2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 3 第2課時(shí) 半角的正弦、余弦和正切（教師用書(shū)）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形3第2課時(shí)半角的正弦、余弦和正切（教師用書(shū)）教案北師大版必修4主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)——三角恒等變形

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中一年級(jí)4班

3.授課時(shí)間：2024年10月17日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)（45分鐘）

二、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生能夠理解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

2.學(xué)生能夠運(yùn)用三角恒等變形公式進(jìn)行計(jì)算。

3.學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

2.三角恒等變形公式的運(yùn)用。

四、教學(xué)過(guò)程

1.導(dǎo)入：通過(guò)復(fù)習(xí)全角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思考半角正弦、余弦和正角的定義和性質(zhì)。

2.新課講解：講解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，并通過(guò)示例進(jìn)行演示。

3.課堂練習(xí)：布置練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用三角恒等變形公式進(jìn)行計(jì)算。

4.練習(xí)講解：講解學(xué)生練習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

5.課堂小結(jié)：總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提醒學(xué)生注意相關(guān)公式的運(yùn)用。

五、課后作業(yè)

1.鞏固半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

2.運(yùn)用三角恒等變形公式解決實(shí)際問(wèn)題。

六、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課后收集學(xué)生的練習(xí)成果，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2.在下一節(jié)課開(kāi)始時(shí)，進(jìn)行課堂提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過(guò)半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理能力，理解并掌握三角恒等變形的基本原理。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)生三角函數(shù)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

3.數(shù)據(jù)分析：通過(guò)課堂練習(xí)和課后作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)分析能力，對(duì)三角函數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)用和處理。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用三角恒等變形公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。學(xué)情分析我校高中一年級(jí)4班的學(xué)生，在學(xué)習(xí)三角恒等變形這一章節(jié)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念、圖像和性質(zhì)，對(duì)三角函數(shù)有了初步的了解。在學(xué)習(xí)態(tài)度上，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有濃厚的興趣，學(xué)習(xí)積極性較高。在學(xué)習(xí)方法上，學(xué)生們能夠通過(guò)課堂學(xué)習(xí)和課后復(fù)習(xí)，逐步掌握所學(xué)知識(shí)。

然而，在學(xué)習(xí)層次上，學(xué)生之間的知識(shí)基礎(chǔ)和接受能力存在一定的差異。部分學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解不夠深入，對(duì)一些基本概念和性質(zhì)的掌握不夠牢固。在能力方面，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理方面存在一定的困難。在素質(zhì)方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力各有不同，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和積極性也有所區(qū)別。

在行為習(xí)慣方面，大部分學(xué)生能夠按時(shí)完成作業(yè)，積極參與課堂討論。但也有部分學(xué)生存在拖延做作業(yè)、課堂注意力不集中等問(wèn)題，這對(duì)課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生了一定的影響。針對(duì)這種情況，我在教學(xué)中需要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同層次的學(xué)生制定合適的教學(xué)策略，引導(dǎo)他們積極參與課堂活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)效果。

針對(duì)學(xué)生的學(xué)情分析，我在教學(xué)過(guò)程中需要注重以下幾點(diǎn)：

1.針對(duì)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的差異，我會(huì)在課堂上進(jìn)行復(fù)習(xí)提問(wèn)，確保學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握。

2.針對(duì)學(xué)生在能力和素質(zhì)方面的差異，我會(huì)通過(guò)設(shè)置不同難度的題目，讓學(xué)生在練習(xí)中提高自己的能力。

3.針對(duì)學(xué)生行為習(xí)慣的差異，我會(huì)加強(qiáng)課堂管理，提高課堂紀(jì)律，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍。

4.針對(duì)學(xué)生的興趣和積極性，我會(huì)通過(guò)生動(dòng)的講解和實(shí)際的例子，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

（1）講授法：通過(guò)系統(tǒng)的講解，使學(xué)生了解和掌握半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，以及三角恒等變形的基本方法。

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享學(xué)習(xí)心得和解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和思考問(wèn)題的能力。

（3）實(shí)踐法：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，運(yùn)用三角恒等變形公式解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的實(shí)際操作能力和解決問(wèn)題的能力。

2.教學(xué)手段：

（1）多媒體設(shè)備：利用多媒體設(shè)備，展示三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，直觀地演示三角恒等變形的過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)。

（2）教學(xué)軟件：運(yùn)用教學(xué)軟件，進(jìn)行互動(dòng)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，提高教學(xué)效果。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：利用網(wǎng)絡(luò)資源，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料和實(shí)踐案例，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力。

（4）課后練習(xí)：布置課后練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，通過(guò)自主學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)故事、案例或視頻等方式，引出半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握三角恒等變形技能。

-解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

-參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，體驗(yàn)三角恒等變形的應(yīng)用。

-提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握三角恒等變形技能。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，掌握三角恒等變形技能。

-通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

-通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)相關(guān)的拓展資源（如書(shū)籍、網(wǎng)站、視頻等），供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

為了幫助學(xué)生更深入地理解半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，以及三角恒等變形的相關(guān)知識(shí)，提供以下拓展閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)年鑒》：查閱數(shù)學(xué)年鑒中關(guān)于半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)的條目，了解這些數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展歷程。

-《數(shù)學(xué)分析》：閱讀數(shù)學(xué)分析相關(guān)書(shū)籍，深入了解三角函數(shù)的解析性質(zhì)，進(jìn)一步掌握三角恒等變形的方法和技巧。

-《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》：查閱數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)中關(guān)于三角形函數(shù)教學(xué)的文章，了解三角形函數(shù)教學(xué)的方法和策略，以及如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

