高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何1（考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)自測(cè)+失分警示+專題集訓(xùn)）理 新人教A版

第九篇解析幾何第1講直線方程和兩直線的位置關(guān)系【年高考會(huì)這樣考】1．考查傾斜角的概念、傾斜角與斜率的關(guān)系及直線方程的幾種形式．2．考查由兩條直線的斜率判定兩直線平行與垂直．3．考查點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式及求解等．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,131)考點(diǎn)梳理1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.②傾斜角的范圍是[0，π)．(2)直線的斜率①定義：若直線的傾斜角θ不是90°，則斜率k＝tan_θ；②計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3.兩直線平行與垂直對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.4．距離公式(1)平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同時(shí)為0，且C1≠C2)間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【助學(xué)·微博】一條規(guī)律與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直線方程的設(shè)法：一般地，平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0；垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.兩點(diǎn)提醒(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮．(2)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線不是一般式，則應(yīng)先化為一般式．考點(diǎn)自測(cè)1．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()．A．[0，π)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.故選B.答案B2．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為()．A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3)，選B.答案B3．(·廣州調(diào)研)直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()．A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析代入驗(yàn)證可得a＝1或－2.答案D4．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析與直線2x－3y＋4＝0垂直的直線方程可設(shè)為－3x－2y＋c＝0，將點(diǎn)(－1,2)代入－3x－2y＋c＝0，解得c＝1，故直線方程為3x＋2y－1＝0.答案A5．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為________．解析直線l2的方程變?yōu)椋?x＋4y＋eq\f(1,2)＝0，則直線l1與直線l2的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,132)考向一求直線的方程【例1】?(1)已知經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為________；(2)已知兩點(diǎn)A(－1，－5)，B(3，－2)，直線l過點(diǎn)(1,1)且傾斜角是直線AB傾斜角的兩倍，則直線l的方程為________．[審題視點(diǎn)](1)設(shè)截距均為a，分a＝0或a≠0求解；(2)由兩角和的正切公式求斜率，再由點(diǎn)斜式求解．解析(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過點(diǎn)(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)kAB＝eq\f(－2＋5,3＋1)＝eq\f(3,4).設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tanθ＝eq\f(3,4)，這時(shí)直線l的傾斜角為2θ，其斜率為tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(24,7).由點(diǎn)斜式得：y－1＝eq\f(24,7)(x－1)，即24x－7y－17＝0.答案(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0(2)24x－7y－17＝0在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．【訓(xùn)練1】(1)求過點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．解(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時(shí)，直線方程為x＋2y＋1＝0.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率k＝－eq\f(2,5)，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0，綜上可知，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.考向二兩條直線的平行與垂直問題【例2】?(1)若直線l1：ax＋2y－6＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，則a＝________；(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)[審題視點(diǎn)]由兩直線平行或垂直的充要條件求解．解析(1)若a＝0或a＝1，則兩直線不平行，不符合題意，舍去．若a≠0且a≠1，則兩直線的斜率分別是－eq\f(a,2)，eq\f(1,1－a)，由兩直線平行的充要條件可得－eq\f(a,2)＝eq\f(1,1－a)且a＋1≠－3，解得a＝2或a＝－1.經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意．(2)若a＝0，B＝(1,0)，Q(0,0)，此時(shí)l1⊥l2；若a≠0，kl1＝eq\f(3a－0,1＋2)＝a，kl2＝eq\f(－2a＋1,a－0)＝eq\f(1－2a,a)，則l1⊥l2?kl1·kl2＝a×eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.綜上，a＝0或1.答案(1)2或－1(2)0或1由兩直線平行或垂直的關(guān)系求直線的方程，或求方程中的參數(shù)，首先需要考慮兩直線的斜率是否存在，若斜率都存在，則依據(jù)斜率相等或斜率乘積為－1求解；若斜率不存在，則需要注意特殊情形．【訓(xùn)練2】(1)已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則實(shí)數(shù)a＝________.(2)“ab＝4”是直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析(1)由題意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，則a＝－1.(2)由題意知兩直線的斜率都存在，故直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的充要條件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，則“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的必要不充分條件．答案(1)－1(2)C考向三距離公式的應(yīng)用問題【例3】?已知點(diǎn)A(2，－1)，(1)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．[審題視點(diǎn)](1)對(duì)直線l的斜率分存在與不存在兩種情況，再利用距離公式求解；(2)過點(diǎn)A與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)A且與AO垂直的直線；(3)利用此距離與過點(diǎn)A與原點(diǎn)的最大距離比較大小確定結(jié)論．解(1)過點(diǎn)A的直線l與原點(diǎn)距離為2，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，－1)．當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝2，此時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離為2，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時(shí)直線l的方程為3x－4y－10＝0，綜上可知：直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)過點(diǎn)A與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)A與AO垂直的直線，由l⊥AO，得klkOA＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOA)＝2，由直線的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)不存在．