價5．4元，如果每周銷售量為Q(千袋)時，每周成本C=2400+4000Q+100Q2(元)．設(shè)價格不變，求：(1)每周可以獲利的銷售量范圍；(2)每周銷售多少袋時，可獲得最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：單價p=5．4元，那么每周銷售量為Q(千袋)時的收益為1000Q×5．4=5400Q．(注意單位)(1)設(shè)利潤為L，L=5400Q－C=－100Q2+1400Q－2400．要想獲得利潤，需L＞0，即－100Q2+1400Q－2400＞0，得2＜Q＜12．即每周銷售量在2000至12000袋之間，可以獲利．(2)由(1)得L’=－200Q+1400．令L’=0，得唯一的駐點(diǎn)Q=7．又L"＜0，所以在Q=7(千袋)時利潤最大．即每周銷售7000袋時可獲得最大利潤．知識點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第4套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、下列式子正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，x為無窮小量，sin1／x為有界變量，由于無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量，因此xsin1／x=0，可知A不正確．當(dāng)x→∞時，1／x→0，因此1／xsinx=0．可知B不正確．由重要極限公式sinx／x=1，可知D不正確．當(dāng)x→∞時，1／x→0，由重要極限公式可得：可知C正確，故選C．2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→1時，分子與分母的極限皆為零，分子中含有根式，故先有理化再求極限．故選D．3、設(shè)f(x+f(x)=()．A、－1B、－1／2C、1／2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于故選D．4、當(dāng)x→0時，etanx－esinx與xa為同階無窮小量，則a=()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題意，知該極限應(yīng)為不等于零的常數(shù)，因此a－1=2，得a=3．故選C．5、設(shè)f(x)=f(x)存在，則a=()．A、4B、ln4C、0D、ln1／4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：點(diǎn)x=0為f(x)的分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，應(yīng)分左極限、右極限來考慮．(1+ax)1／x=ea．由于=f(x)存在，ea有=4，從而a=ln4．故選B．6、函數(shù)f(x)=則x=0為f(x)的()．A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、是否為連續(xù)點(diǎn)與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：點(diǎn)x=0為f(x)的分段點(diǎn)，在x=0兩側(cè)f(x)的表達(dá)式不同．應(yīng)考查f(x)的左極限與右極限．可知當(dāng)a=4時，f(x)=4，又f(0)=4．進(jìn)而可知，當(dāng)a=4時，x=0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)．當(dāng)a≠4時，x=0為f(x)的間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn)．故選D．7、設(shè)g(x)=，則()．A、x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn)B、x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)C、x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn)D、g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：所給問題為函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的類型判定問題．又由g(0)=0，可知：當(dāng)a＞1時，g(x)=g(0)，此時g(x)在x=0處連續(xù)；當(dāng)a=1時，g(x)=1，此時g(x)在x=0處間斷，x=0為g(x)的第一類間斷點(diǎn)；當(dāng)a＜1時，g(x)不存在，此時g(x)在x=0處間斷，x=0為g(x)的第二類間斷點(diǎn)．綜上可知，g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)．故應(yīng)選D．8、已知f’(2)=－1，則=()．A、1B、－1／3C、－1／2D、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：所給條件為在點(diǎn)x=2處導(dǎo)數(shù)定義的形式．但是，應(yīng)該明確若f’(2)存在，則即當(dāng)自變量的增量趨于零時，函數(shù)增量與自變量增量之比的極限．注意函數(shù)增量的形式：動點(diǎn)處函數(shù)值與定點(diǎn)處函數(shù)值之差．本題中函數(shù)增量是函數(shù)在兩個動點(diǎn)處的差值，不屬于導(dǎo)數(shù)定義的標(biāo)準(zhǔn)形式，也不屬于導(dǎo)數(shù)定義的等價形式，因此應(yīng)考慮將其變形，化為導(dǎo)數(shù)定義的等價形式，由于f(x)在x=2處可導(dǎo)，f’(2)必定存在，故選A．