考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷6（共225題）

考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷6（共9套）（共225題）考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標準答案：B知識點解析：因為，所以正確答案為(B)．2、設f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可偏導C、可偏導但不可微D、可微標準答案：C知識點解析：3、點M(2，1，—1)到直線L：的距離為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：顯然M0(1，0，1)為直線L上一點，直線L的方向向量為4、設冪級數(shù)()．A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性不能確定標準答案：A知識點解析：令3x+1=t，則級數(shù)的收斂半徑R≥2，因為1＜R，所以當t=1時，級數(shù)絕對收斂，應選(A)．5、設A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()．A、若A2～B2，則A～B2B、矩陣A的秩與A的非零特征值的個數(shù)相等C、若A，B的特征值相同，則A～BD、若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化標準答案：D知識點解析：由A～B得A，B的特征值相同，設為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得P1—1AP1=B，即A=P1BP1—1；6、設n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關，則()．A、向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)都線性相關B、向量組(Ⅰ)線性相關C、向量組(Ⅱ)線性相關D、向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)至少有一個線性相關標準答案：D知識點解析：當向量組(Ⅰ)線性相關時，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量組(Ⅲ)線性相關；同理，當向量組(Ⅱ)線性相關時，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n即向量組(Ⅲ)線性相關，應選(D)．7、設P(A｜B)=P(B｜A)=，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：8、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度f(x)為偶函數(shù)，且F(x)=∫—∞xf(t)dt，則對任意常數(shù)a＞0，P{｜X｜＞a)為()．A、2—2F(a)B、1一F(a)C、2F(a)D、2F(a)一1標準答案：A知識點解析：P{｜X｜＞a}=1一P{｜X｜≤a}=1一P{一a≤X≤a}=1一F(a)+F(一a)，而F(—a)=∫—∞—af(x)dx∫+∞a(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1一∫—∞af(t)dt=1一F(a)，所以P{｜X｜＞a}=2—2F(a)，選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、=___________．標準答案：2ln2知識點解析：10、設y=y(x)由=___________．標準答案：知識點解析：11、微分方程yy"=y2y’+y’2滿足y(0)=1，y’(0)=2的特解為___________．標準答案：=x—ln2知識點解析：12、設A，B為三階矩陣，A～B，λ=一l，λ=1為矩陣A的兩個特征值，又｜B—1｜==___________．標準答案：知識點解析：因為｜B—1｜=，所以｜B｜=3，義因為A～B，所以A，B有相同的特征值，設A的另一個特征值為λ3，由｜A｜=｜B｜=λ1λ2λ3，得λ3=一3，因為A一3E的特征值為一4，一2，一6，所以｜A一3E｜=一48．13、設總體X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4為來自總體的簡單隨機樣本，則服從的分布為___________．標準答案：t(1)知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、計算二重積分｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x，y≤1}．標準答案：令D1={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0)，D2=D／D1，知識點解析：暫無解析15、設f(x)∈c[a，b]且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，若f(a)＜0，∫abf(x)dx＞0，證明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．標準答案：(Ⅰ)由積分中值定理，∫abf(x)dx=f(c)(b一a)＞0，其中c∈[a，b]，顯然f(c)＞0且c∈(a，b]．因為f(a)f(c)＜0，所以由零點定理，存在x0∈(a，c)，使得f(x0)=0．再由f(x)單調(diào)增加得，當x∈[a，x0)時，f(x)＜0；當x∈(x0，b]時，f(x)＞0．令F(x)=∫axf(t)dt，顯然F(x0)＜0，F(xiàn)(b)＞0，由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=0．(Ⅱ)令φ(x)=ex∫axf(t)dt，φ(a)=φ(ξ)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，ξ)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e—x[f(x)一∫axf(t)dt]且e—x≠0，故∫aηf(x)dx=f(η)．知識點解析：暫無解析16、設f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函數(shù)f(x，y)在點(x，y)處的最大的方向?qū)?shù)g(x，y)，并求g(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤25}上的最大值與最小值．標準答案：函數(shù)f(x，y)的梯度為gradf(x，y)={y+8，x一6}，=gradf．(cosα，cosβ)=gradf．e=｜gradf｜cosθ，其中e為射線對應的單位向量，θ為梯度與射線的夾角，則g(x，y)=｜gradf｜=．令H(x，y)=(x一6)2+(y+8)2，當x2+y2＜25時，因為在x2+y2＜25內(nèi)無解，所以H(x，y)的最大值與最小值在區(qū)域D的邊界上取到．當x2+y2=25，令F(x，y，λ)=(x一6)2+(y+8)2+λ(x2+y2一25)，由因為H(3，一4)=25，H(一3，4)=225，所以g(x，y)在區(qū)域D上的最大值和最小值分別為15和5．知識點解析：暫無解析17、求曲面積分xdydz+xzdzdx，其中，∑：x2+y2+z2=1(z≥0)取上側(cè)．標準答案：令∑：z=0(x2+y2≤1)，取下側(cè)，則知識點解析：暫無解析18、當隕石穿過大氣層向地面高速墜落時，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實驗證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過程中始終保持球狀．若它在進人大氣層開始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問此隕石完全燃盡需要多少時間?標準答案：設隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時間t的函數(shù)，知識點解析：暫無解析19、設A=，問a，b，c為何值時，矩陣方程AX=B有解，有解時求出全部解．標準答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即知識點解析：暫無解析20、設二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過正交變換化為標準形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化為標準形．