由(2)可知，過點(diǎn)A不存在到原點(diǎn)距離超過eq\r(5)的直線，因此不存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線．若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在．【訓(xùn)練3】已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線的方程．解法一設(shè)所求直線為l，由于l過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等，所以有兩種情況，如圖所示．當(dāng)P1，P2在l同側(cè)時(shí)，有l(wèi)∥P1P2，此時(shí)可求得l的方程為y－2＝eq\f(5－3,－4－2)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)P1，P2在l異側(cè)時(shí)，l必過P1P2的中點(diǎn)(－1,4)，此時(shí)l的方程為x＝－1.綜上，所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.法二需要討論過點(diǎn)A的直線的斜率是否存在．當(dāng)過點(diǎn)A的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，由點(diǎn)P1，P2到直線的距離相等得：eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(1,3).故所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)過點(diǎn)A的直線的斜率不存在時(shí)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2)知，過點(diǎn)A的直線為x＝－1.易得P1，P2到直線x＝－1的距離相等，故x＝－1符合題意．綜上，所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,133)熱點(diǎn)突破20——高考中兩直線的平行與垂直問題【命題研究】通過近三年的高考試題分析，對(duì)兩直線位置關(guān)系的考查主要是給定直線方程，研究?jī)蓷l直線平行、垂直、交點(diǎn)、距離等問題，有時(shí)結(jié)合充分必要條件來考查，題型為選擇題或填空題，難度不大．【真題探究】?(·浙江)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[教你審題]第1步抓住兩直線平行的條件；第2步根據(jù)充分必要定義解題．[解法]當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行；反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故選A.[答案]A[反思]對(duì)于求解兩直線平行時(shí)所含參數(shù)的取值，必須首先判斷直線的斜率是否存在，否則容易造成漏解；然后結(jié)合判斷直線平行的充要條件求解，注意要對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，判斷兩直線的截距是否相等，防止增解．【試一試】已知兩直線l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a＋1)y＋(a2＋1)＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析法一由直線l1的方程知其斜率為－eq\f(a,2)，當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l2的斜率不存在，l1與l2不垂直；當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l2的斜率為－eq\f(1,a＋1).由－eq\f(a,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a＋1)))＝－1?a＝－eq\f(2,3).故所求實(shí)數(shù)a的值為－eq\f(2,3).法二直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等價(jià)條件是A1A2＋B1B2＝0.由所給直線方程可得：a·1＋2·(a＋1)＝0?a＝－eq\f(2,3).故所求實(shí)數(shù)a的值為－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,307)A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變化時(shí)，所有直線都過定點(diǎn) A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3))解析原方程可化為(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,y＋3＝0，))解得x＝－eq\f(1,2)，y＝－3，故所有直線都過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3)).答案D2．若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 ()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析如圖，直線l：y＝kx－eq\r(3)，過定點(diǎn)P(0，－eq\r(3))，又A(3,0)，∴kPA＝eq\f(\r(3),3)，則直線PA的傾斜角為eq\f(π,6)，滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).答案B3．(·泰安一模)過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析由題意可設(shè)所求直線方程為：x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.答案A4．(·江西八所重點(diǎn)高中聯(lián)考)“a＝0”是“直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0與直線l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析當(dāng)a＝0時(shí)，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此時(shí)l1∥l2，所以“a＝0”是“直線l1與l2平行”的充分條件；當(dāng)l1∥l2時(shí)，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.當(dāng)a＝1時(shí)，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此時(shí)l1與l2重合，所以a＝1不滿足題意，即a＝0.所以“a＝0”是“直線l1∥l2”的必要條件．答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________．解析設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1. ①又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1. ②由①②可得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))由(1)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))方程組(2)無解．故所求的直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝06．(·東北三校二模)已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝________.解析由兩直線垂直的條件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)三、解答題(共25分)7．(12分)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．解(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.8．(13分)已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值．解(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3.解得λ＝2或λ＝eq\f(1,2).∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)．∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝ ()． A．4 B．6 C.eq\f(34,5) D.eq\f(36,5)解析由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5).))故m＋n＝eq\f(34,5).答案C2．