9、設(shè)f(x)=則f(x)在x=1處()．A、左、右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在C、左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在D、左、右導(dǎo)數(shù)都不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于在分段點(diǎn)兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，因此利用左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判定．有可知f(x)在x=1處左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在，故選B．10、設(shè)f(x2)=，則f’(x)=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于f(x2)故選B．11、設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，又=－1，則()．A、x=a是f(x)的極小值點(diǎn)B、x=a、是f(x)的極大值點(diǎn)C、(a，f(a))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=a不是f(x)的極值點(diǎn)，(a，f(a))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于=－1，其中求極限的函數(shù)為分式，分母的極限為零，因此必定有分子的極限為零，即f’(x)=0．由題設(shè)知f’(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)，因此有f’(a)=f’(x)=0．即x=a為f(x)的駐點(diǎn)．又由極值第二充分條件知x=a為f(x)的極大值點(diǎn)．故選B．12、設(shè)f(x)=|x(3－x)|，則()．A、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)B、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)C、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于f(x)=|x(3－x)|≥0，f(0)=0，可知x=0為f(x)的極小值點(diǎn)．排除B，D．由可得當(dāng)x＜0或x＞3時，f’(x)=－3+2x，f"(x)=2；當(dāng)0＜x＜3時，f’(x)=3－2x，f"(x)=－2．由于在x=0兩側(cè)f"(x)異號，因此(0，f(0))=(0，0)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．故選C．13、設(shè)y=ln，則dy|x=0=()．A、－1／2dxB、1／2dxC、－2dxD、2dx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因此dy|x=0=y’|x=0dx=－1／2dx．故選A．14、設(shè)y=f(x)對任意x滿足f(x+1)=2f(x)，且f(0)=1，f’(0)=C，則f’(1)=()．A、1／2CB、CC、2CD、3／2C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于f(x)為抽象函數(shù)，只能從題設(shè)條件入手，尋求能由f’(1)的定義求解的方法．由于f(0)=1，f(x+1)=2f(x)，令x=0，可得f(1)=2．=2C．故選C．二、計算題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0時，sinx～x，ex－1～x，1－cosx～1／2x2，因此知識點(diǎn)解析：暫無解析16、若當(dāng)x→0時，－1與sin2x為等價無窮小，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時，－1與sin2x為等價無窮小，因此從而可得a=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0－時，1／x→－∞，e1／x→0，且－1／x→+∞，e－1／x→+∞，因此所給極限表達(dá)式不能直接利用極限的四則運(yùn)算法則．應(yīng)先變形再求極限．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、若當(dāng)x→0時，sinxa，(1－cosx)1／a均是比x高階的無窮小量，求a的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0，a＜0時，sinxa不為無窮小量，因此a＞0，此時sinxa～xa，由題設(shè)知sinxa是比x高階的無窮小量，因此有可知a＞1．又當(dāng)x→0時，1－cosx～1／2x2，由題設(shè)知(1－cosx)1／a是比x高階的無窮小量，因此有可知應(yīng)有－1＞0，即a＜2．綜上，有1＜a＜2．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)c＞0，f(x)=在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，求常數(shù)c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可知，當(dāng)|x|≠c時，f(x)為初等函數(shù)，在其定義區(qū)間內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù)，故只需討論當(dāng)|x|=c時f(x)的連續(xù)性．