高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 立體幾何1（考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)自測(cè)+揭秘高考+專題集訓(xùn)）理 新人教A版

第八篇立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖【年高考會(huì)這樣考】1．考查空間幾何體三視圖的識(shí)別與判斷．2．三視圖和其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起命題．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,105)考點(diǎn)梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體①棱柱：棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多邊形．②棱錐：棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．③棱臺(tái)：棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．(2)旋轉(zhuǎn)體①圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到．②圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．③球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．2．三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．(2)三視圖的畫法①畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線．②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體得到的正投影圖．③觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．3．直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．【助學(xué)·微博】?jī)蓚€(gè)重要概念(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心．三個(gè)規(guī)則三視圖應(yīng)遵循的規(guī)則(1)畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等．(2)擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方．(3)線條的規(guī)則：可見輪廓線和棱用實(shí)線畫出，不可見輪廓線和棱用虛線畫出．考點(diǎn)自測(cè)1．下列說(shuō)法正確的是()．A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)答案D2．有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()．A．棱臺(tái)B．棱錐C．棱柱D．都不對(duì)解析從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)．答案A3．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()．A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．答案C4．(·福建)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()．A．球B．三棱錐C．正方體D．圓柱解析球、正方體的三視圖形狀都相同，大小均相等，首先排除選項(xiàng)A和C.對(duì)于如圖所示三棱錐O－ABC，當(dāng)OA、OB、OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC時(shí)，其三視圖的形狀都相同，大小均相等，故排除選項(xiàng)B.不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故答案選D.答案D5.如圖，過BC的平面截去長(zhǎng)方體的一部分，所得的幾何體________棱柱(填“是”或“不是”)．解析以四邊形A′ABB′和四邊形D′DCC′為底即知所得幾何體是直四棱柱．答案是eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,106)考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】?給出下列四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2D．3[審題視點(diǎn)]根據(jù)圓柱、棱錐、圓錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征判斷．解析①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．答案B(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是________個(gè)．解析認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③都不準(zhǔn)確，②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故也不正確，④平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確．答案4考向二空間幾何體的三視圖【例2】?(·湖南)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()．[審題視點(diǎn)]根據(jù)正視圖和側(cè)視圖相同逐一判斷．解析由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是D.答案D(1)由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，此時(shí)需要注意“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則；(2)由三視圖還原實(shí)物圖，這一題型綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)首先對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉，再?gòu)?fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的；其次，要遵循以下三步：①看視圖，明關(guān)系；②分部分，想整體；③綜合起來(lái)，定整體．【訓(xùn)練2】下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()．A．①②B．①③C．①④D．②④解析正方體的三視圖都是正方形，不合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，符合題意；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確．答案D考向三空間幾何體的直觀圖【例3】?已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()．A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2[審題視點(diǎn)]畫出正三角形△ABC的平面直觀圖△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．解析如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖．由斜二測(cè)畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.答案D對(duì)于直觀圖，除了了解斜二測(cè)畫法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝eq\f(\r(2),4)S，能進(jìn)行相關(guān)問題的計(jì)算．【訓(xùn)練3】如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是________．解析把直觀圖還原為平面圖形得：在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝eq\r(2)＋1，AD＝1，∴面積為eq\f(1,2)×(2＋eq\r(2))×2＝2＋eq\r(2).