標準答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，｜A｜=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩陣A的對應于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T為矩陣A的對應于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因為A為實對稱矩陣，所以αTξ=0，即x1+x2—x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1對應的線性無關的特征向量為知識點解析：暫無解析21、設(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=(Ⅰ)求常數(shù)k；(Ⅱ)求X的邊緣密度；(Ⅲ)求當X=x(0≤x≤)下Y的條件密度函數(shù)fY｜X(y｜x)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)獨立同分布，其方差為σ2，令求：(Ⅰ)D(Y)，D(Z)：(Ⅱ)ρYZ．標準答案：(Ⅰ)因為X1，X2，…，Xm+n相互獨立，所以D(Y)=(Xm—k)=nσ2．(Ⅱ)Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm—1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n一m)σ2，則ρYZ=．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、曲線y＝＋ln(1＋eχ)的漸近線條數(shù)為()A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：D知識點解析：首先，χ＝0和χ＝1是兩個明顯的間斷點，且y＝∞，y＝∞，所以χ＝0和χ＝1是兩條垂直漸近線；其次，y＝＋∞，y＝0，所以沿χ→＋∞方向沒有水平漸近線，沿χ→∞方向有一條水平漸近線y＝0。最后，所以沿著χ→∞方向有一條斜漸近線y＝χ，沿著χ→－∞方向，由于有一條水平漸近線，因此沒有斜漸近線。綜上所述，曲線共有4條漸近線，故選D。2、設函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，則()A、函數(shù)∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt必是奇函數(shù)。B、函數(shù)∫0χt2[f(t)－f(－t)]dt必是奇函數(shù)。C、函數(shù)∫0χ[f(t)]3dt必是奇函數(shù)。D、函數(shù)∫0χf(t3)dt必是奇函數(shù)。標準答案：A知識點解析：令F(χ)＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]，由題設知F(χ)是(－∞，＋∞)上的連續(xù)函數(shù)，且F(－χ)＝(－χ)2[f(－χ)＋f(χ)]＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]＝F(χ)，即F(χ)是偶函數(shù)，于是對任意的χ∈(－∞，＋∞)，G(χ)＝∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χf(t)dt，滿足G(－χ)＝∫0－χF(t)dt∫0χF(－u)(－du)＝－∫F(－u)du＝－F(u)du＝－G(χ)，即G(χ)是奇函數(shù)，故選項A正確。3、若y＝χeχ＋χ是微分方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c的解，則()A、a＝1，b＝1，c＝1。B、a＝1，b＝1，c＝－2。C、a＝－3，b＝－3，c＝0。D、a＝－3，b＝1，c＝1。標準答案：B知識點解析：由于y＝χeχ＋χ是微分方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c的解，則χeχ是對應齊次方程的解，其特征方程r2－2r＋a＝0有二重根r1＝r2＝1，則a＝1；χ是非齊次方程的解，將y＝χ代入方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c知b＝1，c＝－2。故選B。4、設有命題①若正項級數(shù)un滿足＜1，則級數(shù)un收斂。②若正項級數(shù)un收斂≤1。③若＝1，則級數(shù)an和bn同斂散。④若數(shù)列{an}收斂，則級數(shù)(an+1－an)收斂。以上四個命題中正確的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：A知識點解析：④是正確的，因為級數(shù)(an+1－an)的部分和數(shù)列為Sn＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an+1－an)＝an+1－a1，因數(shù)列{an}收斂，an＝0，Sn存在，級數(shù)(an+1－an)收斂。①不正確。例如，滿足＜1，但是并不收斂。②不正確。正項級數(shù)un收斂，但極限不一定存在，如是收斂的，事實上，但是不存在。③不正確。例如容易驗證＝1，但級數(shù)bn收斂，而是發(fā)散的。故選A。5、設矩陣Am×n經(jīng)過若干次初等行變換后得到B，現(xiàn)有4個結(jié)論，其中正確的是()①A的行向量均可由B的行向量線性表示；②A的列向量均可由B的列向量線性表示；③的行向量均可由A的行向量線性表示；④B的列向量均可由A的列向量線性表示。A、①、②B、①、③C、②、③D、③、④標準答案：B知識點解析：由A經(jīng)初等行變換得到B知，有初等矩陣P1，P2，…，Ps使得Ps…P2P1A＝B。記P＝Ps…P2P1，則P＝=(pij)m×m是可逆矩陣，將A，B均按行向量分塊有這表明pi1α1＋pi2α2＋…＋pimαm＝βi(i＝1，2，…，m)，故B的行向量均可由A的行向量線性表出，因P＝(Pij)m×m是可逆矩陣，所以兩邊同乘P-1得故A的行向量均可由B的行向量線性表出。故選B。6、已知線性方程組Aχ＝kβ1＋β2有解，其中則k＝()A、1B、－1C、2D、－2標準答案：D知識點解析：將Aχ＝kβ1＋β2的增廣矩陣作初等行變換，Aχ＝kβ1＋β2有解r(A)＝r(A，kβ1＋β2)，得k＝－2，故選D。7、假設總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X10是來自總體X的簡單隨機樣本，Y2＝，則()A、X2～χ2(1)B、Y2～χ2(10)。C、～t(10)D、～F(10,1)標準答案：C知識點解析：由總體X～N(0，σ2)可知Xi～N(0，σ2)，故～N(0，1)，且相互獨立，由χ2分布，F(xiàn)分布，t分布的典型模型可知，選項A，B不成立。事實上，～χ2(1)，故A不成立；～χ2(10)，故(B)不成立；，故D不成立；而所以C成立。故選C。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、＝_______。標準答案：知識點解析：9、設(χ，y，z)＝eχ＋y2z，其中z＝z(χ，y)是由方程χ＋y＋z＋χyz＝0所確定的隱函數(shù)，則f′χ(0，1，－1)＝_______。標準答案：1知識點解析：根據(jù)f(χ，y，z)＝eχ＋y2z可知，f′χ(χ，y，z)＝eχ＋y2z′χ，等式χ＋y＋z＋χyz＝0兩邊對χ求偏導可得1＋z′χ＋yz＋χyz′χ＝0，令χ＝O，y＝1，z＝－1得z′χ＝0。則f′χ(0，1，－1)＝e0＝1。10、函數(shù)f(χ，y，z)＝χ2＋y2＋z2在點(1，－1，0)處沿球面χ2＋y2＋z2＝2在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)＝_______。標準答案：知識點解析：球面χ2＋y2＋z2＝2在(1，－1，0)點的外法線向量為n＝(1，－1，0)。其方向余弦為所以11、設y＝y(tǒng)(χ)由方程χ＝確定，則＝_______。標準答案：－2π知識點解析：已知χ＝，將χ＝0代入得y＝1，再將所給方程兩邊對χ求導，得1－sin2[(y－χ)].(y′－1)。于是y′＝csc2[(y－χ)]＋1。從而將χ＝0，y＝1代入得y′｜χ＝0＝3，y〞｜χ＝0＝－2π。12、已知α＝(α，1，1)T是矩陣A＝的逆矩陣的特征向量，那么a＝_______。標準答案：－1知識點解析：設α是矩陣A-1屬于特征值λ0的特征向量，由定義A-1α＝λ0α，知α＝λ0A.α，即解得λ0＝－，a＝－1。13、設隨機變量X和Y相互獨立，且D(X)＝4D(Y)，則隨機變量2X＋3Y，與2X－3Y，的相關系數(shù)為_______。標準答案：0．28知識點解析：記Z1＝2X＋3Y，Z2＝2X－3Y，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求極限標準答案：根據(jù)等價無窮小替換公式，知識點解析：暫無解析15、設z＝，其中f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)f(0)＝f′(0)＝0，且求f(u)。