1.3探索三角形全等的條件課件蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊

第1章全等三角形1.3探索三角形全等的條件全等三角形的判定方法——邊角邊(SAS)全等三角形的判定方法——角邊角(ASA)全等三角形的判定方法——角角邊(AAS)全等三角形的判定方法——邊邊邊(SSS)三角形的穩(wěn)定性用尺規(guī)作角平分線和垂線直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊(HL)

一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復(fù)三角形的原貌嗎？

知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法——邊角邊(SAS)1要點(diǎn)提醒1.相等的元素：兩邊及其夾角.2.書寫順序：邊→角→邊.3.兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.例1[中考·蘭州]如圖1.3-2①是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖1.3-2②所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．解題秘方：緊扣隱含公共角證明∠BAC＝∠EAD，利用“SAS”證明△BAC≌△EAD，最后由全等三角形的性質(zhì)求解．

方法點(diǎn)撥常見的隱含等角的情況：①公共角相等；②對(duì)頂角相等；③等角加(或減)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或補(bǔ))角相等；⑤由角平分線的定義得出角相等；⑥由垂直的定義得出角相等；⑦由平行線得到同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等.

知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法——角邊角(ASA)2要點(diǎn)提醒1.相等的元素：兩角及其夾邊.2.書寫順序：角→邊→角.3.夾邊即兩個(gè)角的公共邊.

如圖1.3-4，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，則CD的長為(

)A.5.5

B.4

C.4.5

D.3例2解題秘方：解題的關(guān)鍵是由平行線得出角相等，構(gòu)造兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出線段之間的數(shù)量關(guān)系.答案：B

方法點(diǎn)撥運(yùn)用“ASA”判定兩個(gè)三角形全等，既要找邊相等，又要找角相等，除已知條件外，看缺什么條件，就去找什么條件.另外，判定兩個(gè)三角形全等后可以運(yùn)用其性質(zhì)，得出線段或角的相等關(guān)系.1.基本事實(shí)(ASA)的推論兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法——角角邊(AAS)3

3.特別解讀(1)判定兩個(gè)三角形全等的三個(gè)條件中，“邊”是必不可少的；(2)由于“角角邊”和“角邊角”是可以互相轉(zhuǎn)化的，故能用“角角邊”證明的問題，一般也可以用“角邊角”證明；(3)在運(yùn)用“ASA”和“AAS”判定時(shí)，要注意“夾邊”和“對(duì)邊”的區(qū)別.要點(diǎn)提醒1.相等的元素：兩角及其中一角的對(duì)邊；2.用判定三角形全等的方法證明三角形全等時(shí)，要注意圖形中隱含的等角.雖然已知條件無涉及，但證明中要特別注意挖掘這些重要條件.已知：如圖1.3-6，AB＝AC，AD＝AE.求證：△BOD≌△COE.例3解題秘方：找出兩個(gè)三角形中兩組等角及其中一組等角的對(duì)邊相等，利用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等.

公共角可直接寫出，對(duì)頂角也可直接寫出.

教你一招證明三角形全等時(shí)找條件的方法：證明三角形全等時(shí)，有些條件是已知的，有些條件是隱含在題設(shè)或圖形中的，比如對(duì)頂角相等、公共角、公共邊等，還有些條件是通過證明其他三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到的.

知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法——邊邊邊(SSS)4要點(diǎn)提醒1.相等的元素：三角形的三條邊；2.在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，應(yīng)把三個(gè)條件按順序排列并用大括號(hào)將其括起來；3.書寫過程中三角形邊的兩個(gè)端點(diǎn)及三角形的頂點(diǎn)前后順序要對(duì)應(yīng).已知：如圖1.3-8，AC＝BD，AD＝BC，AD、BC相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E．例4求證：(1)△ABC≌△BAD.解題秘方：緊扣“SSS”找出兩個(gè)三角形中三邊對(duì)應(yīng)相等的條件來證明△ABC≌△BAD；