5=5，f(－c)=c2+1．當(dāng)c2+1=5，即c=2時，f(x)在點(diǎn)x=－c處左連續(xù)．此時，(x2+1)=c2+1=f(－c)，f(x)在x=－c處右連續(xù)．因此當(dāng)c=2時，f(x)在x=－c處連續(xù)．(x2+1)=c2+1=f(c)，可知f(x)在點(diǎn)x=c左連續(xù)．f(x)=5，當(dāng)f(x)=f(c)，即c2+1=5時，亦即c=2時，f(x)在點(diǎn)x=c處右連續(xù)．綜之，當(dāng)c=2時，f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)=，判定f(x)的間斷點(diǎn)，并判別其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=1時，沒有意義．當(dāng)x=0時，沒有意義．可知點(diǎn)x=0與點(diǎn)x=1為f(x)的兩個間斷點(diǎn)．由于可知點(diǎn)x=0為f(x)的第二類間斷點(diǎn)．由于因此點(diǎn)x=1為f(x)的第一類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y=，求y’|x=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=．[sin(x2+3)]’=．cos(x2+3)．(x2+3)’=2x．cos(x2+3)．y’|x=1=2esin4cos4．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給函數(shù)的冪指函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)利用對數(shù)求導(dǎo)法．將所給函數(shù)表達(dá)式兩端取對數(shù)：lny=ln=x2lnx．將上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)：1／yy’=2xlnx+x．因此y’=y(2xlnx+x)=(1+2lnx)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求曲線y=lnx的過原點(diǎn)的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于原點(diǎn)(0，0)不在曲線y=lnx上，可設(shè)切點(diǎn)M0坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0=lnx0．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，過M0點(diǎn)的切線斜率k=f’(x0)－1／x0．因此可設(shè)切線方程為y－y0=1／x0(x－x0)，即y－y0=x－1．由于切線過原點(diǎn)(0，0)，因此0－y0=－1，得y0=1．又切點(diǎn)(x0，y0)在曲線y=lnx上，因此y0=lnx0，可知x0=e．故所求切線方程為y－1=x－1．即y=x／e．知識點(diǎn)解析：如果點(diǎn)(x0，y0)在曲線y=f(x)上，即y0=f(x0)，斜率f’(x0)存在，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)=f’(x0)(x－x0)．當(dāng)f’(x0)≠0時，曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的法線方程為y－f(x0)=－(x－x0)．如果點(diǎn)(x0，y0)不在曲線y=f(x)上，求曲線過點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程時，即先設(shè)切點(diǎn)為(m，n)，寫出切線方程，求出滿足給定題設(shè)條件的切點(diǎn)坐標(biāo)．24、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1－x)=－∞．所以本題是“∞／∞”型極限．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：所給問題是“00”型．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求函數(shù)y=x3－3zx2－5的極值點(diǎn)與極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=3x2－6x=3x(x－2)．令y’=0可解得x1=0，x2=2．y"=6x－6=6(x－1)，y"|x=0=－6，y"|x=2=6，可知點(diǎn)x=0為y的極大值點(diǎn)，極大值為y=－5；點(diǎn)x=2為y的極小值點(diǎn)，極小值為y=－9．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)某種商品的單價為p時，售出的商品數(shù)量Q可表示成其中a，b，c均為正數(shù)，且a＞bc．(1)求p在什么范圍變化時，使相應(yīng)的銷售額增加或減少?(2)要使銷售額最大，商品單價p應(yīng)取何值?最大銷售額是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：銷售額是指商品全部售出后所得的總收益R，它是單價p的函數(shù)R=pQ．求銷售額何時增加，何時減少，實(shí)際上就是求收益函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)設(shè)售出商品的銷售額為R，則令R’=0，得駐點(diǎn)p0=±－b，注意到a＞bc，則a／c＞b，＞b，所以當(dāng)0＜p＜－b時，R’＞0，這時收益函數(shù)R單調(diào)增加．