黑龍江省牡丹江市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023－2024學(xué)年度第二學(xué)期八年級期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時間90分鐘2．全卷共分三道大題，總分120分3請在答題卡上作答，在試卷上作答無效一、選擇題（每小題3分，滿分30分）1.下列根式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)二次根式滿足：①被開方數(shù)不含開的盡方的數(shù)或式；②根號內(nèi)面沒有分母．即為最簡二次根式，由此即可求解．【詳解】解：A選項：，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；B選項：，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；C選項：，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；D選項：，是最簡二次根式，故該選項符合題意；故選:D．【點睛】此題考查最簡二次根式，解題關(guān)鍵在于掌握最簡二次根式的性質(zhì)．2.下列各式中，運算正確的是（）A.＝﹣2 B.+＝ C.×＝4 D.2﹣【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法法則對B、D進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、＝2，故原題計算錯誤；B、+＝+2＝3，故原題計算錯誤；C、＝＝4，故原題計算正確；D、2和不能合并，故原題計算錯誤；故選：C【點睛】此題主要考查了二次根式的運算及性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及加減法運算法則是解題關(guān)鍵．3.下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A.， B.C. D.，【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項A符合題意；B、，，四邊形是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、，，四邊形是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由，，四邊形是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：A．4.下列命題的逆命題是真命題的是（）A.對頂角相等 B.等邊三角形是銳角三角形C.矩形的對角線相等 D.平行四邊形的對角線互相平分【答案】D【解析】【分析】本題考查命題，涉及逆命題、命題真假的判斷，由對頂角判定、等邊三角形判定、矩形的判定及平行四邊形的判定逐項驗證即可得到答案，熟記相關(guān)幾何判定及逆命題的寫法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，是假命題，不符合題題意；B、等邊三角形是銳角三角形的逆命題是：銳角三角形是等邊三角形，是假命題，不符合題題意；C、矩形的對角線相等的逆命題是：對角線相等的四邊形是矩形，是假命題，不符合題題意；D、平行四邊形的對角線互相平分的逆命題是：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，符合題題意；故選：D．5.如圖：在中，平分，平分，且交于M，若，則等于（）A.75 B.100 C.120 D.125【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定以及勾股定理的運用等知識點，根據(jù)角平分線的定義推出為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求得，進(jìn)而可求出的值，解題的關(guān)鍵是首先證明出為直角三角形．【詳解】∵平分，平分，∴，，即，∴為直角三角形，又∵，平分，平分，∴，，∴，，由勾股定理可知．故選：B．6.如圖，在矩形中，點的坐標(biāo)是，則的長是（）A.3 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了矩形性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，過作軸于，由矩形的性質(zhì)得，再由點的坐標(biāo)得，，然后由勾股定理求出的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，過作軸于，四邊形是矩形，，點的坐標(biāo)是，，，，，故選：C7.已知，且，化簡二次根式的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次根式化簡與性質(zhì)，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，以及，可得，再化簡即可，【詳解】解：有意義，且，，故選：A8.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長為（）A.8 B.8 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．【詳解】解：如圖，連接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°，∵FC=2，∴BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB=＝＝6，故選D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，于點，于點，是的中點，連接，設(shè)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直的定義得到∠ADB=∠BEA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=DF，BF=EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D；∴∠ADB=∠BEA=90°，∵點F是AB的中點，∴AF=DF，BF=EF，∴∠DAF=∠ADF，∠EBF=∠BEF，∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，∴，故選A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，平行四邊形的對角線，相交于點O，平分，分別交，于點E，P，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，正確的個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】①先根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得：，則，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：，，根據(jù)勾股定理計算，的長，即可求的長；③因為，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理可作判斷；⑤由求解，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：①∵平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確；②∵，，∴，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；③由②知：，∴，故③正確；④由②知：是的中位線，∴，∵，∴，故④正確；⑤∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，故⑤錯誤；本題正確的有：①②③④，共4個，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．