標準答案：z＝，其中f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，代入方程即f〞(u)－f(u)＝u。求解該二階微分方程可得，f(u)＝C1e-u＋C2eu－u，將f(0)＝f′(0)＝0代入上式，可解得C1＝，C2＝，故f(u)＝－u。知識點解析：暫無解析16、證明不等式3χ＜tanχ＋2sinχ，χ∈(0，)標準答案：設f(χ)＝tanχ＋2sinχ－3χ，χ∈(0，)，則f(χ)＝sec2χ＋2cosχ－3，f〞(χ)＝2sec2χtanχ－2sinχ＝2sinχ(sec3χ－1)，由于當χ∈(0，)時sinχ＞0，sec3χ－＞0，則f〞(χ)＞0，函數(shù)f(χ)＝sec2χ＋2cosχ－3為增函數(shù)，且f′(0)＝0，因此χ∈(0，)時，f′(χ)＝sec2＋2cosχ－3＞0，進一步得函數(shù)f(χ)為增函數(shù)，由于f(0)＝0，因此f(χ)＝tanχ＋2sinχ－3χ＞f(0)＝0，χ∈(0，)，即不等式3χ＜tanχ＋2sinχ，χ∈(0，)成立。知識點解析：暫無解析17、計算曲線積分，其中L為從點(－2，0)到(2，0)的下半圓。標準答案：可知，因此積分與路徑無關。故選取路徑L′：4χ2＋y2＝16，方向由點(－2，0)到點(2，0)，則將曲線L′改寫為參數(shù)方程為χ＝2cost，y＝4sint，t：π→0，則∫L′χdy＝y(tǒng)dχ＝∫π08(cos2t＋sin2t)dt＝－8π，故知識點解析：暫無解析18、求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。標準答案：＝1，故該級數(shù)的收斂半徑為r＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)，χ＝±1時，該級數(shù)變?yōu)槌?shù)項級數(shù)顯然，(－1)n2發(fā)散，條件收斂，故發(fā)散，則收斂域為(－1，1)。記S1(χ)＝(－1)n2χ2n，則逐項求導可得，令χ＝0，可得C＝0，故S2(χ)＝，χ≠0；χ＝0時，S2(0)＝0。故故原級數(shù)的和函數(shù)為知識點解析：暫無解析19、已知線性方程組有無窮多解，求a，b的值并求其通解。標準答案：由題設可知線性方程組的系數(shù)矩陣為A＝，增廣矩陣為對增廣矩陣作初等行變換方程有無窮多解，則r(A)＝r(A，b)≤3，所以a＝2，b＝－3。下面求線性方程組的通解，將增廣矩陣化為行最簡形。從而原方程組可化為齊次線性方程組所對應的基礎解系為ξ＝(－14，4，9，1)T，特解為η*＝(－4，0，3，0)T，從而通解為z＝η*＋Kξ，k為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析20、設二次型χTAχ＝aχ12＋2χ22－χ32＋8χ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，實對稱矩陣A滿足AB＝O，其中B＝(Ⅰ)用正交變換將二次型化為標準型，并寫出所作的正交變換；(Ⅱ)判斷矩陣A與B是否合同，并說明理由。標準答案：(Ⅰ)二次型對應的實對稱矩陣為A＝，因為AB＝O，所以下面求A的特征值A的特征值為0，6，－6。當λ＝0時，求解線性方程組(OE－A)χ＝0，解得α1＝(1，0，1)T；當λ＝6時，求解線性方程組(6E－A)χ＝0，解得α2＝(－1，－2，1)T；當λ＝－6時，求解線性方程組(－6E－A)χ＝0，解得α3＝(－1，1，1)T。下面將α1，α2，α3單位化則二次型在正交變換χ＝Qy的標準形為f＝6y22－6y32其中(Ⅱ)矩陣A與B不合同。因為r(A)＝2，r(B)＝1，由合同的必要條件可知矩陣A與B不合同。知識點解析：暫無解析21、已知隨機變量X的概率密度為fX(χ)＝a。(Ⅰ)求a；(Ⅱ)令Y＝max{X，X2}，試求Y的概率密度函數(shù)。標準答案：(Ⅰ)根據(jù)∫－∞＋∞adχ＝1可得a＝1，解得a＝。(Ⅱ)當y＜0時，F(xiàn)Y(y)＝0，當y≥0時，F(xiàn)Y(y)＝P{Y≤y}＝P{max(X，X2)≤y}＝P{X≤y，X2≤y}＝P{X≤y}∩P{}＝從而y的概率密度函數(shù)為知識點解析：暫無解析22、設總體的概率密度為f(χ；θ)＝X1，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量與最太似然估計量。標準答案：矩估計量：由已知可得則可得θ＝，即θ的矩估計量為。最大似然估計量：設樣本X1，…Xn的取值為χ1，…，χn，則對應的似然函數(shù)為L(χ1，…，χn；θ)＝取對數(shù)得lnL＝(ln2＋lnχi－ln3－2lnθ)關于θ求導得＜0，則L隨著0的增大而減小，即θ取最小值時，L取得最大，因為0＜χi＜2θ(i＝1，2，…，n)＜θ＜χi(i＝1，2，…，n)，所以θ的最大似然估計量為max知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=，則f(x)有()．A、兩個可去間斷點B、兩個無窮間斷點C、一個可去間斷點，一個跳躍間斷點D、一個可去間斷點，一個無窮間斷點標準答案：C知識點解析：顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點．由f(1一0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點，應選(C)．2、若f"(x)在(0，2)上連續(xù)，，則()．A、點(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點B、f(1)是函數(shù)y=f(x)的極小值C、f(1)是函數(shù)y=f(x)的極大值D、點(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點，f(1)也不是函數(shù)y=f(x)的極值標準答案：C知識點解析：由＞0，當x∈(1一δ，1)時，f’(x)＞0；當x∈(1，1+δ)時，f’(x)＜0，從而x=1為f(x)的極大值點；由＜0，從而f"(x)＜0，即(1，f(1))不是y=f(x)的拐點，應選(C)．3、下列反常積分收斂的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：4、設正項級數(shù)發(fā)散，令Sn=a1+a2+…+an，則下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、設A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，｜A｜=a，｜B｜=b，則等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選(D)．6、設A=(α1，α2，α3，α4)為四階方陣，且α1，α2，α3，α4為非零向量組，設AX=0的一個基礎解系為(1，0，一4，0)T，則方程組A*X=0的基礎解系為()．A、α1，α2，α3B、α1，α3，α1+α3C、α1，α3，α4D、α1+α2，α2+2α4，α4標準答案：D知識點解析：由r(A)=3得r(A*)=1，則A*X=0的基礎解系由三個線性無關的解向量構(gòu)成．由α1一4α3=0得α1，α3成比例，顯然(A)、(B)、(C)不對，應選(D)．7、設X～N(1，4)，Y～N(3，16)，P{Y=aX+b}=1，且ρXY=一1，則()．A、a=2，b=5B、a=一2，b=一5C、a=一2，b一5D、a=2，b=一5標準答案：C知識點解析：由E(Y)=aE(X)+b得a+b=3，再由D(Y)=a2D(X)得4a2=16，因為ρXY=一1，所以a＜0，于是a=一2，b=5，應選(C)．8、設X，Y相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，下列結(jié)論正確的是()．A、X+Y～E(2λ)B、X—Y～E(2λ)C、min{X，Y)～E(2λ)D、max{X，Y)～E(2λ)標準答案：C知識點解析：因為X～E(λ)，Y～E(λ)，所以FX(x)=令Z=min{X，Y}，則FZ(z)=P{Z≤z}=1一P{Z＞z}=1一P{X＞z，Y＞z}=1一P{X＞z)P{Y＞z}=1一[1一P{X≤z}]．[1一P{Y≤z}]=1一[1一FX(z)]．[1一Fy(z)]當z＜0時，F(xiàn)Z(z)=0；當z≥0時，F(xiàn)Z(z)=1一e—2λz．于是FZ(z)=即Z～E(2λ)，選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程x2y"+3xy’+y=0有極值y(1)=2的特解y(x)，則y(x)=___________．標準答案：知識點解析：10、+∫0tdx∫xtsin(xy)2dy=___________．