新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第9章　§9.2　用樣本估計(jì)總體（原卷版）

§9.2用樣本估計(jì)總體考試要求1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度．知識(shí)梳理1．百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．3．方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).4．總體(樣本)方差和總體(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差(1)一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常用結(jié)論2．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變．3．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位．()(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．()(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．()教材改編題1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為()A．2B．4C．6D．82．某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為()A．88.5B．89C．91D．89.53．某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，則中位數(shù)為_(kāi)_______．題型一樣本的數(shù)字特征和百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?2,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為()A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85延伸探究本例中，第70百分位數(shù)是多少？(2)(多選)下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測(cè)值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是()A．極差 B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．平均數(shù)思維升華計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為()A．102B．103C．109.5D．116(2)(多選)冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)．自1924年起，每四年舉辦一屆.2022年2月在北京舉辦了第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了宣傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲、乙兩個(gè)社團(tuán)，利用一周的時(shí)間對(duì)外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線(xiàn)圖，則()A．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)B．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差C．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)D．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差題型二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例2為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對(duì)中國(guó)共產(chǎn)黨的熱愛(ài)，某學(xué)校舉辦了一場(chǎng)黨史競(jìng)賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)．為了解本次競(jìng)賽活動(dòng)的成績(jī)，從中抽取了50名學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)，滿(mǎn)分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的成績(jī)都不低于60分，將這50名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)進(jìn)行分組，第一組[60,70)，第二組[70,80)，第三組[80,90)，第四組[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)的平均數(shù)．若對(duì)成績(jī)不低于平均數(shù)的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．思維升華頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和．跟蹤訓(xùn)練2治理沙漠化離不開(kāi)優(yōu)質(zhì)的樹(shù)苗，現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測(cè)了200株樹(shù)苗的高度(單位：cm)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù)；(2)若樹(shù)苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格樹(shù)苗．從樣本中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20株樹(shù)苗作進(jìn)一步研究，不合格樹(shù)苗、合格樹(shù)苗分別應(yīng)抽取多少株？題型三總體離散程度的估計(jì)例3某廠(chǎng)研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下．舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．思維升華總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。櫽?xùn)練3甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．課時(shí)精練1．為做好疫情防控工作，某校堅(jiān)持落實(shí)“雙測(cè)溫兩報(bào)告”制度，以下是某宿舍6名學(xué)生某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6(單位：℃)，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為()A．36.7B．36.6C．36.5D．36.42．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為2，方差為eq\f(1,2)，則另一組數(shù)據(jù)3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均數(shù)、方差分別為()A．2，eq\f(1,2)B．2,1C．4，eq\f(3,2)D．4，eq\f(9,2)3．(多選)成立時(shí)間少于10年、估值超過(guò)10億美元且未上市的企業(yè)稱(chēng)為獨(dú)角獸企業(yè).2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)分布較廣泛、覆蓋居民生活的各個(gè)方面．如圖為2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100的行業(yè)分布圖，在中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，京、滬、粵三地的企業(yè)數(shù)量共同占比達(dá)到70%.下列說(shuō)法正確的是()A．隨著智能出行與共享經(jīng)濟(jì)觀念的普及，汽車(chē)交通行業(yè)備受投資者關(guān)注B．在該TOP100榜單中獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的中位數(shù)是3C．在中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，京、滬、粵三地的企業(yè)超過(guò)82家D．2022年中國(guó)新經(jīng)濟(jì)獨(dú)角獸企業(yè)TOP100榜單中，企業(yè)服務(wù)、汽車(chē)交通、先進(jìn)制造行業(yè)的企業(yè)數(shù)量共同占比超過(guò)30%4．(多選)習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持健康第一的教育理念，加強(qiáng)學(xué)校體育工作，推動(dòng)青少年文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展．某學(xué)校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生每周在校體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：分組[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]頻率0.250.300.200.25則下列關(guān)于高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的說(shuō)法中正確的是()A．眾數(shù)約為2.5B．中位數(shù)約為3.83C．平均數(shù)為3.95D．第80百分位數(shù)約為5.25．(多選)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在國(guó)家體育場(chǎng)鳥(niǎo)巢舉行了盛大開(kāi)幕式．在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績(jī)滿(mǎn)分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)()A．b的值為0.25B．候選者面試成績(jī)的中位數(shù)約為69.4C．在被抽取的候選者中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[65,75)之間的候選者有30人D．估計(jì)候選者的面試成績(jī)的平均數(shù)約為69.56．根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①，②，③，④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)eq\x\to(x)<4；②平均數(shù)eq\x\to(x)<4且極差小于或等于3；③平均數(shù)eq\x\to(x)<4且標(biāo)準(zhǔn)差s≤4；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4.則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有()A．1組B．2組C．3組D．4組7．電影《長(zhǎng)津湖》點(diǎn)燃了人們心中對(duì)英雄的崇敬之情，也更加顯示出如今和平生活的來(lái)之不易．某影院記錄了觀看此片的70位觀眾的年齡，其中年齡位于區(qū)間[10,20)內(nèi)的有10位，位于區(qū)間[20,30)內(nèi)的有20位，位于區(qū)間[30,40)內(nèi)的有25位，位于區(qū)間[40,50]內(nèi)的有15位，則這70位觀眾年齡的眾數(shù)的估計(jì)值為_(kāi)_______．8．已知某樣本數(shù)據(jù)分別為1,2,3，a,6，若樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，則樣本方差s2＝________.9．某學(xué)校對(duì)高一某班的同學(xué)進(jìn)行了身高(單位：cm)調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(除最后一組為閉區(qū)間外其余每組為左閉右開(kāi)區(qū)間)，畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求m的值；(2)估計(jì)全班同學(xué)身高的中位數(shù)；(3)估計(jì)全班同學(xué)身高的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．10．對(duì)參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名選手的初賽成績(jī)(滿(mǎn)分：100分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)直方圖完成以下表格；成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)(2)求參賽選手初賽成績(jī)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復(fù)賽，那么如何確定進(jìn)入復(fù)賽的選手成績(jī)？11．某校排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動(dòng)作組織了墊排球比賽，以下為根據(jù)排球社50位同學(xué)的墊球個(gè)數(shù)畫(huà)的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在5～40之間．估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是()A．17.5B．18.75C．27D．2812．若等差數(shù)列{xn}的公差為3，則x1，x2，x3，…，x9的方差為_(kāi)______