(2)AE＝BE．解題秘方：緊扣全等三角形的性質(zhì)，以及垂直的性質(zhì)得出兩角相等，利用“AAS”證明兩個(gè)三角形全等可得出結(jié)論．

方法點(diǎn)撥除了題目中已知的邊相等以外，還有些相等的邊隱含在題設(shè)或圖形中.常見的有：1.公共邊相等；2.等邊加(或減)等邊，其和(或差)仍相等；3.由中點(diǎn)得出線段相等.1.三角形的穩(wěn)定性如果一個(gè)三角形三邊的長度確定，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用.2.四邊及四邊以上的圖形不具有穩(wěn)定性，為保證其穩(wěn)定，常在多邊形中構(gòu)造三角形.知識(shí)點(diǎn)三角形的穩(wěn)定性5[探究題]要使四邊形木架(用四根木條釘成)不易變形，至少要再釘上幾根木條？五邊形木架呢？六邊形木架呢？n邊形木架呢？例5解題秘方：若要使多邊形穩(wěn)定,需將它變換成若干個(gè)三角形.先畫出圖形，結(jié)合圖形分割三角形得出：四邊形：1根，五邊形：2根，六邊形：3根，由類比推理可知，n邊形：(n－3)根，如圖1.3-9所示.解：四邊形木架至少要再釘上1根木條，五邊形木架至少要再釘上2根木條，六邊形木架至少要再釘上3根木條，n邊形木架至少要再釘上(n－3)根木條.方法點(diǎn)撥本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，使問題更直觀、易懂，還運(yùn)用了從特殊到一般的思想，由四邊形、五邊形、六邊形類比推出n邊形.此題為一道規(guī)律探究題，通過觀察圖形，分析、歸納出其中的規(guī)律.1.角平分線的作法用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線.作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D.知識(shí)點(diǎn)用尺規(guī)作角平分線和垂線6

(3)作射線OM.OM就是∠AOB的平分線.(如圖1.3-10)連接CM、DM，依據(jù)作圖可知△OCM≌△ODM(SSS)，所以∠AOM＝∠BOM,所以O(shè)M平分∠AOB.2.垂線的作法過直線上一點(diǎn)作垂線1.以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，使它與直線l

交于點(diǎn)M、N.2.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C.3.作直線CP.

直線CP即為所求.如圖.續(xù)表過直線外一點(diǎn)作垂線1.以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，使它與直線l

交于點(diǎn)A、B.2.分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D.3.作直線CD.直線CD即為所求.如圖.特別解讀1.因?yàn)樗鞯拇咕€是一條直線，所以不能說成“作射線CP”或者“連接CP”.2.根據(jù)圖，連接CM、CN，可知△CMP≌△CNP(SSS)，所以∠CPM＝∠CPN.又∠CPM＋∠CPN＝180°，所以∠CPM＝∠CPN＝90°，所以直線CP

即為所求作的垂線.如圖1.3-11，已知△ABC，按下列要求作圖：(尺規(guī)作圖，保留痕跡不寫作法)例6(1)作△ABC的角平分線BE，交AC于點(diǎn)E；解題秘方：利用作角平分線的方法作圖即可；解：如圖1.3-11所示：線段BE即為所求；(2)作BC邊上的高AD，垂足為D．解題秘方：利用過直線外一點(diǎn)，作垂線的方法作圖即可.解：如圖1.3-11所示：線段AD即為所求．方法點(diǎn)撥尺規(guī)作圖要虛實(shí)分明，一般輔助性的線用虛線，要求畫出的線用實(shí)線，要保留作圖痕跡，這樣才可以體現(xiàn)出作圖的全過程.注意本題中求作的三角形的角平分線和高是線段.定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).知識(shí)點(diǎn)直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊(HL)7

3.注意點(diǎn)書寫時(shí)必須強(qiáng)調(diào)直角三角形.4.易錯(cuò)警示“HL”是判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面學(xué)習(xí)的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然適用.特別提醒1.應(yīng)用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等，在書寫時(shí)一定要加上“Rt”.2.判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法“HL”，只適用于直角三角形全等的判定，對(duì)于一般三角形不適用.已知：如圖1.3-13，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別是點(diǎn)C、D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是點(diǎn)E、F.求證：CE＝DF.例7解題秘方