為了讓學(xué)生在課后能夠自主學(xué)習(xí)和探究，可以布置一些與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的課后任務(wù)和項(xiàng)目。以下是一些建議：

-課后作業(yè)：布置一些與半角正弦、余弦和正切有關(guān)的課后作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)。

-研究項(xiàng)目：鼓勵(lì)學(xué)生選擇一個(gè)與三角恒等變形相關(guān)的課題進(jìn)行研究，通過(guò)查閱文獻(xiàn)、收集數(shù)據(jù)和分析結(jié)果，提高學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新能力。

-數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽等，通過(guò)競(jìng)賽提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和解決問(wèn)題的能力。

-數(shù)學(xué)社團(tuán)：鼓勵(lì)學(xué)生加入數(shù)學(xué)社團(tuán)，參與數(shù)學(xué)沙龍和講座等活動(dòng)，拓寬知識(shí)視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。重點(diǎn)題型整理1.題型一：半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)

-例題1：已知sinA=3/5，求cosA和tanA的值。

-例題2：已知cosB=4/5，求sinB和tanB的值。

-例題3：已知tanC=2/3，求sinC和cosC的值。

-例題4：已知sinD=5/7，cosD=6/7，求tanD的值。

-例題5：已知cosE=7/9，sinE=8/9，求tanE的值。

2.題型二：三角恒等變形公式的運(yùn)用

-例題1：已知sinA=3/5，cosA=4/5，求sin2A和cos2A的值。

-例題2：已知sinB=5/7，cosB=6/7，求sin2B和cos2B的值。

-例題3：已知tanC=2/3，求sin2C和cos2C的值。

-例題4：已知sinD=5/7，cosD=6/7，求sin2D和cos2D的值。

-例題5：已知sinE=8/9，cosE=7/9，求sin2E和cos2E的值。

3.題型三：解決實(shí)際問(wèn)題

-例題1：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是5厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。

-例題2：一個(gè)三角形的兩邊分別是6厘米和8厘米，求這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)度。

-例題3：一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是10厘米，求這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度。

-例題4：一個(gè)圓的半徑是5厘米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)和面積。

-例題5：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求這個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。

4.題型四：三角恒等式的證明

-例題1：證明：sin2A=2sinAcosA。

-例題2：證明：cos2A=cos^2A-sin^2A。

-例題3：證明：tan2A=2tanA/(1-tan^2A)。

-例題4：證明：sinA+cosA=2sin(A/2)cos(A/2)。

-例題5：證明：cos^2A+sin^2A=1。

5.題型五：三角函數(shù)圖像的繪制

-例題1：繪制y=sinx的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。

-例題2：繪制y=cosx的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。

-例題3：繪制y=tanx的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。

-例題4：繪制y=cscx的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。

-例題5：繪制y=secx的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。作業(yè)布置與反饋八、作業(yè)布置與反饋

1.作業(yè)布置：

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，布置適量的作業(yè)，以便于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)并提高能力。具體作業(yè)布置如下：

（1）完成課本上的練習(xí)題，包括半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)的題目，以及三角恒等變形公式的運(yùn)用題目。

（2）解決實(shí)際問(wèn)題題目，如長(zhǎng)方形、三角形、直角三角形和圓的周長(zhǎng)、面積、對(duì)角線長(zhǎng)度的計(jì)算。

（3）三角恒等式的證明題目，如sin2A=2sinAcosA，cos2A=cos^2A-sin^2A等。

（4）繪制三角函數(shù)圖像的題目，如y=sinx，y=cosx，y=tanx等的圖像，并解釋圖像的特點(diǎn)。

2.作業(yè)反饋：

及時(shí)對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改和反饋，指出存在的問(wèn)題并給出改進(jìn)建議，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步。具體作業(yè)反饋如下：

（1）對(duì)于半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)的題目，檢查學(xué)生是否能夠正確理解和運(yùn)用這些定義和性質(zhì)，指出學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中的錯(cuò)誤和不足之處，并給出正確的解題方法和步驟。

（2）對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題的題目，檢查學(xué)生是否能夠運(yùn)用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，指出學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中的錯(cuò)誤和不足之處，并給出正確的解題方法和步驟。

（3）對(duì)于三角恒等式的證明題目，檢查學(xué)生是否能夠正確理解和運(yùn)用這些恒等式，指出學(xué)生在證明過(guò)程中的錯(cuò)誤和不足之處，并給出正確的證明方法和步驟。

（4）對(duì)于繪制三角函數(shù)圖像的題目，檢查學(xué)生是否能夠正確繪制這些圖像，指出學(xué)生在繪制過(guò)程中的錯(cuò)誤和不足之處，并給出正確的繪制方法和步驟。教學(xué)反思本節(jié)課是關(guān)于半角正弦、余弦和正切的定義和性質(zhì)，以及三角恒等變形公式的運(yùn)用。在教學(xué)過(guò)程中，我采用了講授法、討論法和實(shí)踐法等教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。同時(shí)，我充分利用了多媒體設(shè)備和教學(xué)軟件等現(xiàn)代化教學(xué)手段，提高了教學(xué)效果和效率。

在課前自主探索環(huán)節(jié)，我通過(guò)在線平臺(tái)和微信群發(fā)布了預(yù)習(xí)資料和預(yù)習(xí)問(wèn)題，讓學(xué)生提前了解本節(jié)課的內(nèi)容。在課中強(qiáng)化技能環(huán)節(jié)，我通過(guò)講解知識(shí)點(diǎn)、組織課堂活動(dòng)和解答疑問(wèn)等方