答案2＋eq\r(2)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,107)熱點(diǎn)突破17——快速突破空間幾何體三視圖的判斷【命題研究】通過近三年的高考試題分析，對(duì)空間幾何體的三視圖的判斷主要考查三個(gè)方面：(1)已知幾何體，判斷三視圖；(2)已知幾何體三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖；(3)由三視圖判斷或畫出幾何體．題型均以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大．【真題探究】?(·山東)如圖所示，長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如右圖所示；②存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正視圖，俯視圖如圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是()．A．3B．2C．1D．0[教你審題]只要想到“橫躺”的柱體，命題就不難判斷．[解法]底面是等腰直角三角形的三棱柱，當(dāng)它的一個(gè)矩形側(cè)面放置在水平面上時(shí)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此①正確；若長(zhǎng)方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩個(gè)相等的矩形，因此②正確；當(dāng)圓柱側(cè)放時(shí)(即側(cè)視圖為圓時(shí))，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此③正確．[答案]A[反思]三視圖，關(guān)鍵在“視”．要弄清楚“怎么視”，“從何角度視”，“看”到的“平面”是什么．【試一試】已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()．解析空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”，故正視圖的底面邊長(zhǎng)為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說(shuō)明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖可能是C.答案C

eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,291)A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．給出下列四個(gè)命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是 ()．A．0 B．1 C．2 D．3解析反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；③若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故③中不能組成正六棱錐；④顯然錯(cuò)誤，故選A.答案A2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 ()．A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓解析畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對(duì)于球無(wú)論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓．答案A3．(·陜西)將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(b)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 ()．解析還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線．答案B4．(·浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D解析B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)分別在邊CC1和DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故①③④錯(cuò)誤．答案②6．一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))．①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱．解析顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三棱柱的正視圖也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一側(cè)面貼在地面上，并讓其底面面對(duì)我們，如圖所示)；只要形狀合適、擺放適當(dāng)(如一個(gè)側(cè)面正對(duì)著觀察者的正四棱錐)，四棱錐的正視圖也可以是三角形(當(dāng)然，不是任意擺放的四棱錐的正視圖都是三角形)，即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐；不論四棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形(可以驗(yàn)證，隨意擺放的任意四棱柱的正視圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形)．綜上所述，應(yīng)填①②③⑤.答案①②③⑤三、解答題(共25分)7．(12分)已知：圖a是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖b是某幾何體的三視圖，試說(shuō)明該幾何體的構(gòu)成．解圖a幾何體的三視圖為：圖b所示的幾何體是上面為正六棱柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體．8．(13分)已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1解如圖所示，過內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則在軸截面中，正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h)，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·溫州質(zhì)檢)下圖是一個(gè)正方體的展開圖，將其折疊起來(lái)，變成正方體后的圖形是 ()．解析∵在這個(gè)正方體的展開圖中，與有圓的面相鄰的三個(gè)面中都有一條直線，當(dāng)變成正方體后，這三條直線互相平行，∴選B.答案B2．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是 ()．解析選項(xiàng)C不符合三視圖中“寬相等”的要求．答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖一定是菱形．以上正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤．答案①4．圖(a)為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成；圖(b)中的三視圖表示的實(shí)物為________．圖(a)圖(b)解析(1)由三視圖可知從正面看到三塊，從側(cè)面看到三塊，結(jié)合俯視圖可判斷幾何體共由4塊長(zhǎng)方體組成．(2)由三視圖可知幾何體為圓錐．答案4圓錐三、解答題(共25分)5．(12分)正四棱錐的高為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(7)，求側(cè)面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)為多少？解如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，高OS＝eq\r(3)，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，在Rt△SOA中，OA＝eq\r(SA2－OS2)＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，則E為AB中點(diǎn)．連接SE，則SE即為斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，∴SE＝eq\r(5)，即側(cè)面上的斜高為eq\r(5).6．(13分)(1)如圖1所示的三棱錐的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，那么該三棱錐的側(cè)視圖是圖2還是圖3?(2)某幾何體的三視圖如圖4，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？