標準答案：知識點解析：交換積分次序得∫0tdx∫xtsin(xy)dy=∫0tdy∫0ysin(xy)dx11、設π為過直線L：且與平面x一2y+z一3=0垂直的平面，則點M(3，一4，5)到平面π的距離為___________．標準答案：知識點解析：過直線L：的平面束為(2x—z一4)+λ(2y+3z+2)=0，即2x+2λy+(3λ一1)z+2λ一4=0，由{2，2λ，3λ—1}．{1，一2，1}=0得λ=1，從而π：x+y+z一1=0，于是d=．12、設∑：x2+y2+z2=4取內(nèi)側(cè)，又函數(shù)u=u(x，y，z)滿足=___________．標準答案：知識點解析：13、設α1=為三維空間的兩組不同的基，令β=β1+2β2—3β3，則β在基α1，α2，α3下的坐標為___________．標準答案：(—4，—2，2)知識點解析：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q，可得Q=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)=，β=β1+2β2—3β3=(β1，β2，β3)(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)Q(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)=一4α1—2α2+2α3，則α在基α1，α2，α3下的坐標為(一4，一2，2)．14、設X～N(1，4)，Y～B(3，)且X，Y相互獨立，則P{XY+1＞X+Y}=___________．標準答案：知識點解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X一1)(Y一1)＞0}=P{X＞1，y＞1}｜{P{X＜1，y＜1}=P{X＞1}P{y＞1}+P(X＜1}P{y＜1}三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設函數(shù)f(x，y)在(2，一2)處可微，滿足f(sin(xy)+2cosx，xy一2cosy)=1+x2+2y+o(x2+y2)，這里o(x2+y2)表示比x2+y2為高階無窮小((x，y)→(0，0)時)，試求曲面z=f(x，y)在點(2，一2，f(2，一2))處的切平面．標準答案：因為f(x，y)在(2，一2)處可微，所以f(x，y)在(2，一2)處連續(xù)取(x，y)=(0，0)得f(2，一2)=1．因為f(x，y)在(2，一2)處可微，所以f(x，y)在(2，一2)處可偏導，令y=0得f(2cosx，一2)=1+x2+o(x2)，故曲面∑：z=f(x，y)在點(2，一2，1)處的法向量為n={1，一1，1}，切平面方程為π：(x一2)一(y+2)+(z一1)=0，即π：x—y+z一5=0．知識點解析：暫無解析16、設f(x)=1+x(0≤x≤1)．(Ⅰ)將f(x)展開成余弦級數(shù)，并求；(Ⅱ)將f(x)展開成正弦級數(shù)．標準答案：(Ⅰ)將f(x)進行偶延拓和周期延拓，則a0=2∫01f(x)dx=2∫01(1+x)dx=3，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2∫01cosnπxdx(Ⅱ)將f(x)進行奇延拓和周期延拓，則an=0(n=0，1，2，…)，bn=2∫01f(x)sinnπxdx=2∫01(1+x)sinnπxdx知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(0≤a＜b≤)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標準答案：令g(x)=一cosx，g’(x)=sinx≠0(a＜x＜b)，知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[1，+∞)上有連續(xù)的二階導數(shù)，f(1)=0，f’(1)=1，且二元函數(shù)z=(x2+y2)f(x2+y2)滿足=0，求f(x)在[1，+∞)的最大值．標準答案：知識點解析：暫無解析19、計算曲面積分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(x2—1)dxdy，其中三為曲面z=1一x2一y2(z≥)的上側(cè)．標準答案：補充∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下側(cè)，知識點解析：暫無解析20、a，b取何值時，方程組有唯一解、無解、有無窮多個解?有無窮多個解時，求出其通解．標準答案：當a=1，b=一1時，方程組有無窮多個解，通解為X=k1(1，一2，1，0)T+k2(1，一2，0，1)T+(一1，1，0，0)T(k1，k2為任意常數(shù))知識點解析：暫無解析21、設A是三階矩陣，α1，α2，α3為三維列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．(Ⅰ)證明：向量組α1，α2，α3線性無關．(Ⅱ)證明：A不可相似對角化．標準答案：(Ⅰ)由Aα1=α1得(A—E)α1=0，由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1，由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2．令k1α1+k2α2+k3α3=0，1)兩邊左乘以(A—E)得k2α1+k3α2=0，2)兩邊再左乘(A—E)得k3α1=0，由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，則k1=0，再代入1)得k1α1=0，從而k1=0，于是α1，α2，α3線性無關．(2)令P=(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α1+α3)得AP==B，由｜λE一A｜=｜λE一B｜=(λ一1)3=0得A的特征值為λ=λ=λ=1，E—B=，因為r(E—B)=2，所以B只有一個線性無關的特征向量，即B不可相似對角化，而A～B，故A不可相似對角化．知識點解析：暫無解析22、有甲、乙、丙三個盒子，第一個盒子里有4個紅球1個白球，第二個盒子里有3個紅球2個白球，第三個盒子里有2個紅球3個白球，先任取一個盒子，再從中先后取出3個球，以X表示紅球數(shù)．(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)求所取到的紅球不少于2個的概率．標準答案：(Ⅰ)令Ak={所取為第尼個盒子)(k=1，2，3)，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，由全概率公式得知識點解析：暫無解析23、設總體X的密度函數(shù)為f(x；θ)=(一∞＜x＜+∞)，其中θ＞0為未知參數(shù)，(X1，X2，…，Xn)為來自總體X的簡單隨機樣本，求參數(shù)θ的矩估計量和極大似然估計量．標準答案：E(X)=0，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0確定的函數(shù)y＝y(tǒng)(x)()A、沒有駐點．B、有唯一駐點，但不是極值點．C、有唯一駐點為極小值點．D、有唯一駐點為極大值點．標準答案：C知識點解析：由2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0兩邊對x求導，得(6y2－4y＋2x＋1)y＇＋2y－2x＝0．令y＇＝0，得y＝x．與原方程聯(lián)立，得x(2x2－x＋1)＝0，有唯一解x＝0．在x＝0處對應y＝0，在點(0，0)處，y＇的系數(shù)所以由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0確定的函數(shù)y＝y(tǒng)(x)有唯一駐點x＝0(對應y＝0再求y＂，有(6y2－4y＋2x＋1)y＂＋(12yy＇－4y＇＋2)y＇＋2y＇－2＝0．以x＝0，y＝0，y＇＝0代人，得y＂－2＝0，即y＂＝2＞0．所以x＝0處對應的y＝y(tǒng)(x)為極小值．選(C)．2、設數(shù)列{an)單調(diào)增加且有上界，θ為常數(shù)，則級數(shù)()A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與θ有關．標準答案：C知識點解析：由于數(shù)列{an}單調(diào)增加且有上界，故且an≤a，則(收斂)，另一方面，｜((an－aa＋1)sinnθ｜≤｜an－an＋1｜＝an＋1－an，而已證收斂，所以由比較判別法，知絕對收斂，選(C)．3、A、等于0．B、等于1．C、等于－1．D、不存在．標準答案：B知識點解析：因為所以4、設f(x)連續(xù)且，，則F＂(x)＋F(x)＝()A、f(x)sinx．B、f(x)cosx．C、f(x)(sinx＋cosx)．D、f(x)．標準答案：D知識點解析：作積分變量代換x－t＝u，再用三角公式，有所以F＂(x)＋F(x)＝f(x)．5、設n階行列式D中有一行元素及其余子式均為a(a≠0)，k是正整數(shù)，則()A、n＝2k，D＝0．