即隨著商品單價p的增加，相應(yīng)的銷售額也將增加；當(dāng)p＞－b時，R’＜0，這時收益函數(shù)R單調(diào)減少．即隨著商品單價p的增加，相應(yīng)的銷售額將減少．這主要是因?yàn)楫?dāng)p增加太大時銷售數(shù)量Q就會減少．(2)由(1)可知，函數(shù)R在p0處有極大值，而且該極大值也是最大值，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第5套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為e－2x，則f’(x)=()．A、－2e－2xB、2e－2xC、4e－2xD、－4e－2x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題設(shè)e－2x為f(x)的一個原函數(shù)，可知f(x)=(e－2x)’=－2e－2x，因此f’(x)=(－2e－2x)’=4e－2x．故選C．2、不定積分∫sinx．cosxdx不等于()．A、1／2sin2x+CB、1／2sin2x+CC、－1／4cos2x+CD、－1／2cos2x+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：這個題目有兩種常見解法：一是將四個選項(xiàng)分別求導(dǎo)數(shù)，哪個選項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)不等于sinx．cosx，則這個選項(xiàng)必然錯誤；二是直接求解，但解法不同，可能導(dǎo)致結(jié)果的形式不同．解法1對于A，(sin2x+C)’=1／2．2sinx．cosx=sinx．cosx，可知A正確．對于B，(sin2x+C)’=1／2．cos2x．2=cos2x≠sinx．cosx，可知B不正確．對于C，(－cos2x+C)’=1／4．sin2x．2=1／2sin2x=sinx．cosx,可知C正確．對于D，(－cos2x+C)’=－1／2．2cosx．(－sinx)=sinx．cosx，可知D正確．故選B．解法2∫sinx．cosxdx=∫sinxd(sinx)=sin2x+C；∫sinx．cosx=－∫cosxd(cosx)=－cos2x+C；∫sinx．cosxdx=1／2∫sin2xdx=1／2．∫sin2x．1／2d(2x)=－cos2x+C．可知A，C，D正確．故選B．3、設(shè)f’(x)為連續(xù)函數(shù)，則下列命題錯誤的是()．A、d／dx∫abf(x)dx=0B、d／dx∫abf(x)dx=f(x)C、∫axf’(t)dt=f(x)－f(a)D、d／dx∫axf(t)dt=f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題設(shè)f’(x)連續(xù)，可知f(x)必定連續(xù)，因此∫abf(x)dx存在，它表示一個確定的數(shù)值，可知A正確，B不正確．由牛頓一萊布尼茨公式得∫axf’(t)dt=f(t)|ax=f(x)－f(a)，則c正確．由變限積分求導(dǎo)公式得d／dx∫axf(t)dt=f(x)，則D正確．故選B．4、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則d／dx∫0xtf(x2－t2)dt=()．A、－x／2f(0)B、x／2f(0)C、xf(0)D、xf(x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：所給問題為可變上限積分的求導(dǎo)問題，但是被積函數(shù)中含有變上限的變元x，且f(x2－t2)為抽象函數(shù)，不能將x從f(x2－t2)中分離出來．因此設(shè)u=x2－t2，則du=－2tdt．當(dāng)t=0時，u=x2；當(dāng)t=x時，u=0．因此d／dx∫0x(x2－t2]dt=d／dx(－1／2)f(u)du=xf(x2)．故選D．5、設(shè)f(x)=則∫1／22f(x－1)dx=()．A、1B、1／2C、－1／2D、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：令x－1=t，則dx=dt，當(dāng)x=1／2時，t=－1／2；當(dāng)x=2時，t=1．因此∫1／22f(x－1)dx=∫－1／21f(t)dt故選C．6、已知某商品總產(chǎn)量的變化率f(t)=200+5t－t2，則時間t在[2，8]上變化時，總產(chǎn)量增加值△Q為()．A、1266B、568C、266D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由總產(chǎn)量函數(shù)與其變化率的關(guān)系，有Q’(t)=f(t)，于是總產(chǎn)量增加值為△Q=∫28Q’(t)dt=∫28f(t)dt=∫28(200+5t－t2)dt=(200t+t3)|28=1266．故選A．7、∫x2e－xdx=()．A、－e－x(x2+2x+2)+CB、e－x(x2+2x+2)+CC、－ex(x2+2x+2)+CD、ex(x2+2x+2)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：利用分部積分法．∫x2e－xdx=－x2e－x+∫2xe－xdx－x2e－x+2(－xe－x+∫e－xdx)=－x22e－x－2xe－x－2e－x+C=－e－x(x2+2x+2)+C．故選A．8、設(shè)z=－1)，當(dāng)x=1時，z=y，則f(u)及z分別為()．A、u2+2u，+y－1B、u2+2u，+y+1C、u2+u，+y－1D、u2+u，+y+1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題設(shè)當(dāng)x=1時，zy，可知y=－1)=y－1，令u=－1，則y=(u+1)2，從而f(u)=(u+1)2－1=u2+2u，進(jìn)而故選A．