新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.3　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（原卷版）

§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題．知識(shí)梳理1．基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l無(wú)數(shù)個(gè)5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).常用結(jié)論1．過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(4)兩兩相交的三條直線共面．()教材改編題1．(多選)如圖是某正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BM成60°角C．CN與BE是異面直線D．DM與BN是異面直線2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．題型一基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過(guò)()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M(2)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？題型二空間位置關(guān)系的判斷命題點(diǎn)1空間位置關(guān)系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合(2)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面命題點(diǎn)2異面直線所成的角例3(1)如圖所示，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點(diǎn)，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(3\r(35),35)B.eq\f(4\r(35),35)C.eq\f(3\r(7),14)D.eq\f(2\r(7),7)(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E為BB1上一點(diǎn)，平面AEC1將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則AE與B1C1所成角的余弦值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,3)思維升華(1)點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長(zhǎng)方體、正方體)模型來(lái)判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16)D.eq\f(\r(11),3)(3)平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)題型三空間幾何體的切割(截面)問(wèn)題例4(1)(多選)用一個(gè)平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結(jié)論正確的是()A．這兩部分的表面積一定不相等B．截面不會(huì)是三角形C．截面不會(huì)是五邊形D．截面可以是正六邊形(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．思維升華(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和C1C上(異于端點(diǎn))，則過(guò)三點(diǎn)A，F(xiàn)，E的平面被正方體截得的圖形(截面)可能是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)_______．課時(shí)精練1．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則()A．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B．直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．直線上所有點(diǎn)都在平面外D．直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)2．(多選)下列命題中不正確的是()A．空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線B．空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)不共面D．空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面3．已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關(guān)系()A．兩兩垂直 B．兩兩平行C．兩兩相交 D．兩兩異面4．在底面半徑為1的圓柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線5.如圖，已知四面體ABCD的各條棱長(zhǎng)均等于4，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()A．3eq\r(2) B．4C．4eq\r(2) D．66．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)7.如圖為四棱錐A－DEFG的側(cè)面展開(kāi)圖(點(diǎn)G1，G2重合為點(diǎn)G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出四棱錐A－DEFG中一對(duì)一定相互垂直的異面直線________．(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形)8.如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直．則這兩個(gè)四棱柱的表面相交的交線段總長(zhǎng)度為_(kāi)_______．9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．10.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．11．(多選)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，則()A．AB⊥CDB．三棱錐A－BCD的體積為eq\f(2,3)C．三棱錐A－BCD外接球半徑為eq\r(6)D．異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)12.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點(diǎn)，若AB＝6，則過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的截面的面積為()A．9eq\r(2)B．18eq\r(2)C.eq\f(21\r(17),2)D.eq\f(27\r(17),2)13．如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，則AB與CD所成角的大小為_(kāi)_______．14．已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，BC＝4，則：(1)球O的表面積為_(kāi)_______；(2)若D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，