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文檔簡介
第二章熱傳導(dǎo)方程
HeatEquations
齊海濤
IPX學(xué)匚城枷)瓠學(xué)與境口.學(xué)唬
htqisdugoiail.com
目錄
O熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出
O初邊值問題的分離變量法
?Cauchy村題
O極值原理、定解問題解的唯,?性和穩(wěn)定性
0解的漸近性態(tài)
2015-1l-A72/始
。熱傳導(dǎo)方程的各種定解問題的提法與解法(Fourier變換法):
e與波動方程的不同點(diǎn)(如極值原理):
。熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的唯一性只在有界函數(shù)類中成立:
o熱傳導(dǎo)方程的解沒有有限的依賴區(qū)域,即擾動的傳播速度是無限的.
0熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出
熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出
問題
給定?空何物體G.設(shè)其上的點(diǎn)(”,)在時刻r的溫度為“(時;,).試求“所
滿足的方程.
問題
給定?空問物體G.設(shè)其上的點(diǎn)(”,)在時刻r的溫度為“(時;,).試求所
〃滿足的方程.
Fourier熱傳導(dǎo)定律
在一溫度場”(工中,在無窮小時間段d/內(nèi).流過一無窮小面枳塊dS的熱鼠為
1.L)
其中》為曲而微元所指方向的單位法向量,k{x.y.=)>0為物體在點(diǎn)(工尹
二)處的熱傳導(dǎo)系數(shù),偵號表示熱鼠從溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè).
設(shè)函數(shù)”關(guān)于變量X,尸,二具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于/具有一階連紋偏導(dǎo)
數(shù).在G內(nèi)任取一閉曲面.它所包困的區(qū)域?yàn)镼,由(L1)知.從時刻/I到七時刻
流入0的熱量:為
0=瞻剛.1.2)
在時間間隔(m)中物體溫度從便北*1)變化到”3).二您),它所吸收的熱
代為
彳卬c(x.y,=)p(x.y.z)[ji(x.y.=,/2)-u(x,y,z,
/i)]dxd>tt
其中c為比熱,0為密度.
如物體內(nèi)部有熱源,蚓應(yīng)考慮熱源的影響.設(shè)在單位時間內(nèi)單.位體積中所
產(chǎn)生的然量為6.則在時間間隔吊"2)中,熱源所放出的熱量為
利用Green公式角
?「血舊^雄!)+£修)}姒心
根據(jù)熱雖:守恒原理有
Hi
閱嵯償Hs山
考慮到知4與區(qū)域n的任意性.得
氣+M"房(慌)M1.5)
(1.5>式稱為非均勻的各向同性體的小步力程如物體是均勻的.即如c
及,均為常數(shù),記/=>得到
備=/僧+霸十劇功口寸?邛
其中
1.8
PC
如果物體內(nèi)部沒有熱源,則熱傳導(dǎo)力程為
晉”僭劇1.61
:1.6「稱為‘.Ihl;L7i稱為
問題的提法
初始條件:
“(W—0)=二).(1.9)
邊界條件:(0M,式7)
o第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)
心"。lr=g(*y)II.
e第二類邊界條件件)10)
(Neumann邊界條
如
di
Q第三類邊界條件件)i
,Kobin邊界條
(卷5廣^心)
tl.
13)
人t
Cauchy問題
u(x,yt3,(1)=歸(工/,二)(-1111<(1.14)
毛尸,二<8)
?維熱傳導(dǎo)方程
?維熱傳導(dǎo)方程,,
a(Pu\
di(※+初
考慮分子擴(kuò)散過程以表示在時刻代J”)點(diǎn)處擴(kuò)故物質(zhì)的濃度.今推導(dǎo)Ngq〃
所滿足的方程,
質(zhì)量守恒定律:如果在所老察的范圍內(nèi)沒有產(chǎn)生擴(kuò)散物質(zhì)的源.那么對任意
IK域Q有下式
因濃度變化而增加的成鼠=流入的質(zhì)量.
Fiek擴(kuò)散定律:在無窮小時間段由內(nèi),通過無窮小仙面塊dS-的質(zhì)量如為
ON
dm=dSdf(1.17)
八,右示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度,Dg,匕)為擴(kuò)散系數(shù).
由此可見.上述擴(kuò)散問題所依據(jù)的物理覘律與無熱源的熱傳導(dǎo)問題所依據(jù)的
物理期律具有完全相同的數(shù)量形式.于是,我們不必重負(fù)前面的推導(dǎo)過程,而可
以宜接寫出4所滿足的方程為
HE㈱驀幅E
上式稱為獷散方/,.(diffusionequations).對擴(kuò)散方程同樣訶以考虛
Cauchy問題以及第一、第二與第三初邊偵問題.
0初邊值問題的分離變量法
一個空間變量的情形
利用分離變量法求解如卜初邊值ml?:
虬==0(f>0,0wj),(2.1)
/=0:W=(2.2)
=0:w=0.(2.3)
x=Z/w..+hi=0.(2.4)
利用分離變量法求解如卜初邊值問題:
2
U,=<7MO=0(f>0,0<]<J),(2.1)
/=0:W=(2.2)
=0:M=0.(2.3)
x-I|wx+hit=0.(2.4)
令〃(xr)=X&)7‘(小代入方程得到
rx.
