初三數(shù)學(xué)中考動點問題復(fù)習(xí)含答案

2012年中考數(shù)學(xué)動點問題

201206-001如圖,在平行四邊形ABCD中，AD=4cm,ZA=60",BD^AD.一動點P從A出

發(fā)，以每秒1cm的速度沿A—B—C的路線勻速運(yùn)動，過點P作直線PM,使PMLAD.

1.當(dāng)點P運(yùn)動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E,求4APE的面積；

2.當(dāng)點P運(yùn)動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A-B的路線運(yùn)動，且

在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動，(當(dāng)P、Q中的某一點到達(dá)終點，則兩-------------7c

點都停止運(yùn)動.)過Q作直線QN,使QN//PM,設(shè)點Q運(yùn)動的時間為t秒瓦//

(0<tW8),直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S(cm2).酸、

(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；AP\-----------B

(2)求S的最大值.

(6<tW8)

分兩種情況：

(1)①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形

永遠(yuǎn)為直角梯形.此時0<t<6.

②當(dāng)P在BC上運(yùn)動，而Q在AB邊上運(yùn)動時，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六

邊形DFQBPG不規(guī)則圖形面積用割補(bǔ)法.此時6<t<8.

201206-002.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標(biāo)為（4,0）,NAOC=60°,

垂直于x軸的直線1從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)直線1與菱形

OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）.

1.求A、B兩點的坐標(biāo)；

2.設(shè)AOMN的面積為S,直線1運(yùn)動時間為t秒（04tW6）,試求S與

的函數(shù)表達(dá)式；

3.在題⑵的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是多少？

①0Wt<2時,直線1與OA、0c兩邊相交（如圖①）.

②?一。時,直線1與AB、OC兩邊相交（如圖②）.

③4Vt<6時，直線1與AB、BC兩邊相交（如圖③）.

003如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3,AD=5.若

矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動?同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿

A—B—C—D的路線作勻速運(yùn)動.當(dāng)P點運(yùn)動到D點時停止運(yùn)號動，矩

形ABCD也隨之停止運(yùn)動.B---------------------C

⑴求P點從A點運(yùn)動到D點所需的時間；

⑵設(shè)P點運(yùn)動時間為t（秒）.I_____________

當(dāng)t=5時，求出點P的坐標(biāo)；0（A）x

若力OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并?寫出相

應(yīng)的自變量t的取值范圍）.

004、(09包頭)如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，3C=8厘米，點。為A8的中點.

(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CA上由

C點向A點運(yùn)動.

①若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BP。與△CO。是否全等，請說明

理由；

②若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為多少時，能

A

夠使△瓦力與△CQP全等？A

(2)若點Q以②中的運(yùn)動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出/\

發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在AABC的

哪條邊上相遇？b/*■p

005、(09齊齊哈爾)直線4與坐標(biāo)軸分別交于A、8兩點，動點0、0同時從。點出

發(fā)，同時到達(dá)A點，運(yùn)動停止.點。沿線段°A運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線°

-?B—A運(yùn)動.

(1)直接寫出A、8兩點的坐標(biāo)；

⑵設(shè)點0的運(yùn)動時間為/秒，的面積為s,求出s與/之

間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)5時，求出點P的坐標(biāo)，并直接寫出以點°、尸、Q為

頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標(biāo).

006(09深圳)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1:y=-2x—8分別與x軸，y軸相交于A,B兩

點，點P(0,k)是y軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作。P.

(1)連結(jié)PA,若PA=PB,試判斷。P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)k為何值時，以O(shè)P與直線1的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？

解：(1)OP與x軸相切.

?直線y=-2x—8與x軸交于A(4,0),

與y軸交于B(0,-8),

/.OA=4,OB=8.

由題意，OP=-k,

.-.PB=PA=8+k.

在Rt^AOP中，k2+42=(8+k)2,

,?,k=-3,，OP等于OP的半徑，

.-.OP與X軸相切.

(2)設(shè)OP與直線1交于C,D兩點，連結(jié)PC,PD

當(dāng)圓心P在線段OB上時，作PEXCD于E.

:△PCD為正三角形，.".DE=2CD=2,PD=3,

3小

.-.PE=2.

ZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE,

.-.△AOB^APEB,

AO=PE4^

.ABPB4A/5PB.2'

PO=BO-PB=8-^^

-2

第(2)第

P(0,?^-8)左=誓1_8

3屈

當(dāng)圓心P在線段OB延長線上時，同理可得P(0「2―3，

3屆

k=-2-8,

3岳3岳

二當(dāng)k=2—8或k=—2—8時，以。P與直線1的兩個交點

和圓心P為頂點的三角形是正三角形.

007（09濟(jì)南）如圖，在梯形AB。。中，AD〃3C,AD=3,DC=5,AB=4形,ZB=45°.

動點M從3點出發(fā)沿線段8C以每秒2個單位長度的速度向終點C運(yùn)動；

動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點。運(yùn)

動.設(shè)運(yùn)動的時間為'秒.

(1)求8C的長.

(2)當(dāng)"N〃A3時，求才的值.

(3)試探究：》為何值時，△"NC為等腰三角形.

008（09蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點A、

B的坐標(biāo)分別為（0,10）,（8,4）,

點C在第一象限.動點P在正方形ABCD的邊上，

從點A出發(fā)沿A-B-C->D勻速運(yùn)動，

同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)

P點到達(dá)D點時，兩點同時停止運(yùn)動，

設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.

⑴當(dāng)P點在邊AB上運(yùn)動時，點Q的橫坐標(biāo)x（長

度單位）關(guān)于運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②

圖2

所示，請寫出點Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點P運(yùn)動

速度；

（2）求正方形邊長及頂點C的坐標(biāo)；

（3）在（1）中當(dāng)t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標(biāo);

（4）如果點P、Q保持原速度不變，當(dāng)點P沿A—B—C—D勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等，若能,

寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由.

009（09太原）問題解決

如圖（1）,將正方形紙片AB。。折疊，使點8落在CD邊上一點E（不與點0,。重合），壓平

CE1AM

AB1CEIAM

-----=—\jzn>I）,=一,----

G0重合），壓平后得到折痕MN,設(shè)3cmCDn則BN的值等

于.（用含小〃的式子表示）

勝

2012年中考數(shù)學(xué)動點問題

201206-001如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°,BD_LAD.一動點P從A出

發(fā)，以每秒1cm的速度沿A—B—C的路線勻速運(yùn)動，過點P作直線PM,使PMLAD.

1.當(dāng)點P運(yùn)動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E,求4APE的面積；

2.當(dāng)點P運(yùn)動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A-B的路線運(yùn)動，且

在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動，(當(dāng)P、Q中的某一點到達(dá)終點，則兩爾1--------------------7c

點都停止運(yùn)動.)過Q作直線QN,使QN//PM,設(shè)點Q運(yùn)動的時間為t秒乂//

(0<tW8),直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S(cm2).嵌、/

(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；A-----------B

(2)求S的最大值.

(6<tW8)

分兩種情況：

(1)①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形

永遠(yuǎn)為直角梯形.此時0<t<6.

②當(dāng)P在BC上運(yùn)動，而Q在AB邊上運(yùn)動時，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六

邊形DFQBPG.不規(guī)則圖形面積用割補(bǔ)法.此時6<t<8.

1.分析：此題為點動題，因此，1)搞清動點所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長；2)

分析在運(yùn)動中點的幾種特殊位置.

由題意知，點P為動點，所走的路線為：A-B-C速度為lcm/s。而t=2s,故可求出AP的

值，進(jìn)而求出4APE的面積.

1出

Sk=-AE?EP=—

略解：由AP=2,ZA=60°得AE=1,EP=v3.因此22.

2.分析：兩點同時運(yùn)動，點P在前，點Q在后，速度相等，因此兩點距出發(fā)點A的距離相差

總是2cm.P在AB邊上運(yùn)動后，又到BC邊上運(yùn)動.因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不

同.故分兩種情況：

(1)①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯

形.此時0<t<6.

②當(dāng)P在BC上運(yùn)動，而Q在AB邊上運(yùn)動時，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.

不規(guī)則圖形面積用割補(bǔ)法.此時6<tW8.

