新高考數(shù)學一輪復習講義第7章　§7.2　球的切、接問題培優(yōu)課（原卷版）

§7.2球的切、接問題球的切、接問題，是歷年高考的熱點內容，經常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關鍵點是確定球心．題型一定義法例1(1)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P－ABC外接球的表面積是()A．14πB．16πC．18πD．20π(2)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可．跟蹤訓練1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)題型二補形法例2(1)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內切球半徑r的比值為()A.2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．思維升華(1)補形法的解題策略①側面為直角三角形，或對棱均相等的模型和正四面體，可以還原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接問題的常用結論正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟蹤訓練2(1)在三棱錐A－BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π(2)已知三棱錐P－ABC的每條側棱與它所對的底面邊長相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為________．題型三截面法例3(1)四棱錐P－ABCD的頂點都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．20πD．32π(2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3思維升華(1)與球截面有關的解題策略①定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；②作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長)．跟蹤訓練3(1)半球內放三個半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3)B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7)D.eq\r(3)＋eq\r(7)(2)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π課時精練1．已知一個棱長為2的正方體的頂點都在某球面上，則該球體的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)πB．4eq\r(3)πC．8πD．12π2．已知在三棱錐P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π3．(多選)已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，點D為AB的中點，過點D作球O的截面，則截面的面積可以是()A.eq\f(π,2)B．πC．9πD．13π4．若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為()A．πB．2πC．3πD．4π5．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側棱與底面垂直，一個體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是()A．6eq\r(3)B．12eq\r(3)C．18eq\r(3)D．24eq\r(3)6．(多選)已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說法中正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)7.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為1，則該多面體外接球的體積為()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8\r(2),3)πC．4πD．8π8．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)9.如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，表面積為S1，球O的體積為V2，表面積為S2，則eq\f(V1,V2)＝________，eq\f(S1,S2)＝________.10．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，