高一數(shù)學下學期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第01講數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念(原卷版+解析)

第1講數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點1復數(shù)的概念及代數(shù)表示1.數(shù)系擴充的脈絡自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集→復數(shù)集．2.復數(shù)集①定義：全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集．②表示：通常用大寫字母C表示．3.復數(shù)①定義：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．滿足i2＝－1.a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部．②表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式．注：復數(shù)概念的三點說明(1)復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)復數(shù)的虛部是實數(shù)b而非bi.(3)復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是．易錯辨析：任意兩個復數(shù)都能比較大?。咳我鈨蓚€復數(shù)都不能比較大??？當兩個復數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，當兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小.知識點2兩個復數(shù)相等的充要條件在復數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.注：(1)在兩個復數(shù)相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立．(2)利用該條件把復數(shù)的實部和虛部分離出來，達到“化虛為實”的目的，從而將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解．知識點3復數(shù)的分類(1)復數(shù)(a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0,非純虛數(shù)a≠0))))(2)集合表示：考點一復數(shù)的有關概念解題方略：復數(shù)概念的幾個關注點(1)復數(shù)的代數(shù)形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.(2)不要將復數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復數(shù)的兩大構成部分．(3)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答判斷命題真假類題目時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答．【例1】給出下列幾個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1虛部是2i；③2i的實部是0；④若實數(shù)a與ai對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；⑤實數(shù)集的補集是虛數(shù)集．⑥的平方根是其中真命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3變式1：已知復數(shù)z＝1＋i，則下列結論中正確的個數(shù)是()①z的實部為1；②z>0；③z的虛部為i.A．1B．2C．3 D．0變式2：下列命題正確的是________．①復數(shù)－i＋1的虛部為－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，則z1>z2.③任意兩個復數(shù)都不能比較大小．【例2】請說出下列復數(shù)的實部和虛部．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i變式1：已知復數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是________．變式2：若復數(shù)2－bi(b∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為()A．－2B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2變式3：【多選】已知復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能為（）A． B． C． D．變式4：已知復數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i的實部大于虛部，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．－1或3 B．或C．或 D．或考點二復數(shù)的分類解題方略：復數(shù)分類解題策略判斷一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)，應首先保證復數(shù)的實部、虛部均有意義．其次根據(jù)分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．【例3】給出下列命題：①自然數(shù)集是非負整數(shù)集；②實數(shù)集與復數(shù)集的交集為實數(shù)集；③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是｛0｝；④純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集.其中，假命題是________.（填序號）變式1：下列結論中，正確的是（）A． B．C． D．變式2：設集合，，，則，，間的關系為（）A． B． C． D．變式3：【多選】有下列四個命題，其中正確的是（

）①方程2x－5＝0在自然數(shù)集N中無解；②方程2x2＋9x－5＝0在整數(shù)集Z中有一解，在有理數(shù)集Q中有兩解；③x＝i是方程x2＋1＝0在復數(shù)集C中的一個解；④x4＝1在R中有兩解，在復數(shù)集C中也有兩解.A．① B．②C．③ D．④【例4】對于復數(shù)，下列結論中正確的是（）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則，C．若，則為實數(shù)D．若，則z不是復數(shù)變式1：實數(shù)m取什么值時，復數(shù)是：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）0？變式2：當m為何實數(shù)時，復數(shù)z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數(shù)；(2)是純虛數(shù)；（3）z為實數(shù).(4)當m為何值時，z>0.變式3：已知，若復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A．0 B．2 C． D．變式4：已知為虛數(shù)單位，復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1或2 B．2 C．1或2 D．1變式5：已知復數(shù)，，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件變式6：已知，i為虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式7：復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是（