⑴略解：①當(dāng)P、Q同時在AB邊上運(yùn)動時，0<t<6.

L且L后

AQ=tAP=t+2,AF=2t,QF=2t,AG=5(t+2),由三角函數(shù)PG=2(t+2),

LL￡L且且叵叵

FG=AG-AF=2(t+2)-2t=l.S=2.(QF+PG)-FG=2[2t+2(t+2)]?2.

②當(dāng)6<t<8時，

S=S平行四邊形ABCD-SAAQF-S△GCP.

L更

易求S平行四邊形ABCD=16￡,SAAQF=2AF-QF=§t2.

1PCPGCG

-----=-=',

而SACGP=2PC-PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t,由比例式BCBDCD可得

10PG_CGLL有

44、后8.-.PG=^(10-t)..,.SACGP=2PC-PG=2(10-t)?超(10-t)=~(10-t)2.

c-—且-2、8(f-S)2+64

.-.8=16^3_8t2-2(10-t)2=8(6<t<8

⑵分析:求面積的最大值時，應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況，那么每一種情況都要分別

求出最大值，然后綜合起來得出一個結(jié)論.此題分兩種情況，那么就分別求出0<tW6和6<t<8時

的最大值.04tW6時，是一次函數(shù)，應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì),由于一次項系數(shù)是正數(shù)湎積S隨t的增大而

增大.當(dāng)6<tW8時，是二次函數(shù)，應(yīng)用配方法或公式法求最值?

S=—^+lY0<t<60-),,a,〈出

略解：由于2'所以t=6時，S取大=2

_2、百(-8)2+6召

由于S=8(6<tW8,所以t=8時，S最大=6

綜上所述，當(dāng)t=8時，S最大=66.

201206-002.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標(biāo)為（4,0）,NAOC=60°,

垂直于x軸的直線1從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的

速度運(yùn)動，設(shè)直線1與菱形0ABe的兩邊分別交于點M、N（點M,在點

N的上方）.|\B

1.求A、B兩點的坐標(biāo)；7

2.設(shè)AOMN的面積為S,直線1運(yùn)動時間為t秒（0WtW6）,試山/.求S

與t的函數(shù)表達(dá)式；°|N|一亡

3.在題⑵的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是圖①多

少？

①04tW2時，直線1與。A、OC兩邊相交（如圖①）.

②2VtW4時，直線1與AB、OC兩邊相交（如圖②）.

③4<tW6時，直線1與AB、BC兩邊相交（如圖③）.

1.分析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點的坐標(biāo).

解：?.?四邊形OABC為菱形，點C的坐標(biāo)為（4,0）,

，OA=AB=BC=CO=4.如圖①，過點A作AD1OC于D.：NAOC=60°,.-.OD=2,

AD=2j3>

；.A（2,2簾）,B（6,2、月）.

2.分析：直線1在運(yùn)動過程中，隨時間t的變化，△MON的形狀也不斷變化，因此，首先要

把所有情況畫出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動點題關(guān)鍵

之一.

x軸正方向運(yùn)動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況:

①0Wt<2時,直線1與OA、0c兩邊相交（如圖①）.

②?一。時,直線1與AB、OC兩邊相交（如圖②）.

③4Vt<6時，直線1與AB、BC兩邊相交（如圖③）.

1

略解：?-.'MN±OC,.-.ON=t..,.MN=ONtan60°=柢

.「.S=2ON-MN=2t2.

11

@S=2ON-MN=2t-2=V3t.

③方法一：設(shè)直線1與X軸交于點H.-.MN=2v3.V3（t.4）=673.V3

11

,-.S=2MN-OH=2(673.73

t)t=-2t2+3后

11

方法二：設(shè)直線1與X軸交于點H」；S=S4OMH-S^ONH,;.S=51?2后-51?后（t-4）=

2t2+3V3t.

Ss

方法三:設(shè)直線1與X軸交于點H.S=S^OABC-AOAM-SAONC-SABMN

S菱/OABC=4X2后=8后,2.2石?(t-2)=也t-2后,

￡￡

S1LQNC=2.4-J^(t-4)=2J^t-8石，為器"=2J5(6-t)(6-t)=18后-6石

t+2t2,

/.S=8J3_(J3t-2V3)_(2J3b843A(18J3_6J3t+~0=-〒t2+3v3t.