B、n＝2k＋1，D＝0．C、n＝2k，D＝a2．D、n＝2k＋1，D＝－a2．標準答案：A知識點解析：不失一般性，設n階行列式中第1行元素及其余子式均為a(a≠0)．按第1行展開，得D＝a11A11＋a12A12＋…＋a1nA1n＝a11M11＋a12(－M12)＋…＋a1n(－1)n－1M1n＝a2－a2＋a2＋…＋(－1)n＋1a2．當n＝2k時，D＝a2－a2＋a2－…－a2＝0；當n＝2k＋1時，D＝a2－a2＋a2－…＋(a2＝a2．故應選(A)．【注】注意余子式和代數(shù)余子式的區(qū)別(看清題目)，且Mij＝(－1)i＋jAij或Aij＝(－1)i＋jMij6、設A＝是2階實矩陣，則下列條件不是A相似于對角矩陣的充分條件的是()A、ad－bc＜0．B、b，c同號．C、b＝c．D、b，c異號．標準答案：D知識點解析：對(C)，當b＝c時，A是實對稱矩陣，所以A～Λ，故(C)是充分條件．由A的特征值，看什么條件下A相似于對角矩陣．對(A)，當ad－bc＜0時，由(*)式可知，(a＋d)2－4(ad－bc)＞0．因此A有兩個不同的特征值，所以A～Λ．故(A)是充分條件．對(B)，當b，c同正或同負時，由(**)式可知，(a－d)2＋4bc＞0．因此A有兩個不同的特征值，所以A～Λ．故(B)是充分條件．對(D)，當b，c異號時，由(**)式知，因bc＜0，當(a－d)2＋4bc＝0時，會有二重特征值．例：則λ1＝λ2＝0，但r(0E－A)＝1，線性無關的特征向量只有一個，所以A不能相似于對角矩陣，故應選(D)．7、設X1，X2，…，X9。是來自正態(tài)總體N(1，σ2)的簡單隨機樣本，為其樣本均值，S2為其樣本方差．記統(tǒng)計量，若P{－2＜T＜0}＝0．3，則P{T＞2}＝()A、0．1．B、0．2．C、0．3．D、0．4．標準答案：B知識點解析：由單個正態(tài)總體的抽樣分布，知式中，n＝9．又t分布的概率密度關于y軸對稱，則P{0＜T＜2}＝P{－2＜T＜0}＝0．3，故P{T＞2}＝P{T≥2)＝P{T＞0}－P{0＜T＜2}＝0．5－0．3＝0．2．8、設連續(xù)型隨機變量X，Y相互獨立，其概率密度和分布函數(shù)分別為f(x)，F(xiàn)(x)和g(x)，G(x)．若對任意x，有F(x)≤G(x)．則()A、P{x≤y}＝1／2．B、P{x≤y}≥1／2．C、P{x≤y}≤1／2．D、P{x≤y}＝1．標準答案：C知識點解析：由聯(lián)合概率密度及分布函數(shù)性質(zhì)，得由對任意x，有F(x)≤G(x)，從而二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設y＝y(tǒng)(x)是由方程y3＋xy＋y＋x2＝0及y(0)＝0所確定，則＝___________．標準答案：知識點解析：另一方面，由y3＋xy＋y＋x2＝0及y(0)＝0有3y2y＇(x)＋xy＇(x)＋y＋y＇(x)＋2x＝0，所以式①又是“”型．再對式①用洛必達法則，由10、空間曲線，在xOy平面上的投影在x≥0處圍成的區(qū)域記為D，則＝___________．標準答案：160π＋256知識點解析：由兩式相減，得x2＋y2－8z＝0,即，于是得投影曲線方程為，化簡即得(x2＋y2)2＝32(x2－y2)．化成極坐標，上述方程成為r2＝32cos2θ．則【注】本題考查求投影曲線方程的方法，利用奇偶性，對稱性化簡二重積分，利用華里士公式化簡三角函數(shù)的定積分。11、設S為球面x2＋y2＋z2＝R2被錐面截下的小的那部分，并設其中A，B，R均為正常數(shù)且A≠B，則第一型曲面積分＝___________．標準答案：知識點解析：球面與錐面的交線在xOy平面上的投影曲線的方程為(A＋1)x2＋(B＋1)y2＝R2，則相應的投影區(qū)域為D＝{(x，y)｜(A＋1)x2＋(B＋1)y2≤R2}．球面(上部)方程為，則其中SD為投影區(qū)域D的面積．由于D是個橢圓，故L26，所以12、設，則____________．標準答案：1－2ln2知識點解析：13、直線L1：與L2：相交于一點，則a＝_________．標準答案：0知識點解析：將直線L1的標準方程(點向式方程)改為交面式方程L1和L2相交于一點四個平面交于一點方程組L31有唯一解．對作初等行變換，得故a＝0時，．方程組有唯一解，即兩直線相交于一點．14、設隨機變量X的分布函數(shù)為Φ[2(x＋1)]，Φ(x)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。則EX＋E(X2)＝__________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設有向曲面S：z＝X2＋y2，x≥0，z≤1，法向量與z軸正向夾角為銳角．求第二型曲面積分標準答案：令D1＝{(y，z)｜y2≤z≤1)，D2＝{(z，x)｜x2≤z≤1，x≥0)，則知識點解析：暫無解析16、設z＝z(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試確定常數(shù)a與b，使得經(jīng)變換μ＝x＋ay,v＝x＋by，可將z關于x，y的方程?；癁閦關于u，v的方程，并求出其解z＝z(x＋ay，x＋by)．標準答案：z與x，y的復合關系為，于是代入所給方程，得按題意，應取1－4a＋3a2＝0，1－4b＋3b2＝0，2－4(a＋b)＋6ab≠0．解得，其中φ(v)為v的任意的可微函數(shù)．于是，其中φ(u)為u的任意的可微函數(shù)，Φ(v)為φ(v)的一個原函數(shù)．由于Φ與φ的任意性，所以兩組解其實是一樣的．知識點解析：暫無解析17、(Ⅰ)證明以柯西一施瓦茨(Cauchy—Schwarz)命名的下述不等式：設f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則有(Ⅱ)證明下述不等式：設f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，則有標準答案：(Ⅰ)令有φ(a)＝0及所以當z≥a時，φ(x)≤0．令x＝b，得證畢．(Ⅱ)令a＝0，b＝1，g(x)＝1，代入(Ⅰ)中已證的不等式，有即證畢．知識點解析：暫無解析18、設fn(x)＝x＋x2＋…＋xn＝l(n＝2，3，…)．(Ⅰ)證明方程fn(x)＝0在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)存在唯一的實根，記為xn；(Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的極限值標準答案：(Ⅰ)由fn(0)＝－1＜0，fn(1)＝n－1＞0，n＝2，3，…，所以fn(x)＝0在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在實根，記為xn．以下證在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)至多存在一個實根．事實上，f＇n(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1>0，z∈(0，＋∞)．所以在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)fn(x)＝0至多存在一個實根．結(jié)合以上討論至少一個至多一個，所以fn(x)＝0在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)存在唯一的實根，且在區(qū)間(0，1)內(nèi)．記此根為xn(n＝2，3，…)．(Ⅱ)欲求，先證其存在，為此，證{xn}單調(diào)減少．0＝fn(xn)－fn＋1(xn＋1)＝(xn＋xn2＋…＋xnn)－(xn＋1＋xn＋12＋…＋xn＋1n＋xn＋1n＋1)．＝(xn－xn＋1)[1＋(xn＋xn＋1)＋…＋(xnn－1＋xnn－2xn＋1＋…＋xn－1n－1)]－xn＋1n＋1．由于[]內(nèi)為正，等號左邊為0，所以xn－xn＋1＞0(n＝2，3，…)，不然上面等號右邊為負，與左邊為零矛盾．于是知{xn)關于n嚴格單調(diào)減少，且有下界(因xn＞0)．所以另一方面，由xn＜x2＜1(n＞2)，所以0＜xnn＜x2n．但0＜x2＜1，由夾逼定理知．由．兩邊取極限，得，知識點解析：暫無解析19、設F(u，v)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且F＇u與F＇v不同時為零．(Ⅰ)求曲面上任意一點(x0，y0，z0)(z0≠c)處的切平面方程；(Ⅱ)證明不論(Ⅰ)中的點(x0，y0，z0)如何，只要z0≠c，這些平面都經(jīng)過同一個定點，并求出此定點．標準答案：(Ⅰ)將x＝x0，y＝y(tǒng)0，z＝z0代入，由于F＇u與F＇v不同時為零，所以得到非零的法向量，從而得到點(x0，y0，z0)處的切平面方程為其中下標0表示F＇u，F(xiàn)＇v中的x，y，z分別均用x0，y0，z0。代替．解畢．