概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題答案(復(fù)旦大學(xué)韓旭里)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

復(fù)旦大學(xué)

習(xí)題一

1.略.見教材習(xí)題參考答案.

2.設(shè)A,B,C為三個事件，試用4,B,C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：

(1)A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；

(2)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；

(3)A,B,C都發(fā)生；

(4)A,B,C至少有一個發(fā)生；

(5)4,B,C都不發(fā)生；

(6)A,B,C不都發(fā)生；

(7)A,B,C至多有2個發(fā)生；

(8)A,B,C至少有2個發(fā)生.產(chǎn)

【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC

(4)AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUAB~CUABC='ABC

(5)ABC=AU8UC(6)~ABC

(7)ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC^AUBUC

(8)AB\JBC(JCA^ABCUABCUABCUABC

3.Q監(jiān).見教材習(xí)題參考答案

4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且尸(4)=0.7,P(4-B)=0.3,求尸(淳-).『

【解】P(AB~)=「P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)J

=l-[0.7-0.3]=0.6

5.設(shè)Af8是兩事件,且P(A)=0.6/(5)=0.7,求:

(1)在什么條件下P(A8)取到最大值？

(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？

【解】(1)當(dāng)A8=A時，P(4B)取到最大值為0.6.

(2)當(dāng)AUB=Q時，P(AB)取到最小值為0.3.

6.設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且

第1頁共105頁1

P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率

【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(BC)-P(AC)+/>(ABC)

11113

=-+-+—___=_

443124

7.戰(zhàn)52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率

是多少？

【解】p=C5c3c3c2/C13

1313131352

&C9一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：

6)求五個人的生日都在星期日的概率；(2)求五個人的生日都不在星期日的概率;

(3)求五個人的生日不都在星期日的概率.

【解】(1)設(shè)4=｛五個人的生日都在星期日｝,基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個，故

,11

P(A/(-)5(亦可用獨(dú)立性求解，下同)

(2)設(shè)4=｛五個人生日都不在星期日｝,有利事件數(shù)為65,故

2

6s6

P(A)=_=(-)5

275'

(3)設(shè)4=｛五個人的生日不都在星期日｝

P(A)=1-P(A)=1-()

-5

3>7

9.’略.見教材習(xí)題參考答案.

10.?批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出"件(〃<N).試求其中恰有機(jī)件

(機(jī)正品(記為A)的概率.如果：

(1)〃件是同時取出的；

(2)〃件是無放回逐件取出的；

(3)”件是有放回逐件取出的.七

【解】⑴P(A)=C'"C"-"</C?

MN-MN

(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點(diǎn)總數(shù)有P"種，w次抽取中有“

N

次為正品的組合數(shù)為C"，種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正

品中取，"件的排列數(shù)有P，"種，從AHW件次品中取n-機(jī)件的排列數(shù)為P"-，"種,

MN-M

故

PmP"-〃i

P(A)nMN-M

P〃

N

由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成

C”/C，L/W

P(A)=MN-M

Cn

N

可以看出，用第二種方法簡便得多.

第2頁共105頁2

(3)由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為M種，n

次抽取中有，”次為正品的組合數(shù)為C，"種，對于固定的一種正、次品的抽取次序,

機(jī)次取得正品，都有M種取法，共有種取法，,7-機(jī)次取得次品，每次都有

N-M種取法，共有(N-M)日“種取法，故

P(A)=C，”M，，，(N-M)，，-，，，/N，，

n

M

此題也可用貝努里概型,共做了〃重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為方則取

得，〃件正品的概率為

MmM'E

P(A)=G”卡

ii.Q峰見教材習(xí)題參考答案.

12.050只鉀釘隨機(jī)地取來用在10個部件上，其中有3個鉀釘強(qiáng)度太弱.每個部件用3只鉀

釘.若將3只強(qiáng)度太弱的釧釘都裝在一個部件上，則這個部件強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一個

部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

【解】設(shè)A=｛發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱｝

尸(A)=CC/C3=1

10350I960

13.G?個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球,從中一次抽取3個,

計算至少有兩個是白球的概率.

【解】設(shè)A=｛恰有i個白球｝3=2,3),顯然4與A互斥.

/23

C=C118C34

戶廿費(fèi)P(A)=

“A3ct-35

77

22

故P(AUA)=P(A)+P(A)=—

232335

14.曹甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求:

(1)兩粒都發(fā)芽的概率；

(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；

(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.

