第二章熱傳導(dǎo)方程

第二章熱傳導(dǎo)方程

HeatEquations

齊海濤

IPX學(xué)匚城枷）瓠學(xué)與境口.學(xué)唬

htqisdugoiail.com

目錄

O熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

O初邊值問題的分離變量法

?Cauchy村題

O極值原理、定解問題解的唯,?性和穩(wěn)定性

0解的漸近性態(tài)

2015-1l-A72/始

。熱傳導(dǎo)方程的各種定解問題的提法與解法（Fourier變換法）：

e與波動方程的不同點（如極值原理）：

。熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的唯一性只在有界函數(shù)類中成立：

o熱傳導(dǎo)方程的解沒有有限的依賴區(qū)域，即擾動的傳播速度是無限的.

0熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出

問題

給定?空何物體G.設(shè)其上的點（”，）在時刻r的溫度為“（時；，）.試求“所

滿足的方程.

問題

給定?空問物體G.設(shè)其上的點（”，）在時刻r的溫度為“（時；，）.試求所

〃滿足的方程.

Fourier熱傳導(dǎo)定律

在一溫度場”（工中，在無窮小時間段d/內(nèi).流過一無窮小面枳塊dS的熱鼠為

1.L）

其中》為曲而微元所指方向的單位法向量，k{x.y.=）>0為物體在點（工尹

二）處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，偵號表示熱鼠從溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè).

設(shè)函數(shù)”關(guān)于變量X,尸，二具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于/具有一階連紋偏導(dǎo)

數(shù).在G內(nèi)任取一閉曲面.它所包困的區(qū)域為Q,由(L1)知.從時刻/I到七時刻

流入0的熱量:為

0=瞻剛.1.2)

在時間間隔(m)中物體溫度從便北*1)變化到”3).二您)，它所吸收的熱

代為

彳卬c(x.y,=)p(x.y.z)[ji(x.y.=,/2)-u(x,y,z,

/i)]dxd>tt

其中c為比熱，0為密度.

如物體內(nèi)部有熱源，蚓應(yīng)考慮熱源的影響.設(shè)在單位時間內(nèi)單.位體積中所

產(chǎn)生的然量為6.則在時間間隔吊"2)中，熱源所放出的熱量為

利用Green公式角

?「血舊^雄!)+￡修)｝姒心

根據(jù)熱雖:守恒原理有

Hi

閱嵯償Hs山

考慮到知4與區(qū)域n的任意性.得

氣+M"房（慌）M1.5)

（1.5＞式稱為非均勻的各向同性體的小步力程如物體是均勻的.即如c

及，均為常數(shù)，記/=＞得到

備=/僧+霸十劇功口寸?邛

其中

1.8

PC

如果物體內(nèi)部沒有熱源，則熱傳導(dǎo)力程為

晉”僭劇1.61

：1.6「稱為‘.Ihl；L7i稱為

問題的提法

初始條件：

“（W—0）=二）.(1.9)

邊界條件：（0M,式7）

o第一類邊界條件（Dirichlet邊界條件）

心"。lr=g（*y）II.

e第二類邊界條件件）10)

（Neumann邊界條

如

di

Q第三類邊界條件件）i

,Kobin邊界條

（卷5廣^心）

tl.

13)

人t

Cauchy問題

u（x,yt3,（1）=歸（工/，二）（-1111<（1.14）

毛尸，二<8）

?維熱傳導(dǎo)方程

?維熱傳導(dǎo)方程，，

a（Pu\

di（※+初

考慮分子擴散過程以表示在時刻代J”)點處擴故物質(zhì)的濃度.今推導(dǎo)Ngq〃

所滿足的方程，

質(zhì)量守恒定律：如果在所老察的范圍內(nèi)沒有產(chǎn)生擴散物質(zhì)的源.那么對任意

IK域Q有下式

因濃度變化而增加的成鼠=流入的質(zhì)量.

Fiek擴散定律：在無窮小時間段由內(nèi)，通過無窮小仙面塊dS-的質(zhì)量如為

ON

dm=dSdf(1.17)

八，右示擴散物質(zhì)的濃度，Dg,匕)為擴散系數(shù).

由此可見.上述擴散問題所依據(jù)的物理覘律與無熱源的熱傳導(dǎo)問題所依據(jù)的

物理期律具有完全相同的數(shù)量形式.于是，我們不必重負(fù)前面的推導(dǎo)過程，而可

以宜接寫出4所滿足的方程為

HE㈱驀幅E

上式稱為獷散方/，.(diffusionequations).對擴散方程同樣訶以考虛

Cauchy問題以及第一、第二與第三初邊偵問題.

0初邊值問題的分離變量法

一個空間變量的情形

利用分離變量法求解如卜初邊值ml?:

虬==0(f>0,0wj),(2.1)

/=0：W=(2.2)

=0:w=0.(2.3)

x=Z/w..+hi=0.(2.4)

利用分離變量法求解如卜初邊值問題：

2

U,=<7MO=0(f>0,0<]<J),(2.1)

/=0：W=(2.2)

=0:M=0.(2.3)

x-I|wx+hit=0.(2.4)

令〃(xr)=X&)7‘(小代入方程得到

rx.