(Ⅱ)下面證明此切平面方程，無論點(x0，y0，z0)如何，只要z0≠c，該方程表示的平面總經(jīng)過點(a，b，c)．即用x＝a，y＝b，z＝C代入①式，①式成為0＝0．驗證如下：證畢．知識點解析：暫無解析20、設A，B是n階矩陣．(Ⅰ)A是什么矩陣時，若AB＝A，必有B＝E．A是什么矩陣時，有B≠E，使得AB＝A；(Ⅱ)設A＝，求所有的B，使得AB＝A．標準答案：(Ⅰ)當A是可逆矩陣時，若AB＝A，兩端右乘A－1，必有B＝E；當A不可逆時，有B≠E，使得AB＝A．因A不可逆時Ax＝0有非零解，設Aξi＝0(i＝1，2，…，n)，合并得A(ξ1，ξ2，…，ξn)＝O，令((ξ1，ξ2，…，ξn)＝B－E，即B＝(ξ1，ξ2，…，ξn)＋E≠E，則A(B－E)＝O，得AB＝A，其中B－E≠O，B≠E．(Ⅱ)，則，其中k，l是任意常數(shù)．，k，l是任意常數(shù)，即時，使得AB＝A的所有的B(因A(B－E)＝0，故有AB＝A)．知識點解析：暫無解析21、設A是n階正定矩陣，X是n維列向量，E是n階單位矩陣，記(Ⅰ)計算PW；(Ⅱ)寫出二次型f＝｜W｜的矩陣表達式，并討論f的正定性．標準答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因，故f的矩陣表達式為由A是正定矩陣知，｜A｜＞0，且A的特征值λi＞0(i＝1，2，…，n)，A*的特征值為(i＝1，2，…，n)．所以A*也是正定矩陣，故當n為偶數(shù)時，f＝(－1)nxTA*＝xTA*x是正定二次型；當n為奇數(shù)時，f＝(－1)nxTA*x＝－xTA*x是負定二次型．知識點解析：暫無解析22、設二維隨機變量(X，Y)～f(x，y)＝求：(Ⅰ)條件概率；(Ⅱ)Z＝X＋Y的概率密度fZ(z)．標準答案：(Ⅰ)由(Ⅱ)法一分布函數(shù)法．Z的分界點為0，2．如圖所示，設z的分布函數(shù)為FZ(z)，當z＜0時，F(xiàn)Z(z)＝0；當z≥2時，F(xiàn)Z(z)＝1；當0≤z＜2時，法二公式法．由聯(lián)合概率密度表達式知，當｜z－x｜≤x，0＜x＜1，即0＜z＜2，時，f(x，z－x)＝l，從而知識點解析：暫無解析23、設某種電子器件的壽命(以小時計)T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其中λ＞0未知．從這批器件中任取n只在時刻t＝0時投入獨立的壽命試驗，試驗進行到預訂時間T0結(jié)束，此時有k(0＜k＜n)只器件失效．求：(Ⅰ)一只器件在時間T0未失效的概率；(Ⅱ)λ的最大似然估計量．標準答案：(Ⅰ)記T的分布函數(shù)為F(t)，則一只器件在t＝0時投入試驗，則在時間T0以前失效的概率為P{T≤T0}＝F(T0)＝1－eλT0，故在時間T0未失效的概率為P{T＞T0}＝1－F(T0)＝e－λT0．(Ⅱ)考慮事件A＝{試驗直至時間T0為止，有k只器件失效，n－k只未失效}的概率．由于各只器件的試驗是相互獨立的，因此事件A的概率為L(λ)＝Ckn(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，這就是所求的似然函數(shù)．取對數(shù)得lnL(λ)＝lnCkn＋kln(1－e－λT0)＋(n－k)(－λT0)．令則ne－λT0＝n－k，解得λ的最大似然估計量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、把當x→0時的無窮小量α=ln(1+x2)一ln(1一x4)，β=∫0x2tantdt，γ=arctanx一x排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，α，β．C、α，γ，β．D、γ，β，α.標準答案：C知識點解析：我們分別確定當x→0時，α、β、γ分別是x的幾階無窮小．當x→0時α=ln(1+x2)一1n(1一x4)～x2，因為ln(1+x2)~x2,ln(1一x4)～一x2=o(x2)β=∫0x2tantdt=一ln｜cost｜｜0x2=-lncosx2=一ln[cosx2一1+1]～1一cosx2～又由可知當x→0時，．這表明當x→0時，α是關于x的2階無窮小量，β是關于x的4階無窮小量，而γ是關于x的3階無窮小量．按題目的要求，它們應排成α、γ、β的次序．故選項C正確．2、設函數(shù)f(x)在區(qū)間(一1，1)內(nèi)二次可導，已知f(0)=0，f’(0)=1，且f’’(x)<0當x∈(一1，1)時成立，則A、當x∈(一1，0)時f(x)>x，而當x∈(0，1)時，f(x)B、當x∈(一l，0)時f(x)x．C、當x∈(一1，0)與x∈(0，1)時都有f(x)>x．D、當x∈(一1，0)與x∈(0，1)時都有f(x)標準答案：D知識點解析：由題設知，曲線y=f(x)在原點處的切線方程為y=x，而曲線y=f(x)在區(qū)間(一1，1)內(nèi)是凸?。赏够∨c其上某點處的切線的位置關系即知結(jié)論D正確．3、下列二元函數(shù)在點(0，0)處可微的是A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：本題中的這4個函數(shù)均有f(0，0)=0，且(B)，(C)，(D)中均有按可微定義，若f(0，0)=0，則f(x，y)在點(0，0)處可微，且即無窮小量(ρ→0)，其中(B)中的f(x，y)滿足：因此，(B)中的f(x，y)在點(0，0)處可微．故選項B正確．4、下列三個命題①設anxn的收斂域為(一R，R)，則的收斂域為(一R，R)；②設冪級數(shù)anxn在x=一1條件收斂，則它的收斂半徑R=1；③設冪級數(shù)anxn，bnxn的收斂半徑分別為R1，R2，則(an+bn)xn的收斂半徑R=min(R1，R2)中正確的個數(shù)是A、0個．B、1個．C、2個．D、3個．標準答案：B知識點解析：此類選擇題必須逐一判斷．關于命題①：對冪級數(shù)anxn逐項積分保持收斂區(qū)間不變，但收斂域可能起變化．如xn的收斂域為(一1，1)，但的收斂域是[一1，1)．關于命題②：若熟悉冪級數(shù)的收斂性特點立即可知該命題正確．記該冪級數(shù)的收斂半徑為R．若R>1，由于anxn絕對收斂=>an(一1)n絕對收斂，與已知矛盾．若R<1，由anxn發(fā)散=>an(一1)n發(fā)散，也與已知矛盾．因此，R=1．關于命題③：當R1≠R2時，R=min(R1，R2)，于是要考察R1=R2的情形．設有級數(shù)，易求得它們的收斂半徑均為R1=R2=1但的收斂半徑為R=2．因此命題不正確．綜上所述．選項B正確．5、設η1，η2，η3為3個n維向量，AX=0是n元齊次方程組．則()正確.A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且線性無關，則η1，η2，η3為AX=0的一個基礎解系．B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n一3，則η1，η2，η3為AX=0的一個基礎解系．C、如果η1，η2，η3等價于AX=0的一個基礎解系．則它也是AX=0的基礎解系.D、如果(A)=n一3，并且AX=0每個解都可以用η1，η2，η3線性表示，則η1，η2，η3為AX=0的一個基礎解系．標準答案：D知識點解析：(A)缺少n—r(A)=3的條件．(B)缺少η1，η2，η3線性無關的條件．(C)例如η1，η2是基礎解系η1+η2=η3，則η1，η2，η3和η1，η2等價，但是η1，η2，η3不是基礎解系．要說明(D)的正確，就要證明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且線性無關．方法如下：設α1，α2，α3是AX=0的一個基礎解系，則由條件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3線性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，則r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3線性無關，并且和α1，α2，α3等價，從而都是AX=0的解．6、下列矩陣中不相似于對角矩陣的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：(A)矩陣的3個特征值兩兩不同，(D)是實對稱矩陣，因此它們都相似于對角矩陣．(C)矩陣的秩為1，它的特征值都為0，其重數(shù)3>3一(C)矩陣的秩．因此(C)不相似于對角矩陣．(B)矩陣的秩也為1，它的特征值為0，0，6，0的重數(shù)2=3一(B)矩陣的秩．因此相似于對角矩陣．7、設隨機變量X與Y，獨立同分布，X~N(0，)，則D{X—Y}=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：Z=X—Y，則Z～N(0，1)E｜X—Y｜=E｜Z｜=∫-∞＋∞E｜X一Y｜2=E｜Z｜2=EZ2=DZ+(EZ)2=1+0=1．D(｜X—Y｜)=D｜Z｜=E｜Z｜2一(E｜Z｜)2=故選項C正確．8、設隨機變量Xi～B(i，0．1)，i=1，2，…，15，且X1，X2，…，X15相互獨立，根據(jù)切比雪夫不等式，則的值A、≥0．