【解】設(shè)4,=｛第，?批種子中的一粒發(fā)芽｝,(拉1,2)

(1)尸(AA)=P(A)P(A)=0.7x0.8=0.56

12I2

(2)尸(一UA)=0.7+0.8-0.7x0.8=0.94

12

(3)P(ATIUA71)=0.8x03+0.2x0.7=0.38

12i2

15.湃一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.

(1)問正好在第6次停止的概率；

(2)問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.

第3頁共105頁3

1115111

【解】(1)P=。26)2()3_=_^2)p=O(2)(2』2

15'2,232

2-5732~5

16.。甲、乙兩個籃球運(yùn)動員，投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)

相等的概率.

【解】設(shè)”｛甲進(jìn)4球｝,i=0,l,2,3,B：｛乙進(jìn)i球｝/=0,1,2,3,則

P(UAB)=(0.3)3(0.4)3+CiO.7x(0.3)2Q0.6x(0.4)2+

ii333

/=O

C2(0.7)2XO.3C2(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

33

=0.32076

17.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.

COCCO13

【解】P=l-52222=_

C421

10

18.湃地某天下雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求:

1(1)在下雨條件下下雪的概率：(2)這天下雨或下雪的概率.

【解】設(shè)4=｛下雨｝,8=｛下雪｝.

…、P(AB)0.1八、

(1)P(BA)=______=_=0.2

1P(A)0.5

(2)p(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.7

19.后知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率(小孩為男

為女是等可能的).

【解】設(shè)A=｛其中一個為女孩｝,8=｛至少有一個男孩｝,樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8,故

P(8J4)=P(AB)=6/8=6

1P(A)7787

或在縮減樣本空間中求，此時樣本點(diǎn)總數(shù)為7.

P(B|A)=；

20.公知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是

勇人的概率(假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半).

【解】設(shè)A=｛此人是男人｝,B=｛此人是色盲｝,則由貝葉斯公式

尸(AB)=P(A)P(B\A)

P(RB)=

P(B)p(A)P(B\A)+P(A)P(@A)

=0.5x0.05=20

0.5x0.05+0.5x0.00252?

21.懣人約定上午9：00-10：00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率.

第4頁共105頁4

60

30

孤

3060

題21圖題22圖

【解】設(shè)兩人到達(dá)時刻為為)，廁0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小時以上”等價于僅-\，|

>30.如圖陰影部分所示.

302_1

607~4

22.(2卷(°'D中隨機(jī)地取兩個數(shù)，求:

(1)兩個數(shù)之和小于亍的概率；

1

(2)兩個數(shù)之積小于本的概率.

【解】設(shè)兩數(shù)為卬，貝

6

(1)x+><—.

144

.于53-

P=1一上士=1—7=0.68

1125

⑵『

p=1-11dxl'dy11ln2

2

23遢P(A)=0.3,尸(3)=04,P(AB>0.5,求尸(B|AUB)

【解】P(BlAUff)=P(AB)=P(A)-P(而)

?P(AUB)P(A)+P(B)-P(AB)

=0.7-0.5=1

0.7+0.6-0.54

第5頁共105頁5

24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比

賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球

的概率.

【解】設(shè)A尸｛第一次取出的3個球中有i個新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均為新球｝

由全概率公式，有

P(5)=g3p(fi|A)P(A)

z=o

C3C3ClC2C3C2C1C3C3C3

_6_e_9_+96?_8_+96?7+=0.089

C3C3C3C3C3C3C3C3

1515151515151515

25.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)

生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：

(1)考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？

(2)考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？

【解】設(shè)4=｛被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的｝,則皿=｛被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的｝.由題意知

P(A)=0.8,P()=0.2,又設(shè)8=｛被調(diào)查學(xué)生考試及格｝.由題意知P(B|A)=0.9,

「(8IA)=05,我由貝葉斯公式知

_PaB)=P(A)P(B|A)

⑴尸('砂一P⑻P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)

=O.xO.l=0.02702

0.8x0.9+0.2x0.137

即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%

(2)P(A|B)_P?P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

4

=0.8x0」=_=0.3077

0.8xQ.l+0.2x0.9B

即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.