9、已知f(x，y)=x+(y－1)arcsin，則f’x(x，1)=()．A、－1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：常規(guī)方法是先求出f’x(x，y)，再令y=1，可得f’x(x，1)．由于f’x(x，y)因此f’x(x，1)=1．但是從偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，下面的方法也正確．當(dāng)y=1時，f(x，y)為f(x，1)=x，因此f’x(x，1)=1．顯然對本題而言，后者更簡便．故選C．10、設(shè)f(x，y)=x3y2+(y－1)3arctan，則f’x(1，1)=()．A、－1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：若依常規(guī)方法，應(yīng)先求出f’x(x，y)，再令x=1，y=1求解，較繁瑣．如果先令y=1，可得f(x，1)=x3，再對x求偏導(dǎo)，可得f’x(x，1)=3x2，因此f’x(1，1)=3．故選C．11、設(shè)z=e－x－f(x－2y)，且當(dāng)y=0時，z=x2，則|(2，1)=()．A、1+e2B、1－e2C、1+D、1－標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于y=0時，z=x2，故e－x－f(x)=x2，則f(x)=e－x－x2，所以有f(x－2y)=e－(x－2y)－(x－2y)2，z=e－x－e2y－x+(x－2y)2，故=e2y－x－e－x+2(x－2y)．因此故選D．12、設(shè)f(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(x，y)=f(y／x)+yf(x／y)，則x=()．A、yf(y／x)B、2f’(y／x)+f’(x／y)C、xf(y／x)D、f(y／x)+2f’(x／y)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)u=y／x，v=x／y，則g(x，y)=f(u)+yf(v)，故選A．13、設(shè)f(x，y)=x2y2+xlnx，則點(diǎn)(1／e，0)()．A、不是f(x，y)的駐點(diǎn)，是f(x，y)的極值點(diǎn)B、不是f(x，y)的駐點(diǎn)，也不是f(x，y)的極值點(diǎn)C、是f(x，y)的駐點(diǎn)，也是f(x，y)的極大值點(diǎn)D、是f(x，y)的駐點(diǎn)，也是f(x，y)的極小值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由題設(shè)可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一駐點(diǎn)x=1／e，y=0，即駐點(diǎn)為(1／e，0)，因此排除A，B．又有f"xx=2y2+，f"xy=4xy，f"yy=2x2，A=f"xx|(1／e，0)=e，B=f"xy|(1／e，0)=0，C=f"yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由極值的充分條件知(1／e，0)為f(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為－1／e．故選D．14、設(shè)在(1，0，－1)的某個鄰域內(nèi)z=z(x，y)由力程xyz+確定，則dz|(1，0)=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：令F(x，y，z)=xyz+，則由于點(diǎn)(1，0，－1)滿足給定的方程，即有F(1，0，－1)=0，F(xiàn)’z(1，0，－1)≠0．由隱函數(shù)存在定理可得因此dz|(1，0)=dx－dy．故選A．二、計算題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：解法1利用倒代換．當(dāng)x＞0時，令x=1／t，則dx=－1／t2dt．所以當(dāng)x＜0時結(jié)果相同．解法2令x=tant，則dx=1／cos2dt．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足關(guān)系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將所給關(guān)系式兩端同對關(guān)于x求導(dǎo)，可得f(x)+xf’(x)=6x3－6x+f(x)，因此xf’(x)=6x3－6x，f’(x)=6x2－6，f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x2－6)dx=2x3－6x+C．(*)依題設(shè)，有xf(x)=x4－3x2+4+∫2xf(t)dt，令x=2可得2f(2)=24－12+4=16，f(2)=8．將x=2代入(*)式，有f(2)=16－12+C，所以C=4，f(x)=2x3－6x+4．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、計算定積分∫09dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：為消除根號形式，先設(shè)t=，則x=t2，dx=2tdt．當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=9時，t=3．因此再設(shè)u=，則t=u2－1，dt=2udu．當(dāng)t=0時，u=1；當(dāng)t=3時，u=2．因此知識點(diǎn)解析：暫無解析18、計算定積分∫14dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=，則x=t2，dx=2tdt．