）A． B．且C．且 D．且變式8：若復數(shù)是虛數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．變式9：已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虛數(shù)，求m的取值范圍．變式10：若復數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則a的取值范圍是________．變式11：復數(shù)z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為()A．1或－1B．1C．－1 D．0或－1變式12：若復數(shù)a+(a+1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．0 C．-1 D．變式13：已知復數(shù)是負實數(shù)，則實數(shù)的值為___________．變式14：已知復數(shù)z＝m＋(m2－1)i(m∈R)滿足z<0，則m＝________.變式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1則實數(shù)m的值為______．變式16：已知，，若(為虛數(shù)單位)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．變式17：如果復數(shù)，那么實數(shù)a的值是（）.A．不等于1的實數(shù) B．不等于—1的實數(shù)C．不等于的實數(shù) D．任意實數(shù)變式18：求實數(shù)分別取什么值時，復數(shù)是：（1）當實數(shù)求值；（2）當純虛數(shù)求值．考點三復數(shù)相等及其應用解題方略：復數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn)．(3)如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的．【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，則a2＋b2＝________.變式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值；變式2：滿足x－3i＝(8x－y)i的實數(shù)x，y的值為()A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0變式3：已知復數(shù)z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，則a＝()A．2 B．3C．－3 D．9變式4：若，則實數(shù)的值為（）A．8 B． C．0 D．8或0變式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求實數(shù)a的值．變式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為()A.eq\f(1,2)B．2C．0 D．1變式7：已知復數(shù)z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－7，\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))【例6】為虛數(shù)單位，若關于的方程有實根，則實數(shù)___________，變式1：關于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．變式2：已知關于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復數(shù)z等于()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i變式3：若關于的方程有實根，求純虛數(shù).練習一復數(shù)的有關概念1、下列命題中，正確的是（）A．任意兩個復數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復數(shù)都不能比較大小C．設，如果，那么 D．設，如果，那么2、下列說法正確的是（

）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復數(shù)沒有虛部3、【多選】已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是A．若,則是純虛數(shù) B．虛部為的虛數(shù)有無數(shù)個C．實數(shù)集是復數(shù)集的真子集 D．兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等4、有下列說法：①兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等；②兩個復數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；③是一個復數(shù)；④純虛數(shù)的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一個，即為；⑥是一個無理數(shù)．其中正確的有________(填序號)．5、【多選】已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是A．若，且，則B．任意兩個虛數(shù)都不能比較大小C．若復數(shù)，滿足，則D．的平方等于16、【多選】下列命題中錯誤的有（

）A．若，則的充要條件是B．純虛數(shù)集相對于復數(shù)集的補集是虛數(shù)集C．，若，則D．若實數(shù)與對應，則實數(shù)集與復數(shù)集一一對應7、已知i是虛數(shù)單位，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8、已知復數(shù)z的實部為－1，虛部為－3，則______.9、若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部是（）A．1 B．-2 C． D．10、復數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),2)))i的虛部為()A．2B．－eq\f(\r(3),2)C．2－eq\f(\r(3),2) D．011、據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學家評價它是“最完美的數(shù)學公式”.根據(jù)歐拉公式，復數(shù)的虛部（

）A． B． C． D．12、已知復數(shù)z1＝1＋3i的實部與復數(shù)z2＝－1－ai的虛部相等，則實數(shù)a等于()A．－3 B．3C．－1 D．1練習二復數(shù)的分類1、設集合A＝{實數(shù)}，B＝{純虛數(shù)}，C＝{復數(shù)}，若全集S＝C，則下列結論正確的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(?SB)＝?D．(?SA)∪(?SB)＝C2、在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.68這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為()A．0B．1C．2 D．33、下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±2；③實數(shù)集是復數(shù)集的真子集．其中正確說法的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．34、若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為______．5、已知a為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則________．6、若是純虛數(shù)，則（

）A．或2 B．2 C． D．37、若z=（m2+6）+（2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為________.8、若復數(shù)（a，b為實數(shù)）則“”是“復數(shù)z為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件9、已知復數(shù)，，則“”是“為純虛數(shù)”的______條件．（填寫“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一個）10、使不等式成立的實數(shù)______．11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（

）A．0 B．－1C． D．12、實數(shù)m分別為何值時，復數(shù)是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).13、已知復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若復數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若復數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（4）若復數(shù)z是0，求實數(shù)m的值．14、當實數(shù)m分別為何值時，(1)復數(shù)是：實數(shù)？虛數(shù)？(2)復數(shù)純虛數(shù)？15、設復數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，試求m取何值時？(1)z是實數(shù)；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對應的點位于復平面的第一象限．16、設z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．（1）若z1是純虛數(shù)，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若z1＞z2，求實數(shù)x的取值范圍．17、求使成立的自然數(shù)，的值.練習三復數(shù)相等及其應用1、已知，其中，為虛數(shù)單位，則___________.2、若(x-2y)i=2x+1+3i，則實數(shù)x，y的值分別為____.3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，則實數(shù)a的值為________．4、已知，則實數(shù)的取值分別為______．5、若實數(shù)、滿足，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．6、分別求滿足下列條件的實數(shù)x，y的值．(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.7、已知，則__________．8、若復數(shù)，（），，則等于（