(·長(zhǎng)沙模擬)若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()．A．3eq\r(2) B．2eq\r(2) C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為________．解析由題意得，eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4且c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，由兩平行線間的距離，得eq\f(2\r(13),13)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝±1.答案±14．(·鹽城檢測(cè))已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．解析直線方程可化為eq\f(x,2)＋y＝1，故直線與x軸的交點(diǎn)為A(2,0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,1)，由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，由于0≤b≤1，故當(dāng)b＝eq\f(1,2)時(shí)，ab取得最大值eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答題(共25分)5．(12分)已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且被兩條平行直線l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的線段長(zhǎng)為d.(1)求d的最小值；(2)當(dāng)直線l與x軸平行，試求d的值．解(1)因?yàn)?×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以點(diǎn)P在兩條平行直線l1，l2外．過P點(diǎn)作直線l，使l⊥l1，則l⊥l2，設(shè)垂足分別為G，H，則|GH|就是所求的d的最小值．由兩平行線間的距離公式，得d的最小值為|GH|＝eq\f(|8－－7|,\r(32＋42))＝3.(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，l的方程為y＝3，設(shè)直線l與直線l1，l2分別交于點(diǎn)A(x1,3)，B(x2,3)，則3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.6．(13分)已知直線l1：x－y＋3＝0，直線l：x－y－1＝0.若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2，求直線l2的方程．解法一因?yàn)閘1∥l，所以l2∥l，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，所以l1與l，l2與l間的距離相等．由兩平行直線間的距離公式得eq\f(|3－－1|,\r(2))＝eq\f(|m－－1|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直線l2的方程為x－y－5＝0.法二由題意知l1∥l2，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．在直線l1上取點(diǎn)M(0,3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)．把點(diǎn)M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直線l2的方程為x－y－5＝0.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.第2講圓的方程【年高考會(huì)這樣考】1．考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程及其應(yīng)用．2．考查兩圓的公共弦及與圓有關(guān)的交匯性問題等．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,134)考點(diǎn)梳理1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．②特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r＞0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.2．圓的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).故有：(1)當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓；(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)當(dāng)D2＋E2－4F3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【助學(xué)·微博】一種方法確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．兩點(diǎn)提醒(1)求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論設(shè)哪一種圓的方程都要列出關(guān)于系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程．(2)過圓外一定點(diǎn)求圓的切線，應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．三個(gè)常用性質(zhì)確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．考點(diǎn)自測(cè)1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()．A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析圓方程可化為：(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故圓心為(2，－3)．答案D2．(·大連模擬)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()．A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.答案A3．(·揭陽(yáng)模擬)若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個(gè)數(shù)為()．A．0B．1C．2D．3解析要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則應(yīng)有：a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3)，∴符合條件的a只有一個(gè)，a＝0，∴原方程只能表示一個(gè)圓．答案B4．過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析由題意得，AB的中垂線方程為y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴圓心C的坐標(biāo)為(1,1)，r2＝|AC|2＝(1－1)2＋(1＋1)2＝4，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案C5．如果三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，則它的內(nèi)切圓方程為________．解析因?yàn)槿切蜛OB是直角三角形，所以內(nèi)切圓半徑為r＝eq\f(|OA|＋|OB|－|AB|,2)＝eq\f(15＋8－17,2)＝3，圓心坐標(biāo)為(－3,3)，故內(nèi)切圓方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝9.答案(x＋3)2＋(y－3)2＝9eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,134)考向一求圓的方程【例1】?(1)已知圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0相切，則圓O的方程是________．(2)已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．[審題視點(diǎn)](1)設(shè)圓心坐標(biāo)，由直線與圓相切可求；(2)設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)可求．解析(1)設(shè)圓心為(a,0)(a<0)，則eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(5)，∴a＝－eq\r(10)，∴圓O的方程為(x＋eq\r(10))2＋y2＝5.(2)由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1.又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)，又已知圓C過點(diǎn)(1,0)，所以所求圓的半徑為2，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4.