3.求最大面積的時候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值.

且r

略解：由2知，當(dāng)0<tW2時，還(大=2X22=2v3；

當(dāng)2<tV4時，“星大=4返；

有9石

當(dāng)4<t<6時，配方得S=〒(t-3)2+~,

且逋

二當(dāng)t=3時，函數(shù)S=-2t2+3^3t的最大值是2.

且遞

但t=3不在4<tW6內(nèi)，.,.在4ct<6內(nèi)，函數(shù)5=-下位+3^3t的最大值不是亍.

包「r

而當(dāng)t>3時，函數(shù)S=-2t2+3V31隨t的增大而減小，二當(dāng)4<t<6時，S<4V3.

綜上所述，當(dāng)t=4秒時，還大=4后

練習(xí)1如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3,AD

=5.若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動.同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位

長度沿A—B—C—D的路線作勻速運(yùn)動.當(dāng)P點運(yùn)動到D點時,停止運(yùn)

動，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動.B----------------------|C

⑴求P點從A點運(yùn)動到D點所需的時間；

⑵設(shè)P點運(yùn)動時間為t（秒）.I__________________

當(dāng)t=5時，求出點P的坐標(biāo)；0（A）Dx

若/OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并?寫出相

應(yīng)的自變量t的取值范圍）.

解：(1)P點從A點運(yùn)動到D點所需的時間=(3+5+3)口=11(秒).

(2)當(dāng)t=5時，P點從A點運(yùn)動到BC上，ilkEhj-OA=10AB+BP=5,二.BP=2.

過點P作PE±AD于點E,則PE=AB=3AE=BP=2.

.?.OE=OA+AE=10+2=12.二點P的坐標(biāo)為(12,3).

分三種情況：

.當(dāng)0<t<3時，點P在AB上運(yùn)動，此時OA=2t,AP=t,.,.s=2X2tXt=t2.

1

當(dāng)3<tW8時，點P在BC上運(yùn)動，此時OA=2t,.-.s=2X2tX3=3t.y

.當(dāng)8ct<11時，點P在CD上運(yùn)動，此時OA=2t;AB+BC+CP=t,

J

DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-1.s=2X2tX(11-1)=-t2+llt.

綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0ctW3時，s=t2;當(dāng)3ctW8

時，s=3t;當(dāng)8<tVll時，s=-t2+llt.

練習(xí)2如圖，邊長為4的正方形0ABe的頂點O為坐標(biāo)原點，點A在x

軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上.動點D在線段BC上移動(不與B,

C重合)，連接OD,過點D作DELOD,交邊AB于點E,連接OE.

(1)當(dāng)CD=1時，求點E的坐標(biāo)；

(2)如果設(shè)CD=t,梯形COEB的面積為S,那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這

個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由.

解：⑴正方形OABC中，因為ED_LOD,即NODE=90°,所以NCOD=90°-ZCDO,而

ZEDB=90°-NCDO,所以/COD=/EDB.又因為NOCD=/DBE=90°，所以△CDOs/\BED.

CD=CO_L=J_3^=4_3=1313

所以班助，即4-1,BE=；，則44.因此點E的坐標(biāo)為(4,4).

(2)存在S的最大值.

-C-D=-C-O￡-_41

由于△CDOS/XBED,所以BEDB,即RE4-t,BE=t—彳t2.

1,

1=--(Z-2)2+10

X4X(4+t-4t2)2

故當(dāng)t=2時，S有最大值10.

1、(09包頭)如圖，已知AABC中，AB=AC=10厘米，8C=8厘米，點。為A3的中點.

(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CA上由

C點向A點運(yùn)動.

①若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BP。與△CO。是否全等，請說明

理由；

②若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為多少時，能

A

夠使△瓦力與△CQP全等？A

(2)若點Q以②中的運(yùn)動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出/\

發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在AABC的

哪條邊上相遇？b/*■p

解：(1)①,.，=1秒,

3P=CQ=3xl=3厘米，

A3=10厘米，點。為A3的中點，

8。=5厘米.