）A．（） B．（）C．（） D．（）9、已知關于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實根，求實數(shù)m的值．10、若方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值是____________．11、設兩個復數(shù)集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集為非空集合，則實數(shù)λ的取值范圍是（

）A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]第1講數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點1復數(shù)的概念及代數(shù)表示1.數(shù)系擴充的脈絡自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集→復數(shù)集．2.復數(shù)集①定義：全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集．②表示：通常用大寫字母C表示．3.復數(shù)①定義：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．滿足i2＝－1.a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部．②表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式．注：復數(shù)概念的三點說明(1)復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)復數(shù)的虛部是實數(shù)b而非bi.(3)復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是．易錯辨析：任意兩個復數(shù)都能比較大?。咳我鈨蓚€復數(shù)都不能比較大?。慨攦蓚€復數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，當兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小.知識點2兩個復數(shù)相等的充要條件在復數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.注：(1)在兩個復數(shù)相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立．(2)利用該條件把復數(shù)的實部和虛部分離出來，達到“化虛為實”的目的，從而將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解．知識點3復數(shù)的分類(1)復數(shù)(a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0,非純虛數(shù)a≠0))))(2)集合表示：考點一復數(shù)的有關概念解題方略：復數(shù)概念的幾個關注點(1)復數(shù)的代數(shù)形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.(2)不要將復數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復數(shù)的兩大構成部分．(3)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答判斷命題真假類題目時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答．【例1】給出下列幾個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1虛部是2i；③2i的實部是0；④若實數(shù)a與ai對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；⑤實數(shù)集的補集是虛數(shù)集．⑥的平方根是其中真命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】令z＝i∈C，則i2＝－1<0，故①不正確．②中2i－1的虛部應是2，故②不正確．④當a＝0時，ai＝0為實數(shù)，故④不正確，∴只有③，⑤,⑥正確．故選D變式1：已知復數(shù)z＝1＋i，則下列結論中正確的個數(shù)是()①z的實部為1；②z>0；③z的虛部為i.A．1B．2C．3 D．0【解析】易知①正確，②③錯誤，故選A.變式2：下列命題正確的是________．①復數(shù)－i＋1的虛部為－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，則z1>z2.③任意兩個復數(shù)都不能比較大小．【解析】①復數(shù)－i＋1＝1－i，虛部為－1，正確；②若z1，z2不全為實數(shù)，則z1，z2不能比較大小，錯誤；③若兩個復數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，錯誤．答案：①【例2】請說出下列復數(shù)的實部和虛部．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i【解析】直接根據(jù)復數(shù)實部虛部的定義得到答案.（1）的實部為2，虛部為3.（2）的實部為，虛部為.（3）的實部為，虛部為1.（4）的實部為，虛部為0.（5）的實部為0，虛部為.（6）0實部為0，虛部為0.（7）3i2＋7i＝－3＋7i，實部為－3，虛部為7.變式1：已知復數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是________．【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b－2＝3，))∴a＝±eq\r(2)，b＝5.變式2：若復數(shù)2－bi(b∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為()A．－2B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2【解析】復數(shù)2－bi的實部為2，虛部為－b，由題意知2＝－(－b)，即b＝2.故選D.變式3：【多選】已知復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能為（）A． B． C． D．【解析】由題意得：，解得：或或或故選：變式4：已知復數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i的實部大于虛部，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．－1或3 B．或C．或 D．或【解析】由已知實部大于虛部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，解得或，故實數(shù)a的取值范圍是或.故選：B.考點二復數(shù)的分類解題方略：復數(shù)分類解題策略判斷一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)，應首先保證復數(shù)的實部、虛部均有意義．其次根據(jù)分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．【例3】給出下列命題：①自然數(shù)集是非負整數(shù)集；②實數(shù)集與復數(shù)集的交集為實數(shù)集；③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是｛0｝；④純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集.其中，假命題是________.（填序號）【解析】①②④顯然正確，②中復數(shù)包括實數(shù)和虛數(shù)，③中實數(shù)和虛數(shù)只能是并列關系，不存在交集，故③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是空集，故③錯.故答案為：③變式1：下列結論中，正確的是（）A． B．C． D．【解析】根據(jù)范圍的大小關系得到：.故選：C.變式2：設集合，，，則，，間的關系為（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)復數(shù)的定義，復數(shù)包含虛數(shù)和實數(shù)，虛數(shù)包含純虛數(shù)和非純虛數(shù)的虛數(shù)．因此只有B正確．故選：B．變式3：【多選】有下列四個命題，其中正確的是（