答案(1)(x＋eq\r(10))2＋y2＝5(2)(x－3)2＋y2＝4求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量；②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．【訓(xùn)練1】(1)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．(2)(·南昌質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點(diǎn)P關(guān)于直線x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則圓C的圓心坐標(biāo)為________．解析(1)設(shè)圓心C(a，b)(a>0，b>0)，由題意可得b＝1.又圓心C到直線4x－3y＝0的距離d＝eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍)．所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，所以該直線過圓心，即圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1))滿足方程x＋y－1＝0，所以－eq\f(a,2)＋1－1＝0，解得a＝0，所以圓心坐標(biāo)為(0,1)．答案(1)(x－2)2＋(y－1)2＝1(2)(0,1)考向二與圓有關(guān)的最值問題【例2】?已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[審題視點(diǎn)]根據(jù)代數(shù)式的幾何意義(斜率、直線、圓)，借助平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合求解．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖①)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖②)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖③)．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．【訓(xùn)練2】已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2).∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(n－3,m＋2)表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，則eq\f(n－3,m＋2)＝k.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).考向三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】?已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程．[審題視點(diǎn)]可以先畫出草圖，結(jié)合三角形有關(guān)知識(shí)尋找動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系，然后列式化簡(jiǎn)即可，切記動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的約束條件．解(1)法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二設(shè)AB中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑長(zhǎng)的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)(x≠3且x≠1)，y＝eq\f(y0＋0,2)，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x0，y0代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．與圓有關(guān)的軌跡問題主要是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其求解的一般步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、求解．要靈活運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)．對(duì)于“雙動(dòng)點(diǎn)”問題，即已知一動(dòng)點(diǎn)在某條曲線上運(yùn)動(dòng)而求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，通常用代入法．【訓(xùn)練3】設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況)．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,136)方法優(yōu)化12——巧設(shè)坐標(biāo)求圓的方程【命題研究】通過近三年的高考試題分析，單獨(dú)考查求圓的方程的題目較少，多數(shù)考查直線與圓的位置關(guān)系問題．題型多數(shù)是選擇題、填空題，題目難度為中等．【真題探究】?(·遼寧)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為________．[教你審題]思路1設(shè)圓的一般方程，列方程組求解；思路2設(shè)圓心坐標(biāo)，利用|CA|＝|CB|求解．[一般解法]設(shè)圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)＝0，,52＋12＋5D＋E＋F＝0，,12＋32＋D＋3E＋F＝0，))解得D＝－4，E＝0，F(xiàn)＝－6.故圓C的方程為x2＋y2－4x－6＝0.[優(yōu)美解法]設(shè)圓心C(x,0)，由|CA|＝|CB|，得eq\r(x－52＋1)＝eq\r(x－12＋9)，解得：x＝2，半徑r＝|CA|＝eq\r(10).故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.[答案](x－2)2＋y2＝10[反思]分析題目中的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，利用圓的有關(guān)性質(zhì)解題，往往方便快捷．【試一試】已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________．解析設(shè)所求圓的半徑是R，依題意得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×0－3×1－2|,\r(42＋－32))＝1，則R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝10，因此圓C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案x2＋(y－1)2＝10eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,309)A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·濟(jì)寧一中月考)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為 ()．A．－1 B．1 C．3 D．－3解析化圓為標(biāo)準(zhǔn)形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圓心為(－1,2)．∵直線過圓心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.答案B2．(·太原質(zhì)檢)設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是 ()．A．原點(diǎn)在圓上 B．原點(diǎn)在圓外C．原點(diǎn)在圓內(nèi) D．不確定解析將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因?yàn)?<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原點(diǎn)在圓外．答案B3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為 ()．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析由題意知所求圓的圓心坐標(biāo)為(0，－2)，所以所求圓的方程為x2＋(y＋2)2＝5.答案D4．(·鄭州模擬)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 ()．A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析設(shè)P(x，y)，則由題意可得：2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，化簡(jiǎn)整理得x2＋y2＝16，故選B.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5．以A(1,3)和B(3,5)為直徑兩端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)即圓的圓心坐標(biāo)為(2,4)，再由兩點(diǎn)間的距離公式得圓的半徑為eq\r(4－32＋2－12)＝eq\r(2)，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝2.