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文檔簡介

第二章熱傳導(dǎo)方程

HeatEquations

齊海濤

IPX學(xué)匚城枷)瓠學(xué)與境口.學(xué)唬

htqisdugoiail.com

目錄

O熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

O初邊值問題的分離變量法

?Cauchy村題

O極值原理、定解問題解的唯,?性和穩(wěn)定性

0解的漸近性態(tài)

2015-1l-A72/始

。熱傳導(dǎo)方程的各種定解問題的提法與解法(Fourier變換法):

e與波動方程的不同點(diǎn)(如極值原理):

。熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的唯一性只在有界函數(shù)類中成立:

o熱傳導(dǎo)方程的解沒有有限的依賴區(qū)域,即擾動的傳播速度是無限的.

0熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出

問題

給定?空何物體G.設(shè)其上的點(diǎn)(”,)在時刻r的溫度為“(時;,).試求“所

滿足的方程.

問題

給定?空問物體G.設(shè)其上的點(diǎn)(”,)在時刻r的溫度為“(時;,).試求所

〃滿足的方程.

Fourier熱傳導(dǎo)定律

在一溫度場”(工中,在無窮小時間段d/內(nèi).流過一無窮小面枳塊dS的熱鼠為

1.L)

其中》為曲而微元所指方向的單位法向量,k{x.y.=)>0為物體在點(diǎn)(工尹

二)處的熱傳導(dǎo)系數(shù),偵號表示熱鼠從溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè).

設(shè)函數(shù)”關(guān)于變量X,尸,二具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于/具有一階連紋偏導(dǎo)

數(shù).在G內(nèi)任取一閉曲面.它所包困的區(qū)域?yàn)镼,由(L1)知.從時刻/I到七時刻

流入0的熱量:為

0=瞻剛.1.2)

在時間間隔(m)中物體溫度從便北*1)變化到”3).二您),它所吸收的熱

代為

彳卬c(x.y,=)p(x.y.z)[ji(x.y.=,/2)-u(x,y,z,

/i)]dxd>tt

其中c為比熱,0為密度.

如物體內(nèi)部有熱源,蚓應(yīng)考慮熱源的影響.設(shè)在單位時間內(nèi)單.位體積中所

產(chǎn)生的然量為6.則在時間間隔吊"2)中,熱源所放出的熱量為

利用Green公式角

?「血舊^雄!)+£修)}姒心

根據(jù)熱雖:守恒原理有

Hi

閱嵯償Hs山

考慮到知4與區(qū)域n的任意性.得

氣+M"房(慌)M1.5)

(1.5>式稱為非均勻的各向同性體的小步力程如物體是均勻的.即如c

及,均為常數(shù),記/=>得到

備=/僧+霸十劇功口寸?邛

其中

1.8

PC

如果物體內(nèi)部沒有熱源,則熱傳導(dǎo)力程為

晉”僭劇1.61

:1.6「稱為‘.Ihl;L7i稱為

問題的提法

初始條件:

“(W—0)=二).(1.9)

邊界條件:(0M,式7)

o第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)

心"。lr=g(*y)II.

e第二類邊界條件件)10)

(Neumann邊界條

di

Q第三類邊界條件件)i

,Kobin邊界條

(卷5廣^心)

tl.

13)

人t

Cauchy問題

u(x,yt3,(1)=歸(工/,二)(-1111<(1.14)

毛尸,二<8)

?維熱傳導(dǎo)方程

?維熱傳導(dǎo)方程,,

a(Pu\

di(※+初

考慮分子擴(kuò)散過程以表示在時刻代J”)點(diǎn)處擴(kuò)故物質(zhì)的濃度.今推導(dǎo)Ngq〃

所滿足的方程,

質(zhì)量守恒定律:如果在所老察的范圍內(nèi)沒有產(chǎn)生擴(kuò)散物質(zhì)的源.那么對任意

IK域Q有下式

因濃度變化而增加的成鼠=流入的質(zhì)量.

Fiek擴(kuò)散定律:在無窮小時間段由內(nèi),通過無窮小仙面塊dS-的質(zhì)量如為

ON

dm=dSdf(1.17)

八,右示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度,Dg,匕)為擴(kuò)散系數(shù).

由此可見.上述擴(kuò)散問題所依據(jù)的物理覘律與無熱源的熱傳導(dǎo)問題所依據(jù)的

物理期律具有完全相同的數(shù)量形式.于是,我們不必重負(fù)前面的推導(dǎo)過程,而可

以宜接寫出4所滿足的方程為

HE㈱驀幅E

上式稱為獷散方/,.(diffusionequations).對擴(kuò)散方程同樣訶以考虛

Cauchy問題以及第一、第二與第三初邊偵問題.