二、填空題（每小題3分，共30分）11.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．【答案】且##且【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0，分式的分母不為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴且；∴x的取值范圍是且；故答案為：且．【點睛】本題考查代數(shù)式有意義．熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于0，分式的分母不為0，是解題的關(guān)鍵．12.如圖，已知四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點O，，添加一個條件______，使四邊形ABCD為平行四邊形（填一個即可）．【答案】AD＝BC（答案不唯一）【解析】【分析】由條件可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定添加條件即可．【詳解】解：∵，∴，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．故答案為：AD＝BC（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．13.已知的三邊長分別為、、，且、、滿足，則的形狀是________三角形．【答案】直角【解析】【分析】已知等式前三項利用完全平方公式變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理即可確定出三角形ABC為直角三角形．【詳解】解：∵,∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC為直角三角形．故答案為直角.【點睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．14.計算：_____________．【答案】##【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和平方差公式，分子分母同時乘以即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查分母有理化，掌握分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和平方差公式進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在矩形中，，動點P滿足，則點P到A、B兩點距離之和的最小值為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理．明確線段和最小的情況是解題的關(guān)鍵．如圖，作于，則，由，可得，即在距離為2的直線上運動，如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，由，可知當(dāng)三點共線時，最小，為，根據(jù)勾股定理求即可．【詳解】解：如圖，作于，∴，∵，∴，解得，，∴在距離為2的直線上運動，如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，∴，∴當(dāng)三點共線時，最小，為，由勾股定理得，，故答案為：．16.如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點D為AB的中點，則線段CD的長為________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，，，，∵，∴△ABC是直角三角形，∵點D為AB的中點，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，判斷出△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．17.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_____.【答案】或【解析】【分析】分兩種情況：當(dāng)∠C=90°或∠B=90°時，設(shè)a=2x,b=3x，運用勾股定理求出x的值即可得到答案.【詳解】分兩種情形：情形1，當(dāng)∠C=90°時，設(shè)a=2x，b=3x，∵，∴解得，，∴；情形2，當(dāng)∠B=90°時，設(shè)a=2x,b=3x，∵，∴解得，，∴；故答案為：或.【點睛】本題考查勾股定理的運用，關(guān)鍵是找到斜邊，直角邊，根據(jù)勾股定理求解．18.如圖，在四邊形中，，，M為中點，動點P從點B出發(fā)沿向終點C運動，連接，取中點N，連接，則線段的最小值為________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是三角形中位線定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，過點D作于E，根據(jù)垂線段最短得到點P與點E重合時，最小，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案．【詳解】解：過點D作于E，則當(dāng)點P與點E重合時，最小，在中，，則，∵M(jìn)為中點，N是中點，∴，∴線段的最小值為，故答案為：．19.在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝，則?ABCD的周長等于_____．【答案】20或12##12或20【解析】【分析】過點A作AE⊥BC于E，連接AC，如圖1，勾股定理求出EC，BE的長，得到BC即可求出的周長；如圖2，過點A作AE⊥BC，交BC的延長線于E，連接AC，勾股定理求出EC，BE的長，得到BC即可求出的周長．【詳解】解：過點A作AE⊥BC于E，連接AC，如圖1，∵在?ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=2+3=5，∴的周長=2（AB+BC）=20；如圖2，過點A作AE⊥BC，交BC的延長線于E，連接AC，∵在?ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=BE-EC=3-2=1，∴的周長=2（AB+BC）=12；故答案為：20或12．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握勾股定理的計算方法是解題的關(guān)鍵，注意應(yīng)根據(jù)平行四邊形的形狀分類討論．20.在矩形中，點G在邊上，，邊BC上有一點H，將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，若點A、和三個點恰好在同一條直線上時，的長為______．【答案】7或1##1或7【解析】【分析】分兩種情況，分別畫出圖形，再根據(jù)勾股定理和線段的和差線即可解答．【詳解】解：①如圖：當(dāng)點A、和共線時，∵將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，∴，，∴，在中，，∴；②如圖：當(dāng)點A、和共線時，∵將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，∴，，∴，在中，，∴．綜上，的長為7或1．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題、勾股定理等知識點，根據(jù)題意、準(zhǔn)確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（滿分60分）21.計算（1）；（2）；（3）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）－4（2）（3），【解析】【分析】（1）由二次根式乘法運算先展開，再利用二次根式性質(zhì)化簡，最后運用二次根式加減運算求解即可得到答案；（2）由二次根式除法運算、完全平方差公式先計算，再由二次根式加減運算求解即可得到答案；（3）先計算括號內(nèi)的異分母分式加法，再因式分解，利用分式乘法運算法則化簡后代值求解即可得到答案．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查二次根式混合運算及分式化簡求值，涉及二次根式加減乘除運算、二次根式性質(zhì)、完全平方差公式、分式混合運算等知識，熟記二次根式混合運算及分式化簡求值是解決問題的關(guān)鍵．22.已知平形四邊形中，于，于．（1）如圖1，求證：四邊形為矩形．（2）如圖2，連接分別交于兩點，請直接寫出圖中的所有平行四邊形．【答案】（1）見解析（2）四邊形FDEB、四邊形ABCD、四邊形AECF、四邊形MFNE．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及垂直的定義即可得出，再根據(jù)四個角為直角的四邊形為矩形即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)即可判定所有的平行四邊形．【小問1詳解】證明：四邊形ABCD為平行四邊形于，于四邊形為矩形【小問2詳解】由（1）可知：四邊形AECF矩形，在平行四邊形ABCD中，四邊形FDEB是平行四邊形四邊形MFNE是平行四邊形由（1）及題意可知：四邊形ABCD、AECF為平行四邊形圖中所有的平行四邊形為：四邊形FDEB、四邊形ABCD、四邊形AECF、四邊形MFNE．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、矩形的判定定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23.矩形中，，E為邊的中點，P為邊上的點，且是腰長為5的等腰三角形，請你畫出圖形，直接寫出線段長．【答案】畫圖見解析，或5或【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義，化為最簡二次根式，等知識點，正確作圖并掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．首先計算出的長，再分三種情況：①如圖1，時；②如圖2，時；③如圖3，且為鈍角三角形時分別計算出的長即可．【詳解】解：∵，E為邊的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，①如圖1，時，過點P作于F，則，，根據(jù)勾股定理，，∴；∴；②如圖2，當(dāng)時，此時，③如圖3，且為鈍角三角形時，過點P作于F，根據(jù)勾股定理：，∴，∴；綜上所述，的長為或5或．如圖，在平行四邊形中，．分別以、為邊向外作和，使，延長交邊于點H，點H在E、C兩點之間，連結(jié)、．24.（1）求證：．25.（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】24.證明見解析；25.【解析】【分析】（1）由四邊形是平行四邊形，可得，，，又由，，，即可證得，，，則可證得結(jié)論；（2）由，可得，又由，，即可求得，繼而求得答案．【24題詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，，，∴，，，在和中，，∴，【25題詳解】∵，∴∵，∴，∴．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得，，是關(guān)鍵．26.綜合與實踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識．實踐操作：如圖1，在矩形紙片ABCD中，．第一步：如圖2，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．第二步：如圖3，再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM．同時，得到了線段BN．解決問題（1）在圖3中，EN與AB的關(guān)系是________．________cm．（2）在圖3中，連接AN，試判斷的形狀，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）已知，在矩形ABCD中，，，點P在邊AD上，將沿著BP折疊，若點A的對應(yīng)點恰落在矩形ABCD的對稱軸上，則________cm．【答案】（1）EN垂直平分AB，；（2）△ABN為等邊三角形，證明見解析；（3）4cm或cm．【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解；（2）由折疊的性質(zhì)可得AB=BN，由線段中垂線的性質(zhì)可得AN=BN，可得結(jié)論；（3）根據(jù)點A的對應(yīng)點恰落在矩形ABCD的對稱軸，分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解．【小問1詳解】解：∵對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，∴AE=BE=2cm，AB⊥EF，∴EN垂直平分AB，由折疊可得：cm，∴在Rt△BEN中，（cm）；故答案為：EN垂直平分AB，