）①方程2x－5＝0在自然數(shù)集N中無解；②方程2x2＋9x－5＝0在整數(shù)集Z中有一解，在有理數(shù)集Q中有兩解；③x＝i是方程x2＋1＝0在復數(shù)集C中的一個解；④x4＝1在R中有兩解，在復數(shù)集C中也有兩解.A．① B．②C．③ D．④【解析】①方程2x－5＝0根為，故方程在自然數(shù)集N中無解，正確；②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整數(shù)集Z中有一解-5，在有理數(shù)集Q中有兩解-5和，正確；③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在復數(shù)集C中的一個解；④x4＝1在R中有兩解，在復數(shù)集C中也有四解，，故錯誤.故選：ABC.【例4】對于復數(shù)，下列結論中正確的是（）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則，C．若，則為實數(shù)D．若，則z不是復數(shù)【解析】對A，當時，為實數(shù)，故A錯；對B，根據(jù)對應關系，，，故B錯；對C，若，則為實數(shù)，C正確；對D，若，，也是復數(shù)，故D錯.故選：C變式1：實數(shù)m取什么值時，復數(shù)是：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）0？【解析】（1）若復數(shù)是實數(shù)，則有，解得（2）若復數(shù)是虛數(shù)，則有，即（3）若復數(shù)，則有，解得變式2：當m為何實數(shù)時，復數(shù)z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數(shù)；(2)是純虛數(shù)；（3）z為實數(shù).(4)當m為何值時，z>0.【解析】(1)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))即m≠5且m≠－3時，z是虛數(shù)．(2)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))即m＝3或m＝－2時，z是純虛數(shù)．(3)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5時，z是實數(shù)．(4)因為z>0，所以z為實數(shù)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)>0，,m2－2m－15＝0，))解得m＝5.變式3：已知，若復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A．0 B．2 C． D．【解析】因為是純虛數(shù)，所以解得.故選：D.變式4：已知為虛數(shù)單位，復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1或2 B．2 C．1或2 D．1【解析】由題設，，解得.故答案為：B變式5：已知復數(shù)，，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得：或，所以由可得出為純虛數(shù)，但由為純虛數(shù)，得不出，所以“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.變式6：已知，i為虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若復數(shù)是純虛數(shù)，則；若，則是實數(shù)，所以“”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件．故選：B.變式7：復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是（