0初邊值問題的分離變量法

一個空間變量的情形

利用分離變量法求解如卜初邊值ml?:

虬==0(f>0,0wj),(2.1)

/=0:W=(2.2)

=0:w=0.(2.3)

x=Z/w..+hi=0.(2.4)

利用分離變量法求解如卜初邊值問題:

2

U,=<7MO=0(f>0,0<]<J),(2.1)

/=0:W=(2.2)

=0:M=0.(2.3)

x-I|wx+hit=0.(2.4)

令〃(xr)=X&)7‘(小代入方程得到

rx.

污=*=-」.

r'+4a2F=0,(2.5)

X〃+AY=0,(2.6)

X(0)=十戰(zhàn)(/)=0.(2.7)

當(dāng)時.只有平凡解*三。;當(dāng)時,

-V(x)=Acos+月如(2.8;

根據(jù)邊界條件*(0)=0,njA=0.由⑵7)的第二個邊界條件得到

3(Vacos<i/+hsinVSf)=0.(2.9)

為使x獷為非平凡解.a應(yīng)滿足

cosVI/4-JisinVI/=0tailVI/=一-.(2.11)

A?

一個空間變量的情形

由圖解法或數(shù)值計(jì)算知,方程(2)13)有可列無窮多個正根v,>0化=1

12...),滿足(k-;)汗〈呀〈如?因此特征值問題(2.6)、(2.7)存在著無窮

多個圓有值2

,k=(¥)2(A=1.2,.-)

(2.14)

及相應(yīng)的固有函數(shù)

由(2.5)得

故根據(jù)槿加原理得級數(shù)形式的解

2.18)

川?廠用J3

一個空間變量的情形

(2.18)應(yīng)滿足初始條件(2.3),則

心)二£?機(jī)sui(2.19)

?1

(2.2D

初二f折同二捉震寺,

?A

=—I3⑹鼠n標(biāo)fM.

MlJo

將(2.22)代入⑵18).得初邊值間題(2.1)-(2.4)的形式解為

(2.23)

一個空間變

本證函數(shù)正交性

本征函數(shù)系/Z/r/={sin在[0>/|上正交.

一個空1'可變1I:的情形

本征函數(shù)正交性

本征函數(shù)系/=(細(xì)而:}在[CU]上正交.

11設(shè)本征函數(shù)格和在分別對應(yīng)于不同的特征值七和心,即

X:+M=0,+=n

以J和X,分別乘上面第一和第二式,相減后在[0,/j上枳分,利用和X.都

滿足邊界條件(2.7).就得

i&j”疏=°-

由于&*得本征函數(shù)系的正交性,

IXXcll=sin項(xiàng)原妙=0.mt

H.(2.20)

-個空間變量的情形

?并面說明形式解(2.23)為定解伺題(2.1)-(2.4)的經(jīng)典解.當(dāng)

為有界函數(shù)時,由(2.23)式給出的形式解,當(dāng)】〉0時,關(guān)于x及,是任

意次連續(xù)可導(dǎo)的,并且滿足方程(2.1)及邊界條件(2.§、(2.4).

任意當(dāng)時,對任意級數(shù)f旱-W均是一致收斂窗斤也和(2.21)式'可得

亦)叫屈42法G(2)24)

為保證當(dāng)時,對任意的x£[0./],由(2.23)式給由的級數(shù)趨亍初值貿(mào)(工).

還需對瀏犬)加上進(jìn)一步的條件.例如€1伊(0)=0,

+hip[F)-IL

QCatichy問題

Fourier變換及其基本性質(zhì)

設(shè)頂同是定義在(-g.g)上的函藪,它在[-AJ]上有階連續(xù)等數(shù),則材可

以展開為Fourier級數(shù)

7U)=?+£(&”cmyx+b?sin學(xué)x),

/r=l'(3.1)

其中

?n=jcos如=;和彳£比S=<KL,2,…),

(3.2)

將V3.2)代入(3,1)式,得到

雨=土[徊愛.£?£麗皂第了_*.

Fourier變換及其基本性質(zhì)

設(shè)函數(shù)冷)在(?8.8)上絕對可積,當(dāng),T8時,

記七=宗("=1,2,…),ZxX=△」,]=&+1一扁二號,則訶

以得到

火)二她。;E△?!昀?河1〃T)野

=:r(Ur°Xf)<034(x-€)cT.(3.3)

兀JoJ_CO

積分表達(dá)式(3,3)稱")的Fourier將(3.3)改寫成現(xiàn)數(shù)形式川)=*

r±IAll)何。s』(T-f)+isinj(s

J-oJ_8

(3.4)

,本性質(zhì)

Theorem3.1(Fourier積分定理)

設(shè)函數(shù)JW在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分段可導(dǎo).