(3)某幾何體的三視圖如圖5，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？解(1)該三棱錐在側(cè)(右)投影面上的投影是一直角三角形，該三棱錐的側(cè)視圖應(yīng)是圖2.(2)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中OA、OB、OC兩兩垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是銳角三角形．設(shè)AO＝a，OC＝c，OB＝b，則AC＝eq\r(a2＋c2)，BC＝eq\r(c2＋b2)，AB＝eq\r(a2＋b2)，∴cos∠BAC＝eq\f(a2,\r(a2＋b2)·\r(c2＋a2))>0，∴∠BAC為銳角．同理，∠ABC、∠ACB也是銳角．綜上所述，該幾何體的面中共有三個(gè)直角三角形．(3)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，∴△ACD也是直角三角形．∴該幾何體的面中共有四個(gè)直角三角形.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.第2講空間幾何體的表面積與體積【年高考會(huì)這樣考】1．以三視圖為載體，考查空間幾何體的表面積與體積．2．利用展開圖考查空間幾何體的側(cè)面積與表面積．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,108)考點(diǎn)梳理1．柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積和表面積(1)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀名稱側(cè)面展開圖形狀側(cè)面展開圖圓柱矩形圓錐扇形圓臺(tái)扇環(huán)(2)多面體的側(cè)面積和表面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和．(3)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積①若圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．②若圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則S側(cè)＝πrl，S表＝πr(r＋l)．③若圓臺(tái)的上下底面半徑分別為r′、r，則S側(cè)＝π(r＋r′)l，S表＝π(r′2＋r′l＋rl＋r2)．④若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.2．幾何體的體積公式(1)圓柱的體積公式V＝πr2h.所有棱柱和圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為V柱＝Sh，其中S為底面積，h為高．(2)圓錐的體積公式V＝eq\f(1,3)πr2h，棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh.圓錐和棱錐的體積公式可以統(tǒng)一為V錐＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高．(3)圓臺(tái)的體積公式為V＝eq\f(1,3)π(r′2＋r′r＋r2)h，棱臺(tái)的體積公式為V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\a\vs4\al(\r(\o(\s\up7(),\s\do5(SS′))))＋S)h，圓臺(tái)和棱臺(tái)的體積公式可以統(tǒng)一為V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S′＋eq\a\vs4\al(\r(\o(\s\up7(),\s\do5(S′S))))＋S)h，其中S′、S分別為上、下底的底面積，h為高．(4)球的體積公式為V＝eq\f(4,3)πR3.【助學(xué)·微博】?jī)牲c(diǎn)提醒(1)關(guān)于公式要注意幾何體的表面積公式和體積公式中各個(gè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，不能用錯(cuò)公式．(2)關(guān)于組合體轉(zhuǎn)化對(duì)于生產(chǎn)生活中遇到的物體，可以轉(zhuǎn)化為由簡(jiǎn)單的幾何體組合而成，它們的表面積與體積可以轉(zhuǎn)化為這些簡(jiǎn)單的幾何體的表面積的和與體積的和．兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)與球有關(guān)問題的關(guān)注點(diǎn)(1)“切”“接”問題一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系．(2)特殊圖形可以用補(bǔ)圖的方法解答．考點(diǎn)自測(cè)1．圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()．A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f(2\r(3),3)πS解析設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則r＝eq\r(\f(S,π))，又h＝2πr＝2eq\r(πS)，∴S圓柱側(cè)＝(2eq\r(πS))2＝4πS.答案A2．(·湖北)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3)D．6π解析由三視圖可知該幾何體的體積V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.答案B3．(·安徽)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．解析通過三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱．所以該幾何體的表面積是2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×4＋4×5＝92.答案924．(·上海)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________．解析因?yàn)榘雸A的面積為2π，所以半圓的半徑為2，底面圓的周長(zhǎng)為2π，所以圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1，所以圓錐的高為eq\r(3)，體積為eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案eq\f(\r(3),3)π5．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O－ABCD的體積為________．解析依題意棱錐O－ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等且均為球O的半徑，如圖連接AC，取AC中點(diǎn)O′，連接OO′.易知AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝4eq\r(3)，故AO′＝2eq\r(3).在Rt△OAO′中，OA＝4，從而OO′＝eq\r(42－12)＝2.所以VO－ABCD＝eq\f(1,3)×2×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3).答案8eq\r(3)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,109)考向一幾何體的表面積【例1】?(·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()．A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．58＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)[審題視點(diǎn)]根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積．解析由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，則CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，所以AC＝eq\r(41)且S△ACD＝10.在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2eq\r(5).在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝eq\r(41).在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝AC＝eq\r(41)，則AB邊上的高h(yuǎn)＝6，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).