答案(x－2)2＋(y－4)2＝26．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為________．解析由題意得C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即eq\f(|1－1＋4|,\r(2))－eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)三、解答題(共25分)7．(12分)求適合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解(1)法一設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．∴半徑r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－eq\f(1,3)，則AB的垂直平分線方程為3x－y－1＝0.同理得AC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(1－12＋2－122)＝10.∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.8．(13分)已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程．解(1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，∴直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①又直徑|CD|＝4eq\r(10)，∴|PA|＝2eq\r(10)，∴(a＋1)2＋b2＝40， ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·東莞調(diào)研)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為 ()．A．8 B．－4 C．6 D．無法確定解析圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6.答案C2．圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))的圓與直線l：x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，則圓C的方程為 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(5,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y＋3)2＝eq\f(5,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋3)2＝eq\f(25,4)解析法一∵圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，∴設(shè)圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝r2.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由圓方程與直線l的方程聯(lián)立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(10－4r2,5).由eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：eq\f(5,4)x1x2－eq\f(3,4)(x1＋x2)＋eq\f(9,4)＝eq\f(10－4r2,4)＋eq\f(15,4)＝0，解得r2＝eq\f(25,4)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足判別式Δ>0.故圓C的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4).法二∵圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，∴設(shè)圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝r2，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)方程所寫的圓心是正確的，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4)，故選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．已知平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．解析由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑為eq\f(|PQ|,2)＝eq\r(5)，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案(x－2)2＋(y－1)2＝54．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則d＝|PA|2＋|PB|2的最大值為________，最小值為________．解析設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＋(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，欲求d的最值，只需求u＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方的最值．圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，故d的最大值為74，最小值為34.答案7434三、解答題(共25分)5．(12分)(·大連模擬)已知圓M過兩點(diǎn)C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．解(1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根據(jù)題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解得a＝b＝1，r＝2，故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積S＝S△PAM＋S△PBM＝eq\f(1,2)|AM|·|PA|＋eq\f(1,2)|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，即S＝2eq\r(|PM|2－4).因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，所以四邊形PAMB面積的最小值為S＝2eq\r(|PM|\o\al(2,min)－4)＝2eq\r(32－4)＝2eq\r(5).6．(13分)(·南昌模擬)已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．解(1)設(shè)圓心C(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，令x＝eq\r(2)cosθ，y＝eq\r(2)sinθ，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝x＋y－2＝eq\r(2)(sinθ＋cosθ)－2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值為－4.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.第3講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【年高考會(huì)這樣考】1．考查直線與圓的相交、相切、相離和弦長(zhǎng)問題．2．考查圓與圓的位置關(guān)系．eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,136)考點(diǎn)梳理1．直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交．判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：eq\a\vs4\al(1代數(shù)法)eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交?弦長(zhǎng)|AB|＝\r(1＋k2)|x1－x2|，,Δ＝0?相切，,Δ＜0?相離.))(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d＜r?相交?弦長(zhǎng)＝2eq\r(r2－d2)，d＝r?相切，d＞r?相離．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)，則有：|C1C2|＞r1＋r2?⊙C1與⊙C2相離|C1C2|＝r1＋r2?⊙C1與⊙C2外切|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2?⊙C1與⊙C2相交|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1與⊙C2內(nèi)切|C1C2|＜|r1－r2|?⊙C1與⊙C2【助學(xué)·微博】一法巧解“相交”直線與圓相交時(shí)，適當(dāng)使用垂徑定理(半徑、半弦、弦心距滿足勾股定理)，可以減少運(yùn)算量．兩個(gè)重要結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含時(shí)：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．