2024秋高中數(shù)學(xué)模塊綜合評價(jià)一達(dá)標(biāo)檢測含解析新人教A版必修5

PAGE11-模塊綜合評價(jià)(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若a＞b，則下列正確的是()A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c＞bcC．a(chǎn)c2＞bc2 D．a(chǎn)－c＞b－c解析：A選項(xiàng)不正確，因?yàn)槿鬭＝0，b＝－1，則不成立；B選項(xiàng)不正確，c≤0時(shí)不成立；C選項(xiàng)不正確，c＝0時(shí)不成立；D選項(xiàng)正確，因?yàn)椴坏仁降膬蛇吋由匣蛘邷p去同一個(gè)數(shù)，不等號的方向不變．答案：D2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．30°解析：因?yàn)锳＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)閍＞b，所以A＞B，所以B＝45°.答案：C3．已知數(shù)列{an}，{bn}滿意an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋lneq\f(n＋1,n3)(n∈N*)，a1＋b1>0.給出下列四個(gè)命題，其中的真命題是()A．?dāng)?shù)列{an－bn}單調(diào)遞增B．?dāng)?shù)列{an＋bn}單調(diào)遞增C．?dāng)?shù){an}從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增D．?dāng)?shù)列{bn}從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增解析：因?yàn)閍n＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋lneq\f(n＋1,n3)，所以an＋1－bn＋1＝an－bn－lneq\f(n＋1,n3)，當(dāng)n＝1時(shí)，a2－b2＝a1－b1－ln2，所以a2－b2<a1－b1，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)＋lneq\f(n＋1,n3)，an＋1＋bn＋1－ln(n＋1)＝3(an－bn－lnn)，所以{an＋bn－lnn}是等比數(shù)列，an＋bn＝(a1＋b1)·3n－1＋lnn，所以B項(xiàng)正確；an＋1＝2an＋bn＝an＋lnn＋(a1＋b1)·3n－1，故an＋1－an＝lnn＋(a1＋b1)3n－1>0，C項(xiàng)正確；因?yàn)閎n＋1＝bn＋an＋bn＋lneq\f(n＋1,n3)，所以bn＋1－bn＝ln(n＋1)－2lnn＋(a1＋b1)3n－1，依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，知數(shù)列從某一項(xiàng)以后單調(diào)遞增，所以D項(xiàng)正確．答案：BCD4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,x＋1)))＞0))，則M∩N＝()A．{x|x＜－2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＜－2或x＞3}D．{x|x＞3}解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．又eq\f(3－x,x＋1)＞0，得－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}；所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．答案：B5．下列各函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D．y＝x－2eq\r(x)＋3解析：A中，當(dāng)x<0時(shí)，y<0，不合題意；B中，y＝sinx＋eq\f(1,sinx)≥2，等號成立時(shí)，sinx＝eq\f(1,sinx)，即sinx＝1，與x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))沖突；C中，y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))≥2，等號成立時(shí)，eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，得x2＝－1，不合題意；D中，y＝(eq\r(x)－1)2＋2≥2.答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若acosB＝bcosA，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：因?yàn)閑q\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以acosB＝bcosA變形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0.又A和B都為三角形的內(nèi)角，所以A－B＝0，即A＝B，則△ABC為等腰三角形．答案：A7．若實(shí)數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤3，,x＋y≥1，))則S＝2x＋y－1的最大值為()A．6 B．4C．3 D．2解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(如圖陰影部分)，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過圖中點(diǎn)(2，3)時(shí)取得最大值6.答案：A8．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8＝32，則S10等于()A．18 B．24C．60 D．90解析：因?yàn)閍4是a3與a7的等比中項(xiàng)，所以aeq\o\al(2,4)＝a3a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①又因?yàn)镾8＝8a1＋eq\f(56,2)d＝32，整理得2a1＋7d＝8.②由①②聯(lián)立，解得d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋eq\f(90,2)d＝60.答案：C9．在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≤－3|x|＋1))所表示的平面區(qū)域的面積為()A．eq\r(2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(3\r(2),2) D．2解析：該不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，可求得A(0，1)，B(0，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，D(－1，－2)，所以S△ACD＝S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)·|AB|·|xD|＋eq\f(1,2)|AB|·|xC|＝eq\f(3,2).答案：B10．關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的有()A．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c為常數(shù))則數(shù)列{an}為等差數(shù)列B．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－2，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍為等比數(shù)列解析：依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A項(xiàng)，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn＋c，若c＝0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若c≠0，則數(shù)列{an}從其次項(xiàng)起為等差數(shù)列，故A項(xiàng)不正確；對于B項(xiàng)，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－2，可得a1＝4－2＝2，a2＝S2－S1＝8－2－2＝4，a3＝S3－S2＝16－2－6＝8，則a1，a2，a3成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}不為等差數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；對于C項(xiàng)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，即為a1＋a2＋…＋an，an＋1＋…＋a2n，a2n＋1＋…＋a3n，…，即為S2n－Sn－Sn＝S3n－S2n－(S2n－Sn)＝n2d為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不肯定為等比數(shù)列，比如公比q＝－1，n為偶數(shù)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，均為0，不為等比數(shù)列．故D項(xiàng)不正確．答案：ABD11．一輪船從A點(diǎn)沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C，若此輪船從A點(diǎn)干脆沿直線行駛至海島C，則此船沿________方向行駛________海里至海島C.()A．北偏東50°；10eq\r(2) B．北偏東40°；10eq\r(3)C．北偏東30°；10eq\r(3) D．北偏東20°；10eq\r(2)解析：由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以從A到C的航向?yàn)楸逼珫|＝102＋102－2×10×10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝300，所以AC＝10eq\r(3).答案：B＝4，A＝eq\f(π,3)，則該三角形面積的最大值是()A．2eq\r(2) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時(shí)取等號，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(1,2)×16×sineq\f(π,3)＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若△ABC的內(nèi)角A滿意sin2A＝eq\f(2,3)，則sinA＋cosA＝________．