325．B、≤0．325．C、≥0．675．D、≤0．675．標準答案：A知識點解析：由題設知EXi=0．1i，DXi=0．09i，i=1，2，…，15，則于是由切比雪夫不等式，有故選項A正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線的全部漸近線方程是______．標準答案：x=0，y=x+知識點解析：只有間斷點于是有垂直漸近線x=0．再求其中又或于是有斜漸近線10、設u=u(x，y)滿足，則u(x，y)=______.標準答案：+c(y)e-x2，c(y)為y的任意函數(shù)．知識點解析：偏導數(shù)實質(zhì)上是一元函數(shù)的導數(shù)．當y任意給定時就是一階線性常微分方程兩邊乘e∫2xdx=ex2得(ex2u)=xex2，對x積分得ex2u=ex2+c(y)(c(y)為y的任意函數(shù))u=+c(y)e-x2.11、設有擺線L：(一π≤θ≤π)，則L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積A=______.標準答案：知識點解析：這是由參數(shù)方程給出的曲線．由于x’(θ)=1—cosθ，y’(θ)=sinθ，則按旋轉(zhuǎn)面面積計算公式，可得該旋轉(zhuǎn)面的面積12、設f(x)=(1+x+x2)esinx，則f’’(0)=______．標準答案：5．知識點解析：利用esinx=1+sinx+sin2x+o(x2)=1+x+x2+o(x2)（x→0)代入得f(x)=(1+x+x2)(1+x+x2+o(x2))=1+x+x2+x+x2+x2+o(x2)=1+2x+x2+o(x2)從而13、已知α1=(1，2，一1)T，α2=(1，一3，2)T，α3=(4，11，一6)T．矩陣A滿足Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(一3，7)T，則A=______．標準答案：知識點解析：用條件可建立一個關于A的矩陣方程：用初等變換法解此矩陣方程：14、設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)．已知X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn(n＞4)是分別來自X和Y的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量服從自由度為N的t分布，則當時，k=______．標準答案：2．知識點解析：用t分布的典型模式來確定k的值．由于又～N(0，1)且相互獨立，故由于U與V相互獨立，根據(jù)t分布的典型模式知由題設知，三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、已知極限，求常數(shù)a，b，c．標準答案：用洛必達法則．由=>b+c=0①(否則I=∞，不合題意)．繼續(xù)用洛必達法則=>=>3a一c=0②(否則I=∞，不合題意)．再用洛必達法則=>=>c=10．由①，②式=>b=一10，a=．知識點解析：暫無解析16、(I)設f(x)在(0，+∞)可導，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求證f(x)在(0，+∞)單調(diào)上升．(Ⅱ)求證：在(0，+∞)單調(diào)上升，其中n為正數(shù)．(Ⅲ)設數(shù)列，求xn．標準答案：(I)對0＜x1＜x2＜+∞，在[x1，x2]上可用拉格朗日中值定理得，ξ∈(x1，x2)∈(0，+∞)使得f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1)＞0=>f(x2)＞f(x1)=>f(x)在(0，+∞)↑．(Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-ln(nx+1)(x>0)，考察=>g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=eg(x)在(0，+∞)↑．(Ⅲ)用(Ⅱ)的結(jié)論對xn進行適當放大與縮小即由因此xn=1．知識點解析：暫無解析17、求f(x，y，z)=x+y—z2+5在區(qū)域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值與最小值．標準答案：f(x，y，z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω內(nèi)的駐點．由=1=>f(x，y，z)在Ω內(nèi)無駐點，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的邊界上達到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的邊界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在條件x2+y2+z2一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2一2)，解方程組由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．當λ=1時由①，②，得x=y=代入④得．因此得駐點P1(-1，-1，0)，P2(1，1，0)，計算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值為7，最小值為．知識點解析：暫無解析設xOy平面第一象限中有曲線Γ：y=y(x)，過點A(0，一1)，y'(x)>0．又M(x，y)為Γ上任意一點，滿足：弧段的長度與點M處Γ的切線在x軸上的截距之差為一1．18、導出y=y(x)滿足的積分、微分方程；標準答案：先求出Γ在點M(x，y)處的切線方程Y—y(x)=y’(x)(X一x)，其中(X，Y)是切線上點的坐標．在切線方程中令Y=0，得x軸上的截距又弧段的長度為∫0x，按題意得這是y(x)滿足的積分、微分方程．知識點解析：暫無解析19、導出y(x)滿足的微分方程和初始條件；標準答案：兩邊對x求導，就可轉(zhuǎn)化為二階微分方程：即又由條件及①式中令x=0得y(0)=一1，y’(0)=1．因此得y(x)滿足的二階微分方程的初值問題問題①與②是等價的．知識點解析：暫無解析20、求曲線Γ的表達式．標準答案：下面求解②．這是不顯含x的二階方程，作變換p=y’，并以y為自變量得分離變量得由y=一l時p=1=>C’=0=>改寫成將上面兩式相減=>再積分得其中．則③就是所求曲線Γ的表達式．知識點解析：暫無解析21、設矩陣已知方程組AX=β有無窮多解，求a，b應該滿足的條件．標準答案：AX=β有無窮多解，即r(A)=r(A，β)<4．｜A｜是一個范德蒙行列式，當a不是1，2，3時，其值非0，A可逆，r(A)=4，不符合條件．于是a必須取1，2或3．此時A的第4個列向量等于前3個列向量中的一個，而A的前3個列向量是線性無關的，則r(A)=3．而r(A，β)=矩陣的秩對此矩陣作初等行變換：于是r(A，β)=3的條件是b=12．知識點解析：暫無解析設22、求A的特征值．標準答案：｜λE—A｜=(λ一1+a)(λ—a)(λ一1一a)．于是A的特征值就是1—a，a，1+a．知識點解析：暫無解析23、a取什么值時，A可以相似對角化．標準答案：1—a，a，1+a中，a≠1+a，而1一a=a<=>a=1／2，1一a=1+a<=>a=0．于是當a≠0和1／2時，A的特征值1一a，a，1+a兩兩都不等，此時A可以相似對角化．如果a=0，則A的特征值為1，1，0．而r(A—E)=2，3一r(A—E)=1，于是對二重特征值1沒有兩個線性無關的特征向量，從而A不可相似對角化．如果a=1／2，則A的特征值．而于是對二重特征值沒有兩個線性無關的特征向量，從而A不可相似對角化．知識點解析：暫無解析24、有三封不同的信隨機投入編號為1，2，3，4的四個信箱中，以X表示有信的最小信箱號碼，以Y表示無信的最大信箱號碼，求X，Y的聯(lián)合概率分布．標準答案：X，Y的取值均為1，2，3，4，可利用古典概型求聯(lián)合分布，也可以先分別求出X的分布與Y的分布，即邊緣分布，再求聯(lián)合分布．我們采取直接求聯(lián)合分布．3封信投入4個信箱，共有43=64種投法．根據(jù)X，Y的含義，顯然有P{X=1，Y=1}=P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=P{X=4，Y=4}=0，P{X=3，Y=1}=0，P{X=4，Y=1}=P{X=4，Y=2}=0，P{X=2，Y=1}=P{1號信箱無信，2，3，4號信箱均有信}=P{X=3，Y=2}=P{1，2號空，3，4號有信}=，P{X=4，Y=3}=P{4號有信，1，2，3號均空}=，P{X=3，Y=4}=P{3號有信，其他均空}=，P{X=2，Y=3}=P{2，4號有信，1，3號空}=，P{X=1，Y=2}=P{1，3，4有信，2號空}=，P{X=1，Y=3}=P{1，4有信，2，3號空}+P{1，2，4有信，3號空}=，同理可以計算出把以上各數(shù)填入表中(如右表)，表中的箭頭表示我們的計算順序．