當(dāng)x=1時，t=1；x=4時，t=2．因此∫14dx=∫12lnt2／t．2tdt=4∫12lntdt=4(tlnt|12－∫12t．dt)=4(2ln2－t|12)=4(2ln2－1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知f(x)連續(xù)，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx．求∫0π／2f(x)dx的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：要想求解定積分∫0π／2f(x)dx，可以先求解被積函數(shù)的表達(dá)式．因?yàn)橐阎獥l件是有關(guān)積分上限的函數(shù)，必須通過求導(dǎo)，方可求出f(x)，或求出∫0xf(t)dt亦可．設(shè)u=x－t，則dt=－du．當(dāng)t=0時，u=x；當(dāng)t=x時，u=0．于是1－cosx=∫0xtf(x－t)dt=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du．將上式兩端同時關(guān)于x求導(dǎo)，得sinx=∫0xf(u)du+xf(x)－xf(x)=∫0xf(u)du．由∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2，得∫0π／2f(u)du=sinπ／2=1，因此∫0π／2f(x)dx=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、從原點(diǎn)(0，0)引兩條直線與曲線y=1+x2相切，求由這兩條切線與y=1+x2所圍圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：點(diǎn)(0，0)不在曲線y=1+x2上，設(shè)過點(diǎn)(0，0)引出的直線與曲線y=1+x2相切的切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0=1+x02．由y’=2x，得y’=2x0．設(shè)所求切線方程為y－y0=2x0(x－x0)，即y－(1+x02)=2x0(x－x0)．(*)將點(diǎn)(0，0)代入(*)式，得－(1+x02)=－2x02，x02=1，解得x0=±1．因此y’|x=－1=－2，y’|x=1=2．相應(yīng)的切線方程為y－2=－2(x+1)，即y=－2x，y－2=2(x－1)，即y=2x．故兩條切線與曲線y=1+x2所圍圖形如圖1—3—6所示，故S=∫－10[1+x2－(－2x)]dx+∫01(1+x2－2x)dx=2／3．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)z=uv，u=x2+2y，v=sinxy，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=uv，則=uvlnu．又u=x2+2y，則=2x．v=sinxy，=ycosxy．因此=vuv－1．2x+uv．lnu．ycosxy=2xsinxy．(x2+2y)sinxy－1+(x2+2y)sinxy．ln(x2+2y)．ycosxy．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=f(x，xy，xyz)，其中f(u，v，w)為可微函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：記f’i為f(u，v，w)對第i個位置變量的偏導(dǎo)數(shù)，i=1，2，3，則=f’1+f’2．y+f’3．yz=f’1+yf’2+yzf’3．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)z=z(x，y)由方程z－y2－3x+yez=5確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x，y，z)=z－y2－3x+yez－5，則F’x=－3，F(xiàn)’y=－2y+ez，F(xiàn)’z=1+yez，因此知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=z(x，y)由方程xex－yey=ze－z確定，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則du=f’xdx+f’ydy+f’zdz．(*)將xex－yey=ze－z兩端分別求微分，則d(xex)－d(yey)=d(ze－z)，rexdx+xexdx－eydy－yeydy=e－zdz－ze－zdz，dz=[ex(1+x)dx－ey(1+y)dy]．代入(*)式可得du=[f’x+f’z]dx+[f’y－f’z]dy．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求二元函數(shù)z=xy在條件x+y=1下的極值點(diǎn)坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：解法1構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=xy+λ(x+y－1)，解方程組可得唯一一組解x=y=1／2，即為唯一可能極值點(diǎn)(1／2，1／2)．如果求極值點(diǎn)坐標(biāo)，那么只能為(1／2，1／2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、用鋼板制作一個容積為am3的有蓋長方體水箱，若不計鋼板的厚度，如何設(shè)計長、寬、高的尺寸，才能使所用材料最省?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長方體水箱的長、寬、高分別為x，y，z(m)．體積V=xyz=a(m3)，因此其高為z=a／xy(m)．