義.PC=BC—BP,BC=8厘米，

...PC=8-3=5厘米，

PC=BD

又?.AB=AC

,,/B=NC，

.ABPD^ACQP(4分)

②...BP力CQ

又..△BPD也△CQPNB=NC則3P=PC=4,CQ=BD=5

t-BP——4

...點尸，點。運(yùn)動的時間33秒，

CQ515

VQ-t-44

.3厘米/秒.(7分)

(2)設(shè)經(jīng)過了秒后點P與點。第一次相遇，

15cc,八80

—x=3x+2xl0x=—

由題意，得4，解得3秒.

—x3=80

???點P共運(yùn)動了3厘米.

?-80=2x28+24,

點尸、點。在AB邊上相遇，

80

,經(jīng)過3秒點「與點。第一次在邊A8上相遇.（12分）

2、(09齊齊哈爾)直線4與坐標(biāo)軸分別交于人、B兩點，動點°、0同時從。點出發(fā),

同時到達(dá)A點，運(yùn)動停止.點Q沿線段°A運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線

7A運(yùn)動.

(1)直接寫出A、3兩點的坐標(biāo)；

⑵設(shè)點。的運(yùn)動時間為，秒，△°PQ的面積為S,求出S與/之

間的函數(shù)關(guān)系式；

S="C

(3)當(dāng)5時，求出點P的坐標(biāo)，并直接寫出以點°、P、Q為

頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標(biāo).

解⑴A(8,0)B(0,6)1分

⑵OA=8,OB=6

AB=10

c江8

點2由。到A的時間是1（秒）

6+10°

-----二2

二點P的速度是8（單位/秒）1分

當(dāng)尸在線段。8上運(yùn)動（或戶々3）時，OQ=t,OP=2t

S=廠1分

當(dāng)尸在線段34上運(yùn)動（或3＜反8）時，OQ=t,AP=6+10-2/=16-2z

PDAPpD48—

如圖，作尸O'04于點0,由8。AB,得5

（自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分.）

824

28241224

9

5----5

3(09深圳)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1:y=-2x—8分別與x軸，y軸相交于A,B兩點,

點P(0,k)是y軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作。P.

(1)連結(jié)PA,若PA=PB,試判斷。P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)k為何值時，以O(shè)P與直線1的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？

解：(1)OP與x軸相切.

1,直線y=—2x—8與x軸交于A(4,0),

與y軸交于B(0,-8),

/.OA=4,OB=8.

由題意，OP=-k,

：.PB=PA=8+k.

在Rtz^AOP中，k2+42=(8+k)2,

,?,k=-3,，OP等于OP的半徑，

.-.OP與X軸相切.

(2)設(shè)OP與直線1交于C,D兩點，連結(jié)PC,PD

當(dāng)圓心P在線段OB上時，作PE1CD于E.

,:△PCD為正三角形，.-.DE=2CD=2,PD=3,

3小

.-.PE=2.

ZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE,

.-.△AOB^APEB,

3代

.ABPB4A/5PB

,?，

PB咨

?2

第(2)第

PO=BO-PB=8-^^-

2

P(0,竺^-8)

,2

,,，

,3屆

k=---------88

...2

3屈

當(dāng)圓心P在線段OB延長線上時，同理可得P(0「2-8),

(圖1)

3屈

k=-2-8,

3席3用

二當(dāng)k=2—8或k=—2—8時，以。P與直線1的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正

三角形.

4（09哈爾濱）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，四邊形ABCO是菱形，點A

的坐標(biāo)為（一3,4）,

點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M,AB邊交y軸于點H.

（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM,如圖2,動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC

方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運(yùn)動，設(shè)△PMB的面積為S（S中0）,點P的運(yùn)動時間為

t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時，ZMPB與NBCO互為余角，并求此時直線OP與直線

AC所夾銳角的正切值.解：

y

28.（1）過點A作AE_Lx軸垂足為E（如圖1）

???A（-3,4）/.AE=4OE=3.-.OA=VAE2+OE2=5Hp

?.?四邊形ABCO為菱形.-.0C=CB=BA=0A=5.-.0（5,0）....................................1分、

X

7（09濟(jì)南）如圖，在梯形AB。。中，AD〃3C,AD=3,DC=5,AB=46NB=45。.動

點、M從3點出發(fā)沿線段8C以每秒2個單位長度的速度向終點C運(yùn)動；動

點N同時從C點出發(fā)沿線段0。以每秒1個單位長度的速度向終點。運(yùn)

動.設(shè)運(yùn)動的時間為'秒.