知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X1～N(0，1)，i=1，2且相互獨立，令Y1=，Y2=X12+X22，試分別計算隨機變量Y1與Y1的概率密度．標準答案：因X1與X2獨立且同服從標準正態(tài)分布N(0，1)，故(X1，X2)的聯(lián)合概率密度為f(x1，x2)=當y≤0時，P{Y1≤y}=0；當y>0時，F(xiàn)Y1(y)=P{Y1≤y}==P{X12+X12≤y2}于是Y1的概率密度為f(x1，x2)=當y≤0時，F(xiàn)Y2(y)=P{Y2≤y}=0；當y>0時，F(xiàn)Y2(y)=P{Y2≤y}=P{P{x12+x22≤y}=于是Y2的概率密知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設函數(shù)f(x)連續(xù)，除個別點外二階可導，其導函數(shù)y=f’(x)的圖像如右圖(1)，令函數(shù)y=f(x)的駐點的個數(shù)為p，極值點的個數(shù)為q，曲線y=f(x)拐點的個數(shù)為r，則A、p=q=r=3．B、p=3，q=r=2．C、p=3，q=2，r=3．D、p=3，q=2，r=1．標準答案：C知識點解析：設a，b，c，d，e各點如圖，根據(jù)駐點，極值點，拐點的概念及判別法知：駐點是：x=a，c，e．因為x=a，c，e時，f’(x)=0．p=3．駐點中只有x=a，c是極值點，因為x=a，c兩側(cè)導數(shù)變號．x=e兩側(cè)導數(shù)均負，f(x)是單調(diào)下降的，x=e不是極值點．x=b是f(x)的連續(xù)而不可導點，x=b兩側(cè)的導數(shù)均正，x=b也不是f(x)的極值點．q=2．(x0，f(x0))為拐點的必要條件是：f’’(x0)=0或f’’(x0)不，即f’’(x0)時x=x0是f’(x)的駐點．x=d，e是f’(x)的駐點且這些點的兩側(cè)f’(x)的單調(diào)性相反即y=f(x)的圖形的凹凸性相反，(d，f(d))，(e，f(e))是拐點．f’’(b)不，但x=b是f(x)的連續(xù)點，x=b兩側(cè)f’(x)的單調(diào)性相反，因而(b，f(b))也是拐點．r=3．綜上分析，應選C．2、定積分∫01arctan的值等于A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：令則于是原式=故選項D正確．3、已知累次積分dθ∫0acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr,其中a>0為常數(shù)，則I可寫成A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：這是把極坐標系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oxy直角坐標系下的累次積分的問題．先將I表示成I=f(x,y)dσ．由D的極坐標表示，0≤r≤acosθ．即r2=x2+y2≤arcosθ=ax，可知D：如右圖．若是先y后x的積分順序，則D：0≤x≤a，于是故選項C正確．4、設要使得A正定，a應該滿足的條件是A、a>2．B、a≥2．C、0＜a＜2．D、a<0．標準答案：C．知識點解析：用順序主子式．A的3個順序主子式為2，4一a2，2a一a2，它們都大于0的條件是0＜a＜2．5、n維向量組(I)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βt等價的充分必要條件是A、r(I)=r(Ⅱ)，并且s=t．B、r(I)=r(Ⅱ)=n．C、r(I)=r(Ⅱ)，并且(I)可以用(Ⅱ)線性表示．D、(I)和(Ⅱ)都線性無關，并且s=t．標準答案：C知識點解析：(I)與(Ⅱ)等價的充分必要條件是r(I)=r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)．(A)缺少條件r(I，Ⅱ)=r(I)．(B)是(I)與(Ⅱ)等價的一個充分條件，但是等價并不要求向量組的秩達到維數(shù)．(D)(I)和(Ⅱ)都無關不能得到它們互相可以線性表示，例如(I)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，設β2=(0，0，0，1)．(I)和(Ⅱ)都無關，并且s=t=2，但是(I)和(Ⅱ)不等價．(C)(I)可以用(Ⅱ)線性表示，則r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)．6、設事件A，B，C是一個完備事件組，即它們兩兩互不相容且其和為Ω，則下列結(jié)論中一定成立的是A、是一個完備事件組．B、A，B，C兩兩獨立．C、A∪B與獨立．D、是兩兩對立事件．標準答案：C知識點解析：，而任何事件與概率為1的事件都獨立，因此應選C．進一步分析，由于A∪B∪C=Ω，若C≠，則A∪B≠Ω，，即相容；若C=，則C=Ω，但A與B不能都是必然事件Ω，故不能都是不可能事件，即不會兩兩互不相容，它們不能構(gòu)成一個完備事件組，也不能兩兩對立，即選項(A)、(D)均不正確．其實，用文氏圖判斷(A)、(D)不正確，更是一目了然．又因A，B，C兩兩互不相容，于是有P(AB)=P(AC)=P(BC)=0，只要A，B，C中有兩個事件的概率大于零，A，B，C就不可能兩兩獨立．因此也不能選B．7、設總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X25是取自總體X的簡單隨機樣本，為樣本均值，若P{｜X一μ｜—μ｜<π}，則a=A、π.B、5π．C、D、25π．標準答案：B知識點解析：由于X～N(μ，σ2)，故有而依題意P{｜X一μ｜一μ｜<π}故選項B正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設則xn=______．標準答案：知識點解析：簡單的放大、縮小法不能解決問題，再看xn是否是某函數(shù)在某區(qū)間上的一個積分和．這是在[0，1]上的一個積分和(將區(qū)間[0，1]n等分)．因此9、設曲線Γ的極坐標方程為r=eθ，則Γ在點處的法線的直角坐標方程是_____．標準答案：知識點解析：Γ的參數(shù)方程是點直角坐標是Γ在此點的切線的斜率為=>法線的斜率為1，因此Γ在點處的法線方程為10、已知函數(shù)y(x)可微(x>0)且滿足方程(x>0)，則y(x)=______．標準答案：知識點解析：這是含變限積分的方程．先將原方程兩邊求導，轉(zhuǎn)化為常微分方程得在原方程中令x=l得)，y(1)=1．于是原方程與初值問題等價．這是齊次方程，令分離變量得由y(1)=1得C=一1，代入11、設f(x，y)可微，f(x，x2)=1，f’(x，y)｜y=x2，則x≠0時f’y(x，x2)=______．標準答案：知識點解析：f(x，x2)是二元函數(shù)f(x，y)與一元函數(shù)x=x，y=x2復合而成的一元函數(shù)，由f(x，x2)=1及復合函數(shù)求導法得12、設實對稱矩陣要使得A的正，負慣性指數(shù)分別為2，1，則a滿足的條件是______.標準答案：a<0或>4．知識點解析：A的正，負慣性指數(shù)分別為2和1的充分必要條件是｜A｜<0(A的對角線元素有正數(shù)，不可能特征值都負)．求出｜A｜=一a2+4a，得答案．13、設隨機變量X，Y獨立同分布N(μ，σ2)，其聯(lián)合密度函數(shù)f(x，y)在(2，2)處有駐點，且f(0，0)=，則(X，Y)服從的分布是______．標準答案：N(2，2；2，2；0)．知識點解析：由于X，Y獨立同分布，故而f(x，y)在(2，2)處有駐點，可知μ=2．又即=2e2，得σ2=2．所以(X，Y)服從正態(tài)分布N(2，2；2，2；0)．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)設f(x)=∫0xdt+∫01|x2-t2|dt，x>0，14、求出積分f(x)的表達式；標準答案：由定積分的幾何意義知(這是以原點為心，半徑為x的圓在第一象限部分的面積)．再用分段積分法求f(x)表達式中的另一積分：當0＜x＜1時∫01｜x2—t2｜dt=∫0x(x2—t2)dt+∫x1(t2—x2)dt當x≥l時∫01｜x2—t2｜dt=∫01(x2—t2)dt=x2-于是知識點解析：暫無解析15、求f(x)在(0，+∞)的最小值點．標準答案：為求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先求f’(x)．由=>f(x)在而在f(x)的最小值是．故f(x)在(0，+∞)的最小值點是知識點解析：暫無解析16、(I)已知由參數(shù)方程確定了可導函數(shù)y=f(x)，求證：x=0是y=f(x)的極大值點．(Ⅱ)設F(x，y)在(x0，y0)某鄰域有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且F(x0，y0)=F′x