污=*=-」.
r'+4a2F=0,(2.5)
X〃+AY=0,(2.6)
X(0)=十戰(zhàn)(/)=0.(2.7)
當(dāng)時.只有平凡解*三。;當(dāng)時,
-V(x)=Acos+月如(2.8;
根據(jù)邊界條件*(0)=0,njA=0.由⑵7)的第二個邊界條件得到
3(Vacos<i/+hsinVSf)=0.(2.9)
為使x獷為非平凡解.a應(yīng)滿足
cosVI/4-JisinVI/=0tailVI/=一-.(2.11)
A?
一個空間變量的情形
由圖解法或數(shù)值計(jì)算知,方程(2)13)有可列無窮多個正根v,>0化=1
12...),滿足(k-;)汗〈呀〈如?因此特征值問題(2.6)、(2.7)存在著無窮
多個圓有值2
,k=(¥)2(A=1.2,.-)
(2.14)
及相應(yīng)的固有函數(shù)
由(2.5)得
故根據(jù)槿加原理得級數(shù)形式的解
2.18)
川?廠用J3
一個空間變量的情形
(2.18)應(yīng)滿足初始條件(2.3),則
心)二£?機(jī)sui(2.19)
?1
(2.2D
初二f折同二捉震寺,
?A
=—I3⑹鼠n標(biāo)fM.
MlJo
將(2.22)代入⑵18).得初邊值間題(2.1)-(2.4)的形式解為
(2.23)
一個空間變
本證函數(shù)正交性
本征函數(shù)系/Z/r/={sin在[0>/|上正交.
一個空1'可變1I:的情形
本征函數(shù)正交性
本征函數(shù)系/=(細(xì)而:}在[CU]上正交.
11設(shè)本征函數(shù)格和在分別對應(yīng)于不同的特征值七和心,即
X:+M=0,+=n
以J和X,分別乘上面第一和第二式,相減后在[0,/j上枳分,利用和X.都
滿足邊界條件(2.7).就得
i&j”疏=°-
由于&*得本征函數(shù)系的正交性,
IXXcll=sin項(xiàng)原妙=0.mt
H.(2.20)
-個空間變量的情形
?并面說明形式解(2.23)為定解伺題(2.1)-(2.4)的經(jīng)典解.當(dāng)
為有界函數(shù)時,由(2.23)式給出的形式解,當(dāng)】〉0時,關(guān)于x及,是任
意次連續(xù)可導(dǎo)的,并且滿足方程(2.1)及邊界條件(2.§、(2.4).
任意當(dāng)時,對任意級數(shù)f旱-W均是一致收斂窗斤也和(2.21)式'可得
亦)叫屈42法G(2)24)
為保證當(dāng)時,對任意的x£[0./],由(2.23)式給由的級數(shù)趨亍初值貿(mào)(工).
還需對瀏犬)加上進(jìn)一步的條件.例如€1伊(0)=0,
+hip[F)-IL
QCatichy問題
Fourier變換及其基本性質(zhì)
設(shè)頂同是定義在(-g.g)上的函藪,它在[-AJ]上有階連續(xù)等數(shù),則材可
以展開為Fourier級數(shù)
7U)=?+£(&”cmyx+b?sin學(xué)x),
/r=l'(3.1)
其中
?n=jcos如=;和彳£比S=<KL,2,…),
(3.2)
將V3.2)代入(3,1)式,得到
雨=土[徊愛.£?£麗皂第了_*.
Fourier變換及其基本性質(zhì)
設(shè)函數(shù)冷)在(?8.8)上絕對可積,當(dāng),T8時,
記七=宗("=1,2,…),ZxX=△」,]=&+1一扁二號,則訶
以得到
火)二她。;E△?!昀?河1〃T)野
=:r(Ur°Xf)<034(x-€)cT.(3.3)
兀JoJ_CO
積分表達(dá)式(3,3)稱")的Fourier將(3.3)改寫成現(xiàn)數(shù)形式川)=*
r±IAll)何。s』(T-f)+isinj(s
J-oJ_8
(3.4)
,本性質(zhì)
Theorem3.1(Fourier積分定理)
設(shè)函數(shù)JW在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分段可導(dǎo).
則7W殷夕Fourier枳分海足:對于任意m(-8,8)成立
穎X+。)+亦-OH=££眇心£火”或馨
片*泠《SIXI)岐學(xué)物+方W
本性質(zhì)
Theorem3.1(Fourier積分定理)
設(shè)函數(shù)川在(-8,8)上絕對可積.旦在(-8,2)中的任何閉區(qū)間上分
段可導(dǎo).則7W殷/Fourier枳分海足:對于任意m(-8,8)成立
穎X+。)+亦-0H=££眇心£火”或馨
Definition3.2(Fourier變換)
$%)]=F(&=「"*7北(3.5)
川)=?尸史第f⑷改以(3.6)
Fourier變換及其基本性質(zhì)
Example3.3
Fourier變換及其基本性質(zhì)
Example3.3
解
)urier變換及其基本性質(zhì)
(1)加法定理?Addition1heorem
筍劭對+傀3)1=。步IA圳+0g(x)].(3.7)
片島rf}<SIXI)Tt-vtftN
)、一u二nec-r比zll出本性質(zhì)
(1)加法定理?AdditionTheorem
(3.