污=*=-」.

r'+4a2F=0,(2.5)

X〃+AY=0,(2.6)

X(0)=十戰(zhàn)(/)=0.(2.7)

當(dāng)時.只有平凡解*三。；當(dāng)時，

-V(x)=Acos+月如(2.8；

根據(jù)邊界條件*(0)=0,njA=0.由⑵7)的第二個邊界條件得到

3(Vacos<i/+hsinVSf)=0.(2.9)

為使x獷為非平凡解.a應(yīng)滿足

cosVI/4-JisinVI/=0tailVI/=一-.(2.11)

A?

一個空間變量的情形

由圖解法或數(shù)值計算知，方程(2)13)有可列無窮多個正根v,>0化=1

12...),滿足(k-；)汗〈呀〈如?因此特征值問題(2.6)、(2.7)存在著無窮

多個圓有值2

,k=(￥)2(A=1.2,.-)

(2.14)

及相應(yīng)的固有函數(shù)

由(2.5)得

故根據(jù)槿加原理得級數(shù)形式的解

2.18)

川?廠用J3

一個空間變量的情形

(2.18)應(yīng)滿足初始條件(2.3),則

心)二￡?機sui(2.19)

?1

(2.2D

初二f折同二捉震寺，

?A

=—I3⑹鼠n標(biāo)fM.

MlJo

將(2.22)代入⑵18).得初邊值間題(2.1)-(2.4)的形式解為

(2.23)

一個空間變

本證函數(shù)正交性

本征函數(shù)系/Z/r/={sin在［0>/|上正交.

一個空1'可變1I:的情形

本征函數(shù)正交性

本征函數(shù)系/=(細(xì)而:}在［CU］上正交.

11設(shè)本征函數(shù)格和在分別對應(yīng)于不同的特征值七和心，即

X：+M=0,+=n

以J和X,分別乘上面第一和第二式，相減后在［0,/j上枳分，利用和X.都

滿足邊界條件(2.7).就得

i&j”疏=°-

由于&*得本征函數(shù)系的正交性，

IXXcll=sin項原妙=0.mt

H.(2.20)

-個空間變量的情形

?并面說明形式解（2.23）為定解伺題（2.1）-（2.4）的經(jīng)典解.當(dāng)

為有界函數(shù)時，由（2.23）式給出的形式解，當(dāng)】〉0時，關(guān)于x及，是任

意次連續(xù)可導(dǎo)的，并且滿足方程（2.1）及邊界條件（2.§、（2.4）.

任意當(dāng)時，對任意級數(shù)f旱-W均是一致收斂窗斤也和（2.21）式'可得

亦)叫屈42法G(2)24)

為保證當(dāng)時，對任意的x￡[0./],由（2.23）式給由的級數(shù)趨亍初值貿(mào)（工）.

還需對瀏犬）加上進(jìn)一步的條件.例如€1伊（0）=0,

+hip[F）-IL

QCatichy問題

Fourier變換及其基本性質(zhì)

設(shè)頂同是定義在(-g.g)上的函藪，它在［-AJ］上有階連續(xù)等數(shù)，則材可

以展開為Fourier級數(shù)

7U)=?+￡(&”cmyx+b?sin學(xué)x),

/r=l'(3.1)

其中

?n=jcos如=；和彳￡比S=<KL,2,…),

(3.2)

將V3.2)代入(3,1)式，得到

雨=土［徊愛.￡?￡麗皂第了_*.

Fourier變換及其基本性質(zhì)

設(shè)函數(shù)冷)在(?8.8)上絕對可積，當(dāng)，T8時,

記七=宗("=1,2,…)，ZxX=△」，］=&+1一扁二號,則訶

以得到

火)二她。；E△?！昀?河1〃T)野

=：r(Ur°Xf)<034(x-€)cT.(3.3)

兀JoJ_CO

積分表達(dá)式(3,3)稱")的Fourier將(3.3)改寫成現(xiàn)數(shù)形式川)=*

r±IAll)何。s』(T-f)+isinj(s

J-oJ_8

(3.4)

，本性質(zhì)

Theorem3.1(Fourier積分定理)

設(shè)函數(shù)JW在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分段可導(dǎo).

則7W殷夕Fourier枳分海足：對于任意m(-8,8)成立

穎X+。)+亦-OH=￡￡眇心￡火”或馨

片*泠《SIXI)岐學(xué)物+方W

本性質(zhì)

Theorem3.1(Fourier積分定理)

設(shè)函數(shù)川在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分

段可導(dǎo).則7W殷/Fourier枳分海足：對于任意m(-8,8)成立

穎X+。)+亦-0H=￡￡眇心￡火”或馨

Definition3.2(Fourier變換)

$%)]=F(&=「"*7北(3.5)

川)=?尸史第f⑷改以(3.6)

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Example3.3

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Example3.3

解

)urier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理?Addition1heorem

筍劭對+傀3)1=。步IA圳+0g(x)].(3.7)

片島rf}<SIXI)Tt-vtftN

)、一u二nec-r比zll出本性質(zhì)

(1)加法定理?AdditionTheorem

(3.