因此，該三棱錐的表面積為S＝30＋6eq\r(5).答案B(1)若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．(2)多面積的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．【訓(xùn)練1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是()．A．372B．360C．292D．280解析由三視圖可知該幾何體是由下面一個(gè)長(zhǎng)方體，上面一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體．∵下面長(zhǎng)方體的表面積為8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面長(zhǎng)方體的表面積為8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵長(zhǎng)方體表面積重疊一部分，∴幾何體的表面積為232＋152－2×6×2＝360.答案B考向二幾何體的體積【例2】?(·山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為線段AA1，B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為________．[審題視點(diǎn)]利用等體積轉(zhuǎn)化法求解．解析因?yàn)镋點(diǎn)在線段AA1上，所以S△DED1＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，又因?yàn)镕點(diǎn)在線段B1C上，所以點(diǎn)F到平面DED1的距離為1，即h＝1，所以VD1-EDF＝VF-DED1＝eq\f(1,3)×S△DED1×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．【訓(xùn)練2】如圖，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為()．A．4eq\r(3)B．4C．2eq\r(3)D．2解析由三視圖可知此幾何體為四棱錐，高為3.所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×3＝2eq\r(3).答案C考向三與球有關(guān)的組合體【例3】?某幾何體的三視圖如下圖所示(圖中長(zhǎng)度單位：cm)，其中正視圖與側(cè)視圖相同，則該幾何體的體積為________________________________________________________________________cm3.[審題視點(diǎn)]由正視圖和側(cè)視圖知幾何體分三部分：柱、臺(tái)、球，再由俯視圖確定幾何體由圓柱、圓臺(tái)、半球組成．解析由三視圖可知，該幾何體是由圓柱、圓臺(tái)、半球組合而成，易知圓柱的底面半徑為1，高為2，圓臺(tái)的上、下底半徑分別為1、4，高為4，半球的半徑為4.∴V圓柱＝π×12×2＝2π，V圓臺(tái)＝eq\f(π,3)×(12＋42＋1×4)×4＝28π，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π.∴幾何體的體積為V＝2π＋28π＋eq\f(128,3)π＝eq\f(218,3)π(cm3)．答案eq\f(218,3)π(1)已知與球有關(guān)的組合體的三視圖，要將其還原為幾何體，對(duì)組合體的表面積和體積可以分割計(jì)算．(2)處理與幾何體外接球相關(guān)的問題時(shí)，一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱性，確定球心與幾何體的特殊點(diǎn)間的關(guān)系．解決與棱柱有關(guān)的問題時(shí)需注意運(yùn)用棱柱的體對(duì)角線即為外接球直徑這一知識(shí)．【訓(xùn)練3】已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．解析如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，由題意得πr2＝eq\f(3,16)×4πR2.∴r＝eq\f(\r(3),2)R，∴OO1＝eq\f(1,2)R.體積較小的圓錐的高AO1＝R－eq\f(1,2)R＝eq\f(1,2)R，體積較大的圓錐的高BO1＝R＋eq\f(1,2)R＝eq\f(3,2)R.故這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,110)方法優(yōu)化10——巧妙求解空間幾何體的表面積和體積【命題研究】通過近三年的高考試題分析，主要考查已知三視圖，還原幾何體，求幾何體的表面積和體積．題型為選擇題或填空題，題目難度中等．【真題探究】?(·廣東)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()．A．12πB．45πC．57πD．81π[教你審題]第1步還原幾何體，由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱和圓錐的組合體．第2步利用基本公式求解．[優(yōu)美解法]由三視圖可知，該幾何體是由底面直徑為6，高為5的圓柱與底面直徑為6，母線長(zhǎng)為5的圓錐組成的組合體，因此，體積為V＝π×32×5＋eq\f(1,3)×π×32×eq\r(52－32)＝57π.[答案]C[反思](1)對(duì)組合體的三視圖還原為幾何體的問題，要從接觸面突破；(2)對(duì)組合體的表面積、體積可以分割計(jì)算；(3)在三視圖向幾何體的轉(zhuǎn)化過程中，有關(guān)數(shù)據(jù)要正確對(duì)應(yīng)．【試一試】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別為________，________.解析由三視圖可知，該幾何體的下部是一底邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4的長(zhǎng)方體，上部為一球，球的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)．所以長(zhǎng)方體的表面積為S1＝2×2×2＋4×2×4＝40，長(zhǎng)方體的體積為V1＝2×2×4＝16，球的表面積和體積分別為S2＝4×π×12＝4π，V2＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3)，故該幾何體的表面積為S＝S1＋S2＝40＋4π，該幾何體的體積為V＝V1＋V2＝16＋eq\f(4π,3).答案40＋4π16＋eq\f(4π,3)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,293)A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·東北三校一模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()．A．2＋eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋2eq\r(3) D．4＋eq\r(3)解析依題意得，該幾何體的側(cè)視圖的面積等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).答案D2．(·湖南)設(shè)右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ()．A.eq\f(9,2)π＋12B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18解析該幾何體是由一個(gè)球與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，球的直徑為3，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π＋18.答案B3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積(單位：cm2)為()．A．48 B．64 C．80 D．120解析據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱錐(底面邊長(zhǎng)為8)，直觀圖如圖，PE為側(cè)面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5.∴此幾何體的側(cè)面積是S＝4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×8×5＝80(cm2)．答案C4．(·新課標(biāo)全國(guó))已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)解析在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，則△ABD的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，則三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于________．