則7W殷夕Fourier枳分海足:對于任意m(-8,8)成立

穎X+。)+亦-OH=££眇心£火”或馨

片*泠《SIXI)岐學(xué)物+方W

本性質(zhì)

Theorem3.1(Fourier積分定理)

設(shè)函數(shù)川在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分

段可導(dǎo).則7W殷/Fourier枳分海足:對于任意m(-8,8)成立

穎X+。)+亦-0H=££眇心£火”或馨

Definition3.2(Fourier變換)

$%)]=F(&=「"*7北(3.5)

川)=?尸史第f⑷改以(3.6)

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Example3.3

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Example3.3

)urier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理?Addition1heorem

筍劭對+傀3)1=。步IA圳+0g(x)].(3.7)

片島rf}<SIXI)Tt-vtftN

)、一u二nec-r比zll出本性質(zhì)

(1)加法定理?AdditionTheorem

(3.

(2)相似性定理-SimilarityTheorem

'3)|=箱)

筍[勁對+傀3)1=。步IA圳+A|g(x)].

Fourier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理-AdditionTheorem

筍[q/W+傀3)1=。步(3.

7)

⑵相似性定理嚼鼬/heorem

(3)延退定理ShiftTheorem

僧冊?-邛),筍冊川

Fourier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理-AdditionTheorem

筍[q/W+傀3)1=,^W?]+D筍凰圳.(3.7)

(2)相似性定理-SimilarityTheorem

(3)延退定理-ShiftTheorem

僧冊?-邛),筍冊川

(4)位移定理一Translation

:本性質(zhì)

(5)導(dǎo)數(shù)定理-DerivativeTheorem

如果/W,f[x)都可進(jìn)行Fourier變熱且當(dāng)M->oo時.JW-0,則

夕(Tb)]=譏筍帆圳?

如Ar)為,,階連續(xù)可微函數(shù).且血1下%)=0(*=1.2

W-M0

如/(*)及圳X)都可以進(jìn)行Fourier變換,則

(3.12)

本性質(zhì)

如對給定的力(圳必)「當(dāng)*€(?*)時,

(3.8)

存在,則林為為⑴-E7.個1的卷枳(Convolution),記為方,為.

多伉㈤?力(x)|=齊同y網(wǎng)

,內(nèi)㈤=7步閡?為酣:3.10'

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Proof.

即,加=Ie^dxI/i(x-r歷(,)由

J-BJ-CD

力Ha

\/i(x-l)eu^M*-/)

=「力(,)媳”命(永7生

=)[川)⑸.

禪壹力詢It。構(gòu)雁方W

Fourier變換及其基本性質(zhì)

(7)枳分定理一IntegralTheorem

如果當(dāng)*一+<?時]匚jw&-°,則

夕力口,=

換及其基本性質(zhì)

如果當(dāng)*-+8時]匚JW&-S則

加,二/LXx)].

(8)乘枳定理-PowerTheorem

若少(AS)]=F少).4仿(圳=切(4).則

匚,(心(*)位=&£芯(幻由,1)小=££目以)呂(X)心.

2其基本性質(zhì)

⑻乘枳定理-PowerTheorem

若少(AS)]=Fi3).4仿(圳=切(4).則

匚,(心(*)位=&£芯(幻由,1)小=££目以)呂(X)心.

Fourier變換及其基本性質(zhì)

n維Fourier變換與Fourier逆變換

,Ie'-

(3.13)

川……電二爵£...£「功那5"*財…此-(3.14)

熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解

利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchy

315)

316)

心0)=奴*)?

熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解

利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchv問題

備*啜+"5°,⑸

w(x,0)=乎國.(3.16)

求解步牌:

0將方程與初始條件兩端關(guān)于空問變量作Fourier變換,從而將問^化為常

微分方程Cauchy問題;

9求解所徂的常微分方程Cauchv向題;

□對所得的常微分方程Cmichy問題的解進(jìn)行Fourier逆變換,從而得原問

II的解.

熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解

視,為參數(shù),先求解齊次熱傳導(dǎo)萬程的Cauchym

dJ案,⑶17)

心。)=口寸318)

對(3.17)、(3.18)關(guān)于■進(jìn)行Fourier變換.得

319)

訊,L0)=。3)

(3.19)、(3.20)的解為20)

問題E

n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土

5中忐沖”制

二忐£孫叩,嚅2住,⑵

公式(122)稱為Poisson公式,其右端枳分稱為Poisson枳分.言己基本解S(x.

I)為

熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解

n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土

5中忐沖”制

二忐£孫叩,嚅2住,⑵

公式(122)稱為Poisson公式,其右端枳分稱為Poisson枳分.BE基本解S(x.

。為

hW從(3.22)式可見,Poisson公式給出的解訊土,)在任一點(diǎn)在/(/>0>的值.

依賴丁?初始數(shù)據(jù)任任)在整個*軸上的值,沒有有限的依賴區(qū)域,因而在初始時

刻的捱動也沒有有限的傳播速度.

問題

求解

題時

hy問

auc

程C

導(dǎo)方

熱傳

網(wǎng)

iohy

的CM

條件

初始

齊次

只白

方程

傳導(dǎo)

次熱

非齊

求解

卜.而

(3.

)

就4

-

=0

,0)

M(X

寫為

解可

題的

hy問

Cauc

理,此

mel原

Duha

根據(jù)

325)

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