26.將兩信息分別編碼為A和3傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02,而

B被誤收作A的概率為0.01.信息4與B傳遞的頻繁程度為2：1.若接收站收到的信息是

A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？

【解】設(shè)4=｛原發(fā)信息是A｝,則=｛原發(fā)信息是8｝

C=｛收到信息是A｝,則=｛收到信息是團(tuán)

由貝葉斯公式，得

P(A)P(C|A)

P(A|C)-j=

P(A)P?A)+P(A)P(CA)

2/3x0.98

=0.99492

2/3x0.98+1/3x0.01

第6頁共105頁6

27.謂已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求?/p>

子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種)

【解】設(shè)A=｛箱中原有，個白球｝(/=0,1,2),由題設(shè)條件知P(A)=1,i=0,l,2.又設(shè)B=｛抽

-，3

出一球?yàn)榘浊颍?由貝葉斯公式知

P(邛尸P(d)=P")P(4)

,?⑻￡尸(B|A)尸(A)

i=0

=2/3義1/3=1

l/3xl/3+2/3xl/3+lxl/33

28G某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率

為0.02,一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品

確是合格品的概率.

【解】設(shè)A=｛產(chǎn)品確為合格品｝,B=｛產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品｝

由貝葉斯公式得

P(AB)=P(A)P(4A)

P(RB)=

P(B)p(A)P(?A)+P(A)P(B|A)

0.96x0.98

=0.998

0.96x0.98+0.04x0.05

29.湃保險公司把被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表

明；上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被

保險人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出

了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？

【解】設(shè)4=｛該客戶是“謹(jǐn)慎的”｝,B=｛該客戶是“一般的”｝,

C=｛該客戶是“冒失的"｝,｛該客戶在一年內(nèi)出了事故｝

則由貝葉斯公式得

P(A|0=P(AM=P(A)P(D|A)

P(D)P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(O|C)

=----------：——：------------=0.057

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為

'0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.

【解】設(shè)A=｛第，道工序出次品｝01,2,3,4).

I

尸(UA)=1-F\AXA'A)

/1234

/=1

=1-P(T)P(T)P(K)2田)

1234

=1-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124

31&設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概

率不小于0.9?

【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.

第7頁共105頁7

1-<0.8>>0.9

即為(0.8)，，40.1

故“Nil

至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.

32.施明：若P(A|8)=P(A|晨)，則4,B相互獨(dú)立.

【證】P(A|B)=P(A|6)即「(AB)=P(AB)

P(B)P(方)

亦即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)

P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)

因此P(AB)=P(A)P(B)

故A與B相互獨(dú)立.

111

33.白人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為「求將此密碼破譯出

的概率.

【解】設(shè)催=｛第，人能破譯)(i=l,2,3),則

i

P(UA)=1-P(J^-瓦)=1-P(A)P(A~)P(K)

..iI23I23

34(甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,050.7,若只有一人擊

中，則飛機(jī)被擊落的概率為02若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人

都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.

【解】設(shè)A=｛飛機(jī)被擊落｝,?=｛恰有i人擊中飛機(jī)｝,i=01,2,3

由全概率公式，得

P(A)=XP(A|3)P(3)

?=0

=(0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7)0.2+

(0.4x0.5x03+0.4x0,5x0.7+0.6x0.5x0.7)0.6+0.4x0.5x0.7

=0.458

35.。聞知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個病人服用,

宜規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：

(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過試驗(yàn)被否定的概率.

(2)新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.

【解】(1)P=Ya(0.35X0.65)10-1=0.5138

1io

k=0

第8頁共105頁8

(2)PG(O.25>(O.75)io-t=0.2241

210

Jt=4

36.一架升降機(jī)開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：

(1)A="某指定的一層有兩位乘客離開"；

(2)8="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”：

(3)C="恰有兩位乘客在同一層離開”；

(4)D="至少有兩位乘客在同一層離開”.

【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.

C294

(1)P(A)=^—,也可由6重貝努里模型：

10(>

19

P(A)=C2(_)2(_)4

61010

(2)6個人在十層中任意六層離開，故

P6

「出)=譚

10<>

(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有Ci種可能結(jié)果，再從

10

六人中選二人在該層離開，有C?種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的

6

情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一人在

其余8層中任一層離開，共有CiC3G種可能結(jié)果；②4人同時離開，有Ci種可能

9489

結(jié)果；③4個人都不在同一層離開，有P」種可能結(jié)果，故

9

P(Q=C1C2(C1C3C1+Cl+P4)/106

10694899

(4)D=瓦故

P6

P(D)=1-P(B)=1-肅

1U6

37.〃個朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：

(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；

(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

(3)如果”個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.