解析：由sin2A＝2sinAcosA＞0，可知A是銳角，所以sinA＋cosA＞0，又(sinA＋cosA)2＝1＋sin2A＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).答案：eq\f(\r(15),3)14．已知a＜b∈R，且ab＝50，則|a＋2b|的最小值為_______．解析：因?yàn)閍b＝50＞0，所以a、b同號，從而|a＋2b|＝|a|＋2|b|≥2eq\r(|a|·|2b|)＝2eq\r(2)·eq\r(|ab|)＝20，其中“＝”成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝5.))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝－5.))又因?yàn)閍＜b∈R，所以a＝－10，b＝－5.所以|a＋2b|的最小值為20.答案：2015．不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為____．解析：＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)16．對于使－x2＋2x≤M成立的全部常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做－x2＋2x的上確界，則函數(shù)y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的上確界為________．解析：因?yàn)閤>0，所以3x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(3x·\f(4,x))＝4eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝\f(4,x)，,x>0，))即x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)取等號)．所以y＝2－3x－eq\f(4,x)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))≤2－4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)取等號．故y的上確界為2－4eq\r(3).答案：2－4eq\r(3)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集為A.(1)若a＝2，求集合A；(2)若集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由題意，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式x2－(a＋1)x＋a≤0，即x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}．(2)由x2－(a＋1)x＋a≤0，可得(x－1)·(x－a)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集為{x|a≤x≤1}．由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集可得a≥－4，所以－4≤a≤1，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集為{x|x＝1}，滿意題意；當(dāng)a>1時(shí)，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集為{x|1≤x≤a}，由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，可得a≤2，所以1<a≤2.綜上可得：－4≤a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－4，2]．18．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)，解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.(2)由(1)知an＝2n＋1，則Sn＝n(n＋2)，eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）).19．(本小題滿分12分)制訂投資安排時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人準(zhǔn)備投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，依據(jù)預(yù)料，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人安排投資金額不超過10億元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8億元，問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少億元，才能使可能的盈利最大？解：設(shè)投資人分別用x億元、y億元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,3x＋y≤18，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋0.5y.上述不等式組表示平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即可行域．由圖可知，當(dāng)直線z＝x＋0.5y經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，該直線在x軸上截距最大，此時(shí)z取得最大值，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,3x＋y＝18))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，))所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，6)．所以當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值，此時(shí)，zmax＝1×4＋0.5×6＝7(億元)．故投資人用4億元投資甲項(xiàng)目，6億元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8億元的前提下，使可能的盈利最大．20．(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求內(nèi)角B的大小；(2)設(shè)m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k，1)(k>1)，m·n的最大值為5，求k的值．解：(1)由正弦定理及(2a－c)cosB＝bcosC，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3).(2)m·n＝4ksinA＋cos2A＝－2sin2A＋4ksinA＋1，其中A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，設(shè)sinA＝t，t∈(0，1]，則m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.由于k>1，故當(dāng)t＝1時(shí)，m·n取得最大值．由題意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝eq\f(3,2).21．(本小題滿分12分)已知eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差數(shù)列．又?jǐn)?shù)列{an}(an＞0)中，a1＝3，此數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn(n∈N*)對全部大于1的正整數(shù)n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求數(shù)列{an}的第n＋1項(xiàng)；(2)若eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中項(xiàng)，且Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn.解：因?yàn)閑q\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差數(shù)列，所以eq\f(\r(f（x）),2)×2＝eq\r(x)＋eq\r(3).所以f(x)＝(eq\r(x)＋eq\r(3))2.因?yàn)镾n＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝f(Sn－1)＝(eq\r(Sn－1)＋eq\r(3))2.所以eq\r(Sn)＝eq\r(Sn－1)＋eq\r(3)，eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\r(3).所以{eq\r(Sn)}是以eq\r(3)為公差的等差數(shù)列．因?yàn)閍1＝3，所以S1＝a1＝3.所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)eq\r(3)＝eq\r(3)＋eq\r(3n)－eq\r(3)＝eq\r(3)n.所以Sn＝3n2(n∈N*)．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.(2)因?yàn)閿?shù)列eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中項(xiàng)，所以(eq\r(bn))2＝eq\f(1,an＋1)·eq\f(1,an)，所以bn＝eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,3（2n＋1）·3（2n－1）)＝eq\f(1,18)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))．所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,18)[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))]＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,9（2n＋1）).22．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2＋T2＝11.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．(2)求Mn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.(3)是否存在正整數(shù)m，使得eq\f(Sm＋Tm＋1,Sm＋Tm)恰好是數(shù)列{an}或{bn}中的項(xiàng)？若存在，求出全部滿意條件的m的值；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎1＝2a1＝2，b2S3