解析將三棱錐S－ABC補(bǔ)形成以SA、AB、BC為棱的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線SC為球O的直徑，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面積為4πR2＝4π.答案4π6．(·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.解析由三視圖可知，該幾何體是組合體，上面是長(zhǎng)、寬、高分別是6,3,1的長(zhǎng)方體，下面是兩個(gè)半徑均為eq\f(3,2)的球，其體積為6×3×1＋2×eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝18＋9π(m3)．答案18＋9π三、解答題(共25分)7．(12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，求CP＋PA1的最小值．解PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決．鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示．計(jì)算A1B＝AB1＝eq\r(40)，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．CP＋PA1≥A1C.在△AC1A1C＝eq\r(62＋\r(2)2－2·6·\r(2)·cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，故(CP＋PA1)min＝5eq\r(2).B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·哈爾濱模擬)某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析該幾何體的上下為長(zhǎng)方體，中間為圓柱．S表面積＝S下長(zhǎng)方體＋S上長(zhǎng)方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×eq\f(1,2)×1－2×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝94＋eq\f(π,2).答案C2．(·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 ()．A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·江西盟校二聯(lián))已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為________．解析借助常見的正方體模型解決．由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB1D1與面CB1D1截去兩個(gè)角所得，其表面由兩個(gè)等邊三角形、四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成．計(jì)算得其表面積為12＋4eq\r(3).答案12＋4eq\r(3)4．(·長(zhǎng)春二模)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，則以正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為頂點(diǎn)，以平面AB1D1解析設(shè)O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對(duì)角線長(zhǎng)的eq\f(1,6)，即為eq\r(3).又球的半徑是正方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為3eq\r(3)，由勾股定理可知，截面圓的半徑為eq\r(3\r(3)2－\r(3)2)＝2eq\r(6)，圓錐底面面積為S1＝π·(2eq\r(6))2＝24π，圓錐的母線即為球的半徑3eq\r(3)，圓錐的側(cè)面積為S2＝π×2eq\r(6)×3eq\r(3)＝18eq\r(2)π.因此圓錐的全面積為S＝S2＋S1＝18eq\r(2)π＋24π＝(18eq\r(2)＋24)π.答案(18eq\r(2)＋24)π三、解答題(共25分)5．(12分)(·杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.6．(13分)如圖(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖(b)所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．(1)證明在圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BC＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為eq\f(4\r(2),3).特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【年高考會(huì)這樣考】1．考查空間線面平行、垂直關(guān)系的判斷．2．考查空間線面平行、垂直關(guān)系與命題或充要條件相結(jié)合．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,111)考點(diǎn)梳理1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．(4)公理2的三個(gè)推論：推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．【助學(xué)·微博】一個(gè)理解異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線不能確定任何一個(gè)平面，因此，異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．兩種判定方法異面直線的判定方法(1)判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩直線異面．考點(diǎn)自測(cè)1．下列命題是真命題的是()．A．空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D．梯形一定是平面圖形解析空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，C錯(cuò)；故D正確．答案D2．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()．A．異面B．相交C．平行D．異面或相交答案D3．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為()．A．0B．1C．0或1D．1或3答案D4．空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β為()．A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由等角定理可知β＝60°或120°.答案D5．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)．解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對(duì))．答案24eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,112)考向一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA[審題視點(diǎn)](1)由EF∥CD1可得；(2)先證CE與D1F相交于P，再證P∈AD證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．(1)證明點(diǎn)或線共面問題，一般有兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線問題，一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．解析可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A1A和BC的中點(diǎn)為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．答案①②③考向二空間中兩直線的位置關(guān)系【例2】?如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．[審題視點(diǎn)]還原成正四面體來(lái)判斷．