(1)求8C的長.

(2)當(dāng)時，求才的值.

(3)試探究：f為何值時，△"NC為等腰三角形.

解：(1)如圖①，過A、D分別作AK,BC于K,DH上BC于H,則四邊形AOHK是矩形

.KH=AD=3.1分

AK=ABsin45°=472.—=4

在RtAABT^中,2

BK=AB^os450=4

2分

在RtZkCDH中，由勾股定理得，HC=V52-42=3

BC=BK+KH+HC=4+3+3=103分

(2)如圖②，過。作DG〃A3交8C于G點，則四邊形ADG3是平行四邊形

--MN//AB

-MN//DG

BG=AD=3

?GC=10—3=7.................4分

由題意知，當(dāng)股、運(yùn)動到,秒時，

NCN=t,CM=10-2A（圖①）

-DG//MN

.ZNMC=ZDGC

又/C=NC

二AMNCsAGDC

CNCM

,CD=~CG..........5分

t10—2，

即M7

50

t----（圖②）

解得，17..........6分

(3)分三種情況討論:

①當(dāng)NC=MC時，如圖③，即"10-2/

10

t=-

3..................7分

（圖③）（圖④）

②當(dāng)MN=NC時，如圖④，過N作NE,MC于E

解法一：

EC^-MC=-（10-2t）=5-t

由等腰三角形三線合一性質(zhì)得22

EC5-t

cosc-------------

在RtZAkCEN中，NCt

CH3

cosc-——

又在RtADHC中CD5

5-3

...t5

25

t----

解得88分

解法二：

../C=NC,ZDHC=ZNEC=90°

...ANECsADHC

NCECt5T

~DC~~HC即丁丁

25

t=——

8..................8分

FC=-NC=-t

③當(dāng)MN=MC時，如圖⑤，過M作MF,CN于/點,22

解法一：（方法同②中解法一）

1

「FC43,60

cosC=------=--——=—t---

MC10-2?5解得17

解法二：

..ZC=ZC,ZMFC=ZDHC=90°

（圖⑤）

■LMFCs4DHC

1

FCMC_1O-2Z60

,.lic~~DC即丁5./-17

t~10t-25t-60

綜上所述，當(dāng)3、8或17時，△MNC為等腰三角形9分

9（09蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點A、B

的坐標(biāo)分別為（。，1。），（8,4）,

點C在第一象限.動點P在正方形ABCD的邊上，

從點A出發(fā)沿A-B-C->D勻速運(yùn)動，

同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)

P點到達(dá)D點時，兩點同時停止運(yùn)動，

設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.

⑴當(dāng)P點在邊AB上運(yùn)動時，點Q的橫坐標(biāo)x（長

度單位）關(guān)于運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②

圖2

所示，請寫出點Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點P運(yùn)動

速度；

（2）求正方形邊長及頂點C的坐標(biāo)；

（3）在（1）中當(dāng)t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標(biāo);

（4）如果點P、Q保持原速度不變，當(dāng)點P沿A—B—C—D勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等，若能,

寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由.

解：（1）Q（1,0）....................1分

點P運(yùn)動速度每秒鐘1個單位長度...........2分

（2）過點3作BF，y軸于點/，3石，1軸于點E,則跖=8,OF=BE=A

.24r=IO_4=6

在Rt^AFB中，AB=^82+62=10....................3分

過點o作軸于點G,與煙的延長線交于點

..ZABC=90°,AB=BC

/.△ABF^ABCH.

.BH=AF=6,CH=BF=8

.OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12

「?所求C點的坐標(biāo)為(14,12).....................4分

(3)過點P作PM，y軸于點M,軸于點N,

則△APMS/^ABF.

APAMMPtAMMP

/.AB~AF~BF

434

AM=-tPM=-tPN=OM=10——t,ON=PM=-t

5f