(2)相似性定理-SimilarityTheorem
'3)|=箱)
筍[勁對+傀3)1=。步IA圳+A|g(x)].
Fourier變換及其基本性質(zhì)
(1)加法定理-AdditionTheorem
筍[q/W+傀3)1=。步(3.
7)
⑵相似性定理嚼鼬/heorem
(3)延退定理ShiftTheorem
僧冊?-邛),筍冊川
Fourier變換及其基本性質(zhì)
(1)加法定理-AdditionTheorem
筍[q/W+傀3)1=,^W?]+D筍凰圳.(3.7)
(2)相似性定理-SimilarityTheorem
(3)延退定理-ShiftTheorem
僧冊?-邛),筍冊川
(4)位移定理一Translation
:本性質(zhì)
(5)導(dǎo)數(shù)定理-DerivativeTheorem
如果/W,f[x)都可進(jìn)行Fourier變熱且當(dāng)M->oo時.JW-0,則
夕(Tb)]=譏筍帆圳?
如Ar)為,,階連續(xù)可微函數(shù).且血1下%)=0(*=1.2
W-M0
如/(*)及圳X)都可以進(jìn)行Fourier變換,則
(3.12)
本性質(zhì)
如對給定的力(圳必)「當(dāng)*€(?*)時,
(3.8)
存在,則林為為⑴-E7.個1的卷枳(Convolution),記為方,為.
多伉㈤?力(x)|=齊同y網(wǎng)
,內(nèi)㈤=7步閡?為酣:3.10'
Fourier變換及其基本性質(zhì)
Proof.
即,加=Ie^dxI/i(x-r歷(,)由
J-BJ-CD
力Ha
\/i(x-l)eu^M*-/)
=「力(,)媳”命(永7生
=)[川)⑸.
□
禪壹力詢It。構(gòu)雁方W
Fourier變換及其基本性質(zhì)
(7)枳分定理一IntegralTheorem
如果當(dāng)*一+<?時]匚jw&-°,則
夕力口,=
換及其基本性質(zhì)
如果當(dāng)*-+8時]匚JW&-S則
加,二/LXx)].
(8)乘枳定理-PowerTheorem
若少(AS)]=F少).4仿(圳=切(4).則
匚,(心(*)位=&£芯(幻由,1)小=££目以)呂(X)心.
2其基本性質(zhì)
⑻乘枳定理-PowerTheorem
若少(AS)]=Fi3).4仿(圳=切(4).則
匚,(心(*)位=&£芯(幻由,1)小=££目以)呂(X)心.
Fourier變換及其基本性質(zhì)
n維Fourier變換與Fourier逆變換
,Ie'-
(3.13)
川……電二爵£...£「功那5"*財…此-(3.14)
熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解
利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchy
315)
316)
心0)=奴*)?
熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解
利用Fourier變換求解熱傳導(dǎo)方程Cauchv問題
備*啜+"5°,⑸
w(x,0)=乎國.(3.16)
求解步牌:
0將方程與初始條件兩端關(guān)于空問變量作Fourier變換,從而將問^化為常
微分方程Cauchy問題;
9求解所徂的常微分方程Cauchv向題;
□對所得的常微分方程Cmichy問題的解進(jìn)行Fourier逆變換,從而得原問
II的解.
熱傳導(dǎo)方程Cauchy間題的求解
視,為參數(shù),先求解齊次熱傳導(dǎo)萬程的Cauchym
dJ案,⑶17)
心。)=口寸318)
對(3.17)、(3.18)關(guān)于■進(jìn)行Fourier變換.得
319)
訊,L0)=。3)
(3.19)、(3.20)的解為20)
問題E
n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土
5中忐沖”制
二忐£孫叩,嚅2住,⑵
公式(122)稱為Poisson公式,其右端枳分稱為Poisson枳分.言己基本解S(x.
I)為
熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的求解
n心0=.k問小逐f=諷刁*.戶乍京土
5中忐沖”制
二忐£孫叩,嚅2住,⑵
公式(122)稱為Poisson公式,其右端枳分稱為Poisson枳分.BE基本解S(x.
。為
hW從(3.22)式可見,Poisson公式給出的解訊土,)在任一點(diǎn)在/(/>0>的值.
依賴丁?初始數(shù)據(jù)任任)在整個*軸上的值,沒有有限的依賴區(qū)域,因而在初始時
刻的捱動也沒有有限的傳播速度.
問題
求解
題時
hy問
auc
程C
導(dǎo)方
熱傳
網(wǎng)
iohy
的CM
條件
初始
齊次
只白
方程
傳導(dǎo)
次熱
非齊
求解
卜.而
即
(3.
)
就4
-
=0
,0)
M(X
寫為
解可
題的
hy問
Cauc
理,此
mel原
Duha
根據(jù)
325)
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