(2)相似性定理-SimilarityTheorem

'3)|=箱)

筍[勁對+傀3)1=。步IA圳+A|g(x)].

Fourier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理-AdditionTheorem

筍［q/W+傀3)1=。步(3.

7)

⑵相似性定理嚼鼬/heorem

(3)延退定理ShiftTheorem

僧冊?-邛)，筍冊川

Fourier變換及其基本性質(zhì)

(1)加法定理-AdditionTheorem

筍[q/W+傀3)1=,^W?]+D筍凰圳.(3.7)

(2)相似性定理-SimilarityTheorem

(3)延退定理-ShiftTheorem

僧冊?-邛)，筍冊川

(4)位移定理一Translation

:本性質(zhì)

(5)導(dǎo)數(shù)定理-DerivativeTheorem

如果/W,f[x)都可進(jìn)行Fourier變熱且當(dāng)M->oo時.JW-0,則

夕(Tb)]=譏筍帆圳?

如Ar)為，，階連續(xù)可微函數(shù).且血1下％)=0(*=1.2

W-M0

如/(*)及圳X)都可以進(jìn)行Fourier變換,則

(3.12)

本性質(zhì)

如對給定的力(圳必)「當(dāng)*€(?*)時,

(3.8)

存在，則林為為⑴-E7.個1的卷枳(Convolution),記為方，為.

多伉㈤?力(x)|=齊同y網(wǎng)

，內(nèi)㈤=7步閡?為酣：3.10'

Fourier變換及其基本性質(zhì)

Proof.

即，加=Ie^dxI/i(x-r歷(，)由

J-BJ-CD

力Ha

\/i(x-l)eu^M*-/)

=「力（，）媳”命（永7生

=）［川）⑸.

□

禪壹力詢It。構(gòu)雁方W

Fourier變換及其基本性質(zhì)

（7）枳分定理一IntegralTheorem

如果當(dāng)*一+<?時］匚jw&-°,則

夕力口，=

換及其基本性質(zhì)

如果當(dāng)*-+8時］匚JW&-S則

加,二/LXx）］.

（8）乘枳定理-PowerTheorem

若少（AS）］=F少）.4仿（圳=切（4）.則

匚，（心（*）位=&￡芯（幻由，1）小=￡￡目以）呂（X）心.

2其基本性質(zhì)

⑻乘枳定理-PowerTheorem

若少(AS)]=Fi3).4仿(圳=切(4).則

匚，（心（*）位=&￡芯（幻由，1）小=￡￡目以）呂（X）心.

Fourier變換及其基本性質(zhì)

n維Fourier變換與Fourier逆變換

,Ie'-

(3.13)

川……電二爵￡...￡「功那5"*財…此-(3.14)

熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解

利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchy

315)

316)

心0)=奴*)?

熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解

利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchv問題

備*啜+"5°，⑸

w（x,0）=乎國.（3.16）

求解步牌：

0將方程與初始條件兩端關(guān)于空問變量作Fourier變換，從而將問^化為常

微分方程Cauchy問題；

9求解所徂的常微分方程Cauchv向題；

□對所得的常微分方程Cmichy問題的解進(jìn)行Fourier逆變換，從而得原問

II的解.

熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解

視，為參數(shù)，先求解齊次熱傳導(dǎo)萬程的Cauchym

dJ案，⑶17）

心。）=口寸318）

對（3.17）、（3.18）關(guān)于■進(jìn)行Fourier變換.得

319）

訊,L0)=。3)

（3.19）、（3.20）的解為20)

問題E

n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土

5中忐沖”制

二忐￡孫叩，嚅2住，⑵

公式（122）稱為Poisson公式，其右端枳分稱為Poisson枳分.言己基本解S（x.

I）為

熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解

n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土

5中忐沖”制

二忐￡孫叩，嚅2住，⑵

公式（122）稱為Poisson公式,其右端枳分稱為Poisson枳分.BE基本解S（x.

。為

hW從（3.22）式可見，Poisson公式給出的解訊土，）在任一點在/（/>0>的值.

依賴丁?初始數(shù)據(jù)任任）在整個*軸上的值，沒有有限的依賴區(qū)域，因而在初始時

刻的捱動也沒有有限的傳播速度.

問題

求解

題時

hy問

auc

程C

導(dǎo)方

熱傳

網(wǎng)

iohy

的CM

條件

初始

齊次

只白

方程

傳導(dǎo)

次熱

非齊

求解

卜.而

即

(3.

)

就4

-

=0

,0)

M(X

寫為

解可

題的

hy問

Cauc

理，此

mel原

Duha

根據(jù)

325)