水箱的表面積S=2(xy+yz+xz)．將z=與a／xy代入S的表達(dá)式，可得S=2(xy+)(x＞0，y＞0)，當(dāng)表面積最小時，所用材料最省．解方程組可得唯一組解x=(m)．即S的唯一駐點(diǎn)為()．依實(shí)際問題可知，水箱表面積的最小值一定存在，又駐點(diǎn)唯一．因此此駐點(diǎn)即為S的最小值點(diǎn)，此時z=(m)．故知設(shè)計長、寬、高都為(m)時，所用材料最?。R點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第6套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、下列式子正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由重要極限公式可知A不正確，B不正確．對于C，可知C不正確．對于D，可知D正確．故選D．2、xn=xn()．A、等于1B、等于2C、等于3D、為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：xn因此xn=2，故選B．3、當(dāng)x→0+時，與等價的無窮小量是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：注意等價無窮小量公式，當(dāng)x→0+時，故選B．4、當(dāng)x→0時，下列選項(xiàng)中與z為等價無窮小量的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對于A，可知應(yīng)排除A．對于B，sinx／x=1，可知x→0時，sinx／x不是無窮小量，應(yīng)排除B．對于C，可知當(dāng)x→0時，與x為等價無窮小量，故選C．對于D，當(dāng)x→0時，xsin1／x為無窮小量，但是不存在，這表明當(dāng)x→0時，無窮小量xsin1／x的階不能與x的階進(jìn)行比較，因此排除D．5、設(shè)f(x)=f(x)存在，則a=()．A、1／2B、1C、2D、e標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：點(diǎn)x=0為f(x)的分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)兩側(cè)f(x)表達(dá)式不同，應(yīng)分左極限、右極限考慮．由于f(x)存在，則e2／a=e，可得a=2．故選C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，簡化運(yùn)算．相仿6、設(shè)函數(shù)f(x)=在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則()．A、a=2，b=－1B、a=2，b=1C、a=－1，b=2D、a=1，b=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題設(shè)，點(diǎn)x=－1與x=1為f(x)的分段點(diǎn)，在(－∞，1)，(－1，1)，(1，+∞)內(nèi)f(x)都是初等函數(shù)，皆為連續(xù)函數(shù)．只需考查f(x)在x=－1與x=1處的連續(xù)性．(x2+ax+b)=1－a+b．若f(x)在x=－1處連續(xù)，則應(yīng)有1－a+b=－2，即a－b=3．①又(x2+ax+b)=1+a+b，當(dāng)f(x)在x=1處連續(xù)時，應(yīng)有1+a+b=2，即a+b=1．②聯(lián)立①②得方程組解得a=2，b=－1．故選A．7、設(shè)函數(shù)f(x)=，討論f(x)的間斷點(diǎn)，其正確的結(jié)論為()．A、不存在間斷點(diǎn)B、存在間斷點(diǎn)x=1C、存在間斷點(diǎn)x=0D、存在間斷點(diǎn)x=－1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：所給問題為判定函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)．由于f(x)以極限的形式給出，因此應(yīng)該先求出f(x)的表達(dá)式．由題設(shè)，得可知f(x)為分段函數(shù)，分段點(diǎn)為x=－1，x=1．畫出草圖易知x=－1為其唯一間斷點(diǎn)．故選D．8、若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則=()．A、－2f’(0)B、－f’(0)C、f’(0)D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于=f’(0)－f’(0)=0．故選D．9、設(shè)函數(shù)f(x)=其中g(shù)(x)為有界函數(shù)，則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：f(x)在分段點(diǎn)x=0兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同，考慮：可知f(x)=f(0)，因此f(x)在x=0處極限存在且連續(xù)，應(yīng)排除A，B．又由單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義，有可知f’－(0)≠f’+(0)，從而f’(0)不存在，故選C．10、設(shè)函數(shù)f(x)=(x－1)(x－2)…(x－10)，則f’(1)=()．A、9!B、－9!C、10!D、－10!標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：利用導(dǎo)數(shù)定義．=(x－1)(x－2)…(x－9)=(－1)99!=－9!．故選B．11、設(shè)曲線f(x)=xn在點(diǎn)(1，1)處的切線與