）A． B．且C．且 D．且【解析】要使得復數(shù)為純虛數(shù)，則，若，則；若，則.所以，且.故選：D.變式8：若復數(shù)是虛數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．【解析】∵復數(shù)z＝＋i(m∈R)是虛數(shù)，∴解得m>1或m<0且m≠－2.故實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：。變式9：已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虛數(shù)，求m的取值范圍．【解析】∵z是虛數(shù)，∴l(xiāng)og(3－m)≠0，且1＋m>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1<m<2或2<m<3.∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3)．變式10：若復數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則a的取值范圍是________．【解析】若復數(shù)為純虛數(shù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|－1≠0，,a2－a－2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0且a≠2，,a＝2或a＝－1，))∴a＝－1.故復數(shù)不是純虛數(shù)時a≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)變式11：復數(shù)z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為()A．1或－1B．1C．－1 D．0或－1【解析】因為復數(shù)z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是實數(shù)，且a為實數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故選C.變式12：若復數(shù)a+(a+1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．0 C．-1 D．【解析】由題意可得，解得.故選：C變式13：已知復數(shù)是負實數(shù)，則實數(shù)的值為___________．【解析】因為為負實數(shù)，所以解得故答案為：變式14：已知復數(shù)z＝m＋(m2－1)i(m∈R)滿足z<0，則m＝________.【解析】∵z<0，∴z為實數(shù)且小于0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0，,m<0，))解得m＝－1.變式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1則實數(shù)m的值為______．【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.變式16：已知，，若(為虛數(shù)單位)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【解析】因為，，，所以，即，解得或故選：B變式17：如果復數(shù)，那么實數(shù)a的值是（）.A．不等于1的實數(shù) B．不等于—1的實數(shù)C．不等于的實數(shù) D．任意實數(shù)【解析】因為復數(shù)，所以或，解得，所以實數(shù)a的值是任意實數(shù)，故選：D變式18：求實數(shù)分別取什么值時，復數(shù)是：（1）當實數(shù)求值；（2）當純虛數(shù)求值．【解析】（1）要使是實數(shù)，則，解得或．（2）要使是純虛數(shù)，則，解得．考點三復數(shù)相等及其應用解題方略：復數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn)．(3)如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的．【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，則a2＋b2＝________.【解析】由兩個復數(shù)相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.變式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值；【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))變式2：滿足x－3i＝(8x－y)i的實數(shù)x，y的值為()A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0【解析】依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－3＝8x－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3.))故選A.變式3：已知復數(shù)z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，則a＝()A．2 B．3C．－3 D．9【解析】因為z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故選B.變式4：若，則實數(shù)的值為（）A．8 B． C．0 D．8或0【解析】，又，所以，解得或，所以或8．故選：D．變式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求實數(shù)a的值．【解析】由題意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6＝0，,a2－3a－1＝3，))解得a＝－1.變式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為()A.eq\f(1,2)B．2C．0 D．1【解析】由復數(shù)相等的充要條件知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故選D.變式7：已知復數(shù)z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－7，\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))【解析】由z1＝z2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))消去m得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9,16).由于－1≤sinθ≤1，故－eq\f(9,16)≤λ≤7.故選D.【例6】為虛數(shù)單位，若關于的方程有實根，則實數(shù)___________，【解析】設該方程的實根為，則，整理得，因為，所以解得.故答案為：.變式1：關于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．【解析】設方程的實數(shù)根為x＝m，則3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).變式2：已知關于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復數(shù)z等于()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i【解析】由題意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.故選B.變式3：若關于的方程有實根，求純虛數(shù).【解析】設純虛數(shù)，其中且，可得方程，設方程有一實根，即因為，可得，解得，所以.練習一復數(shù)的有關概念1、下列命題中，正確的是（）A．任意兩個復數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復數(shù)都不能比較大小C．設，如果，那么 D．設，如果，那么【解析】當兩個復數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，所以A錯誤；當兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，所以B錯誤；因為，且，所以是實數(shù)，故，所以C正確；因為，若，則，但是此時與不能比較大小，所以D錯誤.故選:C.2、下列說法正確的是（

）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復數(shù)沒有虛部【解析】A：表示虛數(shù)單位，也是一個虛數(shù)，故A錯誤；B：由，可知的平方根是，故B正確；C：當是實數(shù)，故C錯誤；D：若，則復數(shù)虛部為0，故D錯誤；故選：B3、【多選】已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是A．若,則是純虛數(shù) B．虛部為的虛數(shù)有無數(shù)個C．實數(shù)集是復數(shù)集的真子集 D．兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等【解析】對于A,若,則,不是純虛數(shù),故A錯誤；對于B,虛部為的虛數(shù)可以表示為,有無數(shù)個,故B正確；根據(jù)復數(shù)的分類,判斷C正確；兩個復數(shù)相等一定能推出實部相等,必要性成立,但兩個復數(shù)的實部相等推不出兩個復數(shù)相等,充分性不成立,故D正確.故選:BCD.4、有下列說法：①兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等；②兩個復數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；③是一個復數(shù)；④純虛數(shù)的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一個，即為；⑥是一個無理數(shù)．其中正確的有________(填序號)．【解析】若兩個復數(shù)相等，則它們的實部、虛部均相等，故①正確；若虛部不相等，則兩個復數(shù)一定不相等，故②正確；滿足形如的數(shù)均為復數(shù)，故③正確；純虛數(shù)的平方小于0，如，故④錯誤；的平方根不止一個，因為，故⑤錯誤；是虛數(shù)，故⑥錯誤．綜上可得，①②③正確．5、【多選】已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是A．若，且，則B．任意兩個虛數(shù)都不能比較大小C．若復數(shù)，滿足，則D．的平方等于1【解析】對于選項A，∵，且，根據(jù)復數(shù)相等的性質(zhì)，則，故正確；對于選項B，∵虛數(shù)不能比較大小，故正確；對于選項C，∵若復數(shù)，滿足，則，故不正確；對于選項D，∵復數(shù)，故不正確；故選：AB．6、【多選】下列命題中錯誤的有（

