高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.4橢圓及其性質(zhì)(精練)(原卷版+解析)

8.4橢圓及其性質(zhì)【題型解讀】【題型一橢圓的定義及應(yīng)用】1.(2023·全國·高三階段練習(xí)）“”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件2.(2023·江蘇省如皋中學(xué)高三開學(xué)考試）橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸長 B．有相等的離心率C．有相同的焦點(diǎn) D．有相等的焦距3.△ABC的兩個頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周長為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)4.(2023·武漢調(diào)研)設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點(diǎn)為F，則對于橢圓上兩動點(diǎn)A，B，△ABF周長的最大值為()A．4＋eq\r(5) B．6C．2eq\r(5)＋2 D．85.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上半部分上任意一點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值______________6.(2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為________．【題型二焦點(diǎn)三角形問題】1.（多選）（2023·河北唐山·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，若是直角三角形，則的面積可能為（）A．5 B．4 C． D．2.(2023·山東日照高三模擬）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則________.3.(2023·重慶一中高三期中）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（）A．20 B．16 C．18 D．144.(2023·武功縣普集高級中學(xué)期末）已知為橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，，則______．5.(2023·全國高三模擬）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．【題型三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．2.(2023·廣東深圳市·高三二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為8π，過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B且△F2AB的周長為32，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”．則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是（）A． B． C． D．4.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝15.(2023·山西太原五中高三期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝16.(2023·山西高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在x軸上，離心率為，過的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且的周長為16，那么C的方程為（）A． B．C． D．【題型四橢圓的性質(zhì)】1.已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.2.過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．3.(2023·浙江·高三開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4.(2023·江西·高三開學(xué)考試）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，若△ABF面積的最大值恰為2，則橢圓E的長軸長的最小值為________．8.4橢圓及其性質(zhì)【題型解讀】【題型一橢圓的定義及應(yīng)用】1.(2023·全國·高三階段練習(xí)）“”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件答案：C【解析】因?yàn)椋ǎ┦墙裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以,解得：，由可得成立，反之不能推出成立.所以”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件．故選：C．2.(2023·江蘇省如皋中學(xué)高三開學(xué)考試）橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸長 B．有相等的離心率C．有相同的焦點(diǎn) D．有相等的焦距答案：D【解析】由題意，對于橢圓，焦點(diǎn)在x軸上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝，對于橢圓，因?yàn)?5－k＞9－k＞0，所以焦點(diǎn)在y軸上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝≠，故選項(xiàng)D正確，其他選項(xiàng)錯誤.故選：D.3.△ABC的兩個頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周長為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)答案：A【解析】由題知點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離之和為10，故C的軌跡為以A(－3,0)，B(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.又A，B，C三點(diǎn)不能共線，所以eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．4.(2023·武漢調(diào)研)設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點(diǎn)為F，則對于橢圓上兩動點(diǎn)A，B，△ABF周長的最大值為()A．4＋eq\r(5) B．6C．2eq\r(5)＋2 D．8答案：D【解析】設(shè)F1為橢圓的另外一個焦點(diǎn)，則由橢圓的定義可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)不共線時，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，△ABF的周長取得最大值8.5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上半部分上任意一點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值______________【解析】由橢圓的方程化為，可得，∴．如圖所示．∵，∴．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號．∴的最小值為．6.(2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為________．答案：【解析】由題,設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點(diǎn)為.又,.故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長線上時取等號.此時最大值為.故答案為：.【題型二焦點(diǎn)三角形問題】1.（多選）（2023·河北唐山·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，若是直角三角形，則的面積可能為（）A．5 B．4 C． D．答案：BC【解析】由可得，，所以，根據(jù)對稱性只需考慮或，當(dāng)時，將代入可得，如圖：，，所以的面積為，當(dāng)時，由橢圓的定義可知：，由勾股定理可得，因?yàn)椋?，解得：，此時的面積為，綜上所述：的面積為或.故選：BC.2.(2023·山東日照高三模擬）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則________.答案：【解析】根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，點(diǎn)在橢圓上，若，則，在△中，，，，則，則有，故答案為．3.(2023·重慶一中高三期中）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（）A．20 B．16 C．18 D．14答案：C【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選C.4.(2023·武功縣普集高級中學(xué)期末）已知為橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，，則______．答案：【解析】由已知得，，所以，從而，在中，，即，①由橢圓的定義得，即，②由①②得，所以.故答案為：5.(2023·全國高三模擬）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由橢圓的定義，，由余弦定理有：，化簡整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.故選：B.【題型三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．答案：【解析】所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即，聯(lián)立兩個方程得，即，解得b2=4，則a2=20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：2.(2023·廣東深圳市·高三二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為8π，過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B且△F2AB的周長為32，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．答案：B【解析】∵焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，∴可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，∴，即，∵△F2AB的周長為32，∴4a＝32，則a＝8，∴，故橢圓方程為．故選：B．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”．則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是（）A． B． C． D．答案：BC【解析】設(shè)點(diǎn)P到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離分別為m和，則，即．因?yàn)?，則，所以．對A，a=4,c=1，不滿足；對B，a=3,c=1，滿足；對C，a=5,c=2，滿足；對D，a=6,，不滿足.故選：BC．4.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1答案：C【解析】設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，因?yàn)镸F1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq\r(5)，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因?yàn)閏＝eq\r(5)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝2.所以橢圓的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.5.(2023·山西太原五中高三期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案：B【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A為橢圓的短軸端點(diǎn)．如圖，不妨設(shè)A(0，b)，又F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(b,2))).將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(b2,4b2)＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.6.(2023·山西高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在x軸上，離心率為，過的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且的周長為16，那么C的方程為（）A． B．C． D．答案：D【解析】根據(jù)題意，的周長為16，即,根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有，即；橢圓的離心率為，即，則，故，則，則橢圓的方程為，故選：D．【題型四橢圓的性質(zhì)】1.已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.答案：【解析】由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.2.過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正