考點(diǎn)自測(cè)1．(·陜西)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則()．A．l與C相交B．l與C相切C．l與C相離D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能解析圓C的方程是(x－2)2＋y2＝4，∴點(diǎn)P到圓心C(2,0)的距離d＝1<2，∴點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．答案A2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()．A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，要使直線平分此圓，則直線需過圓心(1,2)．因此可通過代入法，看哪一條直線過圓心(1,2)即可．經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C滿足條件．故選C.答案C3．(·山東)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()．A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離解析兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．答案B4．(·天津)設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是()．A．[1－eq\r(3)，1＋eq\r(3)]B．(－∞，1－eq\r(3)，]∪[1＋eq\r(3)，＋∞)C．[2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)]D．(－∞，2－2eq\r(2)]∪[2＋2eq\r(2)，＋∞)解析根據(jù)直線與圓相切建立m與n的關(guān)系，再由基本不等式求解m＋n的取值范圍．由題意可得eq\f(|m＋n|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，化簡(jiǎn)得mn＝m＋n＋1≤eq\f(m＋n2,4)，解得m＋n≤2－2eq\r(2)或m＋n≥2＋2eq\r(2)，故選擇D.答案D5．若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析將圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑為1.若直線與圓無公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離大于半徑，即d＝eq\f(|3×1＋4×－2＋m|,\r(32＋42))＝eq\f(|m－5|,5)>1，∴m<0或m>10.答案(－∞，0)∪(10，＋∞)eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,137)考向一直線與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用【例1】?(1)(·重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是()．A．相離B．相切C．相交但直線不過圓心D．相交且直線過圓心(2)(·江西)過直線x＋y－2eq\r(2)＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．[審題視點(diǎn)](1)由幾何法或代數(shù)法判斷；(2)思路1：由數(shù)與形結(jié)合分析，得|OP|＝2，從而確定P為CD中點(diǎn)，然后求得點(diǎn)P.思路2：由思路1知|OP|＝2，建立方程組求解．解析(1)因?yàn)橹本€y＝kx＋1過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過圓心(0,0)，故選C.(2)法一如圖所示，|OP|＝eq\f(|OA|,sin∠OPA)＝2，易得P為CD中點(diǎn)，故P(eq\r(2)，eq\r(2))．法二設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝2，,x＋y－2\r(2)＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝\r(2)，))故P(eq\r(2)，eq\r(2))．答案(1)C(2)(eq\r(2)，eq\r(2))(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．(2)解決直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，常常借助幾何性質(zhì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想解題．【訓(xùn)練1】(1)(·東莞模擬)若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．(2)(·湖北)過點(diǎn)(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為eq\r(2)，則直線l的斜率為________．解析(1)設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，則：eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))≤1.解得：k2≤eq\f(1,3)，即－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).(2)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圓心為(1,1)，半徑r＝1.由弦長(zhǎng)為eq\r(2)得弦心距為eq\f(\r(2),2).設(shè)直線方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，化簡(jiǎn)得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝eq\f(17,7).答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))(2)1或eq\f(17,7)考向二圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用【例2】?a為何值時(shí)，圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)切．[審題視點(diǎn)](1)分別表示出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)利用兩圓心之間的長(zhǎng)度與兩圓半徑的關(guān)系求解．解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當(dāng)d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a＝－5或(2)當(dāng)1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時(shí)，兩圓相交，此時(shí)－5<a<－2或－1<(3)當(dāng)d>5，即2a2＋6a＋5>25時(shí)，兩圓外離，此時(shí)a>2或(4)當(dāng)d＝1，即2a2＋6a＋5＝1時(shí)，兩圓內(nèi)切，此時(shí)a＝－1或(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長(zhǎng)．【訓(xùn)練2】若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝________.解析兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝eq\f(1,a)，又a＞0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1?a＝1.答案1考向三直線與圓的綜合問題【例3】?如圖，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|＝2eq\r(19)時(shí)，求直線l的方程．[審題視點(diǎn)](1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求半徑；(2)應(yīng)分斜率存在與不存在情況．解(1)設(shè)圓A的半徑為R.由于圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5).∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意；②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.連接AQ，則AQ⊥MN.∵|MN|＝2eq\r(19)，∴|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，則由|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4).∴直線l：3x－4y＋6＝0.故直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.在解決直線與圓的綜合問題時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)度放在一起綜合考慮，這樣解決問題往往簡(jiǎn)便快捷．【訓(xùn)練3】在平面直