1

【解】⑴P=——

1n-1

(2)P=3!(〃-3)!,〃>3

2(〃-1)!

第9頁共105頁9

，(n-1)!3!("-2)!

(3)P=-----==---------，"23

1〃！〃2n\

38.凈線段［0,0任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率

【薜】設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由

0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由

x+y>a-x-y

x+(a~x~y)>y

y+(a-x-y)>x

構(gòu)成的圖形，即

0<x<

2

Ca

0<y<

2

^_<x+y<a

2

1

如圖陰影部分所示，故所求概率為2三.

4

39.某人有〃把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個將它們?nèi)ピ囬_(抽樣是無放回的).

證明試開％次(上1,2」“,〃)才能把門打開的概率與左無關(guān).

PA-I1

【證】p=-,k=1,2,L,n

'n

=P；

40.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出

一個，試求它有，面涂有顏色的概率P(4)(i=0,1,2,3).產(chǎn)

【解】設(shè)々=｛小立方體有i面涂有顏色｝‘i=01',2,3.

在1辛個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小

立方體共有8個.只有位于原立方體的棱上(除去八個角外)的小立方體是兩面涂色

的，這樣的小立方體共有12x8=96個.同理，原立方體的六個面上(除去棱)的小立

方體是一面涂色的，共有8x8x6=384個淇余1000-(8+96+384)=512個內(nèi)部的小立

方體是無色的，故所求概率為

512384

P(A)==0.512,P(A)=0.384,

oioooWOO

i

968

P(A)=——=0.096,P(A)=0.008.

21000=WOO

41.對任意的隨機(jī)事件A,B,C,試證

P(4B)+P(AC)-P(BC)WP(A).j「

【證】P(A)>PIA(B\JC)]=P(AB\JAC)

=P(AB)+P(AC)-P(ABC)

第10頁共105頁10

>P(AB)+P(AC)-P(BC)

第11頁共105頁10

42(牛3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率.

【解】設(shè)A=｛杯中球的最大個數(shù)為/),/=1,2,3.

將3個球隨機(jī)放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時,

每個杯中最多放一球，故

,C33!_3

P(A)=,-

I438

而杯中球的最大個數(shù)為3,即三個球全放入一個杯中，故

P(A)=S=_L

34316

、，319

因此P(A)=1-P(A)-尸(A)=1一__=_

21381616

C1C2C19

或P(A)=433=_

24316

43.1凈一枚均勻硬幣擲2〃次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解，擲2〃次硬幣，可能出現(xiàn)：4=｛正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,8=｛正面次數(shù)少于反面次數(shù)｝,

C=｛正面次數(shù)等于反面次數(shù)｝,A,B,C兩兩互斥.

可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P(A)=P(B).所以

P⑷=1^

2

由2〃重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)〃次的概手為]

P(C)=O(-)?(->

故P(A)=U1-C“_Li

22"22"

44.Q梆n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【磷】設(shè)4=｛出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,B=｛出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)｝,由對稱性知

P(A)=P(B)

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)不會相等.由尸(4)+P(B)=1得

P(A)=P(B)=0.5

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時，由上題知

1?1

P(A)=」1-C2(_)”]

2，，2

45.〃設(shè)甲擲均勻硬幣〃+1次，乙擲〃次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.

【搟】令甲=甲擲出的正面次數(shù)，甲=甲擲出的反面次數(shù).

正反

乙二乙擲出的正面次數(shù)，乙二乙擲出的反面次數(shù).

正反

顯然有

(甲乙>)—=(甲W乙)=("+1-甲乙)

正正正正反反

(甲反2+乙反)=(甲反〉乙反)

第11頁共105頁11

由對稱性知P(甲〉乙)二尸(甲〉乙)

正正反反

因此P(甲>乙)=1

正正2

46遍明“確定的原則”(Sure-thing)：若/(A|C)券尸(陰?！?川］)》P(均不)，則

P(A)》P(8).