解析如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．【訓(xùn)練2】在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．答案②④考向三異面直線所成角【例3】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF[審題視點(diǎn)](1)把A1C1平移到底面，再連AB1(2)把A1C1平移到底面，連BD解(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°.找異面直線所成的角的方法一般有三種找法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．【訓(xùn)練3】如圖，A是△BCD平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)解如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,113)熱點(diǎn)突破18——準(zhǔn)確判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【命題研究】通過近三年的高考試題分析，主要結(jié)合線線、線面和面面平行與垂直的判定和性質(zhì)考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，題目多為中、低檔題，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．【真題探究】?(·浙江)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()．A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β[教你審題]根據(jù)空間線面、面面、平行判定性質(zhì)、垂直判定性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行判斷．注意空間位置關(guān)系的各種可能情況．[解法]若l∥α，l∥β，則α，β可能相交，故A錯(cuò)；若l∥α，則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行，又l⊥β，則m⊥β，又m?α，故α⊥β，故B對(duì)；若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C錯(cuò)；若α⊥β，l∥α，則l與β關(guān)系不確定，故D錯(cuò)．[答案]B[反思]對(duì)于空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定與應(yīng)用問題，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，特別是對(duì)于選擇題，顯得更為有效．【試一試】設(shè)m、n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，則m⊥β.其中正確命題的序號(hào)是()．A．①③B．①②C．③④D．②③解析若m?β，α⊥β，則m⊥α或m∥α，或m與α相交，故①不正確；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，則m⊥β或m?β，m∥β或m與β相交，故④不正確，故選D.答案Deq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,295)A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的 ()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析若兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行．若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)．答案A2．若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 ()．A．平行 B．異面C．相交 D．平行、異面或相交解析經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D.答案D3．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 ()．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3解析①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．答案B4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．A1、M、O三點(diǎn)共線 B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面C．A、O、C、M四點(diǎn)共面 D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面解析因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，點(diǎn)O在直線A1C上，O也是A1C的中點(diǎn)，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1、M、O三點(diǎn)共線，A正確；又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B、C正確．答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))．解析只有當(dāng)a∥b時(shí)，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯(cuò)，其余都有可能．答案①②④6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．解析直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案③④三、解答題(共25分)7．(12分)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉eq\f(1,2)AD.又BC綉eq\f(1,2)AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解由BE綉eq\f(1,2)AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綉FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面．8．(13分)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1(1)過P點(diǎn)在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說(shuō)明理由；(2)過P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使l∥B1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a)．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l(xiāng)∥直線BD.圖(a)(2)∵BD∥B1D1，∴直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)．由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，這樣的直線m有兩條．圖(b)B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·吉林一模)一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中 ()．A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項(xiàng)A、B、C不正確．∴正確選項(xiàng)為D.圖(b)中，DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60°.答案D2.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是 ()．A．45° B．60°C．90° D．120°解析如圖，連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C交BC1于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB＝BC＝AA1＝a，連接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故兩直線所成的角即為∠HGB＝60°.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3.如圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD解析法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)．如圖所示．法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．答案無(wú)數(shù)三、解答題(共25分)5．(12分)如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K，求證：M、N、K三點(diǎn)共線．證明∵M(jìn)∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，即M在面PQR與面BCD的交線l上．同理可證：N、K也在l上．∴M、N、K三點(diǎn)共線．6．(13分)在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．解(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S菱形ABCD＝2eq\r(3).∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，∴cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).即異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.第4講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)【年高考會(huì)這樣考】1．考查判定線面的位置關(guān)系．2．以多面體為載體，考查線面平行、面面平行的判定或探究．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,114)考點(diǎn)梳理1．直線與平面平行(1)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)．即：a?α，b?α，且a∥b?a∥α.其他判定方法；α∥β，a?α?a∥β.(2)性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)．即：a∥α，a?β，α∩β＝l?a∥l.2．平面與平面平行(1)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)．即：a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β.(2)性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.【助學(xué)·微博】一個(gè)轉(zhuǎn)化關(guān)系平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系兩點(diǎn)提醒(1)在推證線面平行時(shí)，必須滿足三個(gè)條件：一是直線a在已知平面外；二是直線b在已知平面內(nèi)；三是兩直線平行．(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行．考點(diǎn)自測(cè)1．若兩條直線都與一個(gè)平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是()．A．平行B．相交C．異面D．以上均有可能解析借助長(zhǎng)方體模型易得．答案D2．在空間中，下列命題正確的是()．A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行解析選項(xiàng)A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項(xiàng)B，兩個(gè)相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個(gè)平面；選項(xiàng)C，兩個(gè)相交平面可以同時(shí)垂直于同一個(gè)平面；選項(xiàng)D，正確．答案D3．(·長(zhǎng)沙模擬)若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()．A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α解析可以構(gòu)造一草圖來(lái)表示位置關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)b與α相交或b?α或b∥α?xí)r，均滿足直線a⊥b，且直線a∥平面α的情況，故選D.答案D4．(·四川)下列命題正確的是()．A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行解析A錯(cuò)誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交；B錯(cuò)誤，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中，A、B在α的同側(cè)，而點(diǎn)C在α的另一側(cè)，且AB平行于α，此時(shí)可有A、B、C三點(diǎn)到平面α距離相等，但兩平面相交；D錯(cuò)誤，如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個(gè)面相交，故選C.答案C5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE解析如圖．連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接OE，因?yàn)镺E∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,114)考向一線面平行的判定及性質(zhì)【例1】?(·遼寧)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C為直二面角，求λ的值．[審題視點(diǎn)](1)連接AB′，AC′，在△AC′B′中由中位線定理可證MN∥AC′，則線面平行可證；此問也可以應(yīng)用面面平行證明．(2)利用向量法求解．(1)證明法一連接AB′，AC′，如圖由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′中點(diǎn)．又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中點(diǎn)P，連接MP，NP，AB′，如圖，而M，N分別為AB′與B′C′的中點(diǎn)，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC，AA′為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示．設(shè)AA′＝1，則AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)，0，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)，\f(λ,2)，1)).設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(A′M,\s\up6(→))＝0，,m·\o(MN,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)x1－\f(1,2)z1＝0，,\f(λ,2)y1＋\f(1,2)z1＝0，))可取m＝(1，－1，λ)．設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(NC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(MN,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)x2＋\f(λ,2)y2－z2＝0，,\f(λ,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))可取n＝(－3，－1，λ)．因?yàn)锳′－MN－C為直二面角，所以m·n＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝eq\r(2).(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．注意說(shuō)明已知的直線不在平面內(nèi)．(2)證明直線與平面平行的方法：①利用定義結(jié)合反證；②利用線面平行的判定定理；③利用面面平行的性質(zhì)．【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC的體積．(1)證明在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G，由PA⊥平面ABCD，則EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2).∴S△ABC＝eq