）A．若，則的充要條件是B．純虛數(shù)集相對于復數(shù)集的補集是虛數(shù)集C．，若，則D．若實數(shù)與對應，則實數(shù)集與復數(shù)集一一對應【解析】A.因為，所以的充要條件不是，故A不正確；B.純虛數(shù)集相對于復數(shù)集的補集是實數(shù)集合和虛數(shù)集中的非純虛數(shù)集，故B不正確；C.因為，若，則不一定相等，比如，，滿足，此時不相等，故C不正確；D.因為規(guī)定實數(shù)與復數(shù)對應，所以復數(shù)卻沒有實數(shù)與之對應，所以只有純虛數(shù)和有原象，因此不滿足實數(shù)集與復數(shù)集一一對應，故D不正確.故選：ABCD7、已知i是虛數(shù)單位，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】i是虛數(shù)單位，則，“”是“”的充分條件；由，得，故“”是“”的不必要條件；故“”是“”的充分不必要條件，故選：A8、已知復數(shù)z的實部為－1，虛部為－3，則______.【解析】由已知可得－1.故答案為：－19、若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部是（）A．1 B．-2 C． D．【解析】的虛部是.故選：B10、復數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),2)))i的虛部為()A．2B．－eq\f(\r(3),2)C．2－eq\f(\r(3),2) D．0【解析】由復數(shù)定義知C正確．故選C.11、據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學家評價它是“最完美的數(shù)學公式”.根據(jù)歐拉公式，復數(shù)的虛部（

）A． B． C． D．【解析】由題意，得，則復數(shù)的虛部為.故選：D.12、已知復數(shù)z1＝1＋3i的實部與復數(shù)z2＝－1－ai的虛部相等，則實數(shù)a等于()A．－3 B．3C．－1 D．1【解析】易知1＋3i的實部為1，－1－ai的虛部為－a，則a＝－1.故選C.練習二復數(shù)的分類1、設集合A＝{實數(shù)}，B＝{純虛數(shù)}，C＝{復數(shù)}，若全集S＝C，則下列結論正確的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(?SB)＝?D．(?SA)∪(?SB)＝C【解析】集合A，B，C的關系如圖，可知只有(?SA)∪(?SB)＝C正確．故選D.2、在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.68這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為()A．0B．1C．2 D．3【解析】由純虛數(shù)的定義可知eq\f(2,7)i,(1－eq\r(3))i是純虛數(shù)．故選C.3、下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±2；③實數(shù)集是復數(shù)集的真子集．其中正確說法的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】對于復數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數(shù)．對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，故①錯誤．對于②，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，故②錯誤．顯然，③正確．故選B.4、若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為______．【解析】因為復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.5、已知a為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則________．【解析】若復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.故答案為：.6、若是純虛數(shù)，則（

）A．或2 B．2 C． D．3【解析】是純虛數(shù)，，解得：.故選：C.7、若z=（m2+6）+（2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為________.【解析】為純虛數(shù)，則，解得，故答案為：．8、若復數(shù)（a，b為實數(shù)）則“”是“復數(shù)z為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】根據(jù)復數(shù)的概念，當且時，復數(shù)z為純虛數(shù)，反之，當復數(shù)z為純虛數(shù)時，且所以“”是“復數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選：B9、已知復數(shù)，，則“”是“為純虛數(shù)”的______條件．（填寫“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一個）【解析】當時，為純虛數(shù)，充分性成立，若純虛數(shù)，則，解得，必要性成立，∴“”是“為純虛數(shù)”的充要條件．故答案為：充要．10、使不等式成立的實數(shù)______．【解析】因為，所以，解得或；解得或；解得綜上可得故答案為：11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（

）A．0 B．－1C． D．【解析】由，可知兩個復數(shù)均為實數(shù)，即其虛部為零，故，即，解得a＝0.故選：A.12、實數(shù)m分別為何值時，復數(shù)是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).【解析】復數(shù).（1）要使z為實數(shù)，只需，解得：m=0或m=3；（2）要使z為虛數(shù)，只需，解得：且；（3）要使z為純虛數(shù)，只需，解得：m=2.13、已知復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若復數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若復數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（4）若復數(shù)z是0，求實數(shù)m的值．【解析】（1）當m2－2m－15＝0時，復數(shù)z為實數(shù)，所以m＝5或－3.（2）當m2－2m－15≠0時，復數(shù)z為虛數(shù)．所以m≠5且m≠－3.所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≠5且m≠－3}．（3）當時，復數(shù)z是純虛數(shù)，所以m＝－2.（4）當時，復數(shù)z是0，所以m＝－3.14、當實數(shù)m分別為何值時，(1)復數(shù)是：實數(shù)？虛數(shù)？(2)復數(shù)純虛數(shù)？【解析】(1)若