【證】由P(A|C)3P(BQ,得

P(AC)>P(BC)

"p(cr~~p(cr,

即有P(AC)>P(BC)

同理由P(A\C)>P(B\C),

得P(AC)>P(BC),

故P(A)=P(AC)+P(AC)2P(BC)+P(BQ=P(B)

47.一列火車共有n節(jié)車廂，有&(k2〃)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至

少有一個旅客的概率.7,

【解】設(shè)A,=｛第i節(jié)車廂是空的｝,(i=1,…,〃)廁

P(A)='(n—1')*=(1-1)k

inkn

2

P(AA)=(1-->

n—1

P(AALA)=(1-)k

\S二n

其中i,i,…/是1,2,…，〃中的任，L1個.

I2n-\

顯然〃節(jié)車廂全空的概率是零，于是

S=ZP(A)=〃(1-\=Cl(1-4

可n"n

S=￡P(guān)(AA)=C2(13

2iJnn

1j￡n

s=乙P(AALA)=C.-|(1-)k

n-lHLinn

P(OA)=S-S+S-L+(-1>IS

i123n

i=l

12n

=Ci(l-_>-C2(l->+L+)人

nn〃n〃n

第12頁共105頁12

故所求概率為，C,

n12n-1

1-P(UA)=1-Ci(l-_)*+C2(l-_>-L+(-1>IC-I(1-)k

,=i'?n><n?n

48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件4出現(xiàn)的概率為e>0.試證明：不論￡>0如何小，只要不斷地獨(dú)

立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則4遲早會出現(xiàn)的概率為1.廣'

【證】

在前〃次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為

--

1(1E)?f1(〃foo)

49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只，

將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？

【解】設(shè)4=｛投擲硬幣，次都得到國徽｝

B=｛這只硬幣為正品｝

mn

由題知P(B)=,P(3)=

m+nm+n

2r

則由貝葉斯公式知

P(3|A)=P(AB)=P(8)P(A|B)

P(A)P(3)P(A|8)+P(3)P(A|B)

m1

71

-mJ+~gm+2rn

m+n2rm+n

50.巴拿赫(Banach)火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r

根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(不是發(fā)現(xiàn)空)而另一盒恰有「根的概率

又有多少？

【解】以B、B記火柴取自不同兩盒的事件，則有尸(B)=P(8)=_?_.(1)發(fā)現(xiàn)一盒己空，

?2122

另一盒恰剩r根，說明已取了方一廠次，設(shè)〃次取自B、盒(已空)，，Lr次取自§盒，

第2〃-什1次拿起戶，發(fā)現(xiàn)已空。把取2〃-r次火柴版乍2〃-r重貝努里試驗(yàn)，血所求概

率為

1111

p=2C”(_)?(_)?-<g_—C?

12n-r222n-r22r-r

式中2反映q與4盒的對稱性(即也可以是B,盒先取空).

(2)前AL二次取火柴，有e次取自B盒,次取自8盒，第2〃-r次取自B盒

12I

故概率為][]]

P=2C?-l(_)"TC"T(―)2"-rT

22n-r-12222n-r-12

51.湃〃重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.

【碎1設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由

第13頁共105頁13

(q+p)n=Copoqn+Clpqn-\+C2p2qn-2+L+Cnpnqo=1

nnnn

(q-p)n=Copo+Cipg，?-1+C2P2q〃-2-L+(—[)，?Cnp，qo

nnnn

以上兩式相減得所求概率為

〃二Clpqn-\+C3P3,"-3+|_

1nn

1

1

=-[l-(l-2P)n]

若要求在〃重貝努里試驗(yàn)中A出顰偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得

P=_[l+(l-2p)n].

22

52.設(shè)4,B是任意兩個隨機(jī)事件，求P{(A+B)(A+B)(4+B)(A+8)}的值.

【解】因?yàn)?AUB)n(TUF)=A萬U~AB

("AUB)n(AUB-)=ABUAB

所求(N+8)(A+B)(N+0)(A+E)

=[(ABU^4B)I(AB-TAB)]

=0

故所求值為0.

53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A,8和C滿足條件：

A8C=ct),P(A)=P(B)=P(C)<l/2，且P(AUBUC)=9/16,求尸(A).

【解】由P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

9

=3P(A)-3[P(A)”=_

16

1311

故P(A)=_或二,按題設(shè)P(A)<_，故P(A)

4424

54設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件4和B都不發(fā)生的概率為1/9