高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.1直線方程(精講)(原卷版+解析)

8.1直線方程【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線的方向向量設(shè)A，B是直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用5．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1與v2不共線k1≠k2A1B2－A2B1≠06.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).必備技巧1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．【題型精講】【題型一直線的傾斜角與斜率】必備技巧傾斜角和斜率的變化直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)例2(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．2.(2023·濟(jì)南高三期末）設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型二求直線的方程】必備技巧求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．例3(2023·青島高三模擬）(1)已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4) B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4) D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)(2)(多選)過(guò)點(diǎn)(－3,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能是()A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0例4(2023·山東日照高三模擬）已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．【跟蹤精練】1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的倍，則該直線的方程為_(kāi)_______．2.(2023·全國(guó)高三模擬）已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝03.(2023·浙江高三模擬）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．【題型三直線的位置關(guān)系】方法技巧判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論例5(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，，直線，，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．例6(2023·廣東深圳市·高三二模）“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))【題型四兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題】方法技巧利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．例7（1）（2023·湖南高考真題）點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．（2）（2023·浙江高三專題練習(xí)）已知直線，直線，則與之間的距離為（）A． B． C． D．例8(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)【題型精練】1.設(shè)直線l：與直線平行，則點(diǎn)到l的距離的最小值為（）A． B．1 C． D．2.(2023·山東青島·二模）直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是________．【題型五對(duì)稱問(wèn)題】方法技巧對(duì)稱問(wèn)題的求解策略(1)解決對(duì)稱問(wèn)題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對(duì)稱問(wèn)題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題．例9已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l′的方程．【題型精練】1.已知直線，則點(diǎn)P(2，2)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)2.(2023·山東青島·二模）直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B． C． D．8.1直線方程【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線的方向向量設(shè)A，B是直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用5．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1與v2不共線k1≠k2A1B2－A2B1≠06.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).必備技巧1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．【題型精講】【題型一直線的傾斜角與斜率】必備技巧傾斜角和斜率的變化直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)答案：D【解析】直線l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).例2(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案：B【解析】依題意，直線的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)∈[－1,0)，因此其傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選：D.2.(2023·濟(jì)南高三期末）設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：C【解析】當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，傾斜角的范圍是．故選：C．【題型二求直線的方程】必備技巧求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．例3(2023·青島高三模擬）(1)已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4) B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4) D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)答案：C【解析】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，所以直線l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)．(2)(多選)過(guò)點(diǎn)(－3,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能是()A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0答案：AB【解析】當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx，將點(diǎn)(－3,1)的坐標(biāo)代入得k＝－eq\f(1,3)，此時(shí)直線的方程為x＋3y＝0；當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，將點(diǎn)(－3,1)的坐標(biāo)代入得a＝－2，此時(shí)直線的方程為x＋y＋2＝0.例4(2023·山東日照高三模擬）已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．【解析】方法一設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a>0，b>0，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值為eq\f(1,2)×ab＝eq\f(1,2)×8＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.【跟蹤精練】1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的倍，則該直線的方程為_(kāi)_______．答案：或【解析】當(dāng)截距為零時(shí)，直線方程為：，即；當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為：，又直線過(guò)點(diǎn)，，解得：，直線方程為，即；綜上所述：所求直線的方程為或.故答案為：或.2.(2023·全國(guó)高三模擬）已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0答案：D【解析】設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝k＝2，直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，所得直線的斜率k′＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3，又點(diǎn)M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.3.(2023·浙江高三模擬）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．(1)證明直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴無(wú)論k取何值，直線l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－2,1)．(2)解由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1，))解得k>0；當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．(3)解由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k>0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0.【題型三直線的位置關(guān)系】方法技巧判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論例5(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，，直線，，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：D.例6(2023·廣東深圳市·高三二模）“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】當(dāng)兩直線平行，∴，解得或，當(dāng)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線平行．所以“”是“直線與直線平行”的充要條件．故選：C【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴“m＝3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))答案：D【解析】由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過(guò)2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點(diǎn)．當(dāng)直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時(shí)，m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3)；當(dāng)直線mx－y－1＝0過(guò)2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點(diǎn)時(shí)，m＝－eq\f(2,3).所以實(shí)數(shù)m的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).【題型四兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題】方法技巧利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．例7（1）（2023·湖南高考真題）點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．（2）（2023·浙江高三專題練習(xí)）已知直線，直線，則與之間的距離為（）A． B． C． D．答案：（1）D（2）D【解析】（1）點(diǎn)到直線的距離為，故選：D.（2）直線的方程可化為，則與之間的距離．故選：D例8(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)答案：C【解析】因?yàn)閑q\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).【題型精練】1.設(shè)直線l：與直線平行，則點(diǎn)到l的距離的最小值為（）A． B．1 C． D．答案：A【解析】由已知兩直線平行，∴,∴直線,∴到l的距離的,當(dāng)時(shí)取到最小值,故選：2.(2023·山東青島·二模）直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是________．答案：(0,5]【解析】當(dāng)直線l1，l2都與過(guò)(3,0)，(0,4)兩點(diǎn)的直線垂直時(shí)，dmax＝eq\r(32＋42)＝5；當(dāng)直線l1和l2都經(jīng)過(guò)(3,0)，(0,4)兩