高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)10.4.1隨機(jī)變量及其分布列(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第十章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.4.1隨機(jī)變量及其分布列（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn二二項(xiàng)分布與超幾何分布1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗(yàn)時(shí)，人們總是約定這n次試驗(yàn)是互相獨(dú)立的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q=1-p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)=，k=0，1，2，…，n，X的分布列為：01?k?n??X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)3．超幾何分布一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時(shí)取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，這里的X稱為服從參數(shù)N，n，M的超幾何分布，記作X~H(N，n，M).如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時(shí)X的分布列如下表:01?k?s??三隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、均值（1）定義：一般地，由離散型隨機(jī)變量X的分布列E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱為期望).（2）常見的均值=1\*GB3①若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X~B(n，p)，則E(X)=np.=2\*GB3②若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N，n，M)，則E(X)=（3）性質(zhì)：已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)都是實(shí)數(shù)且則Y+也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，EY=aEX+b.2.方差（1）定義：由離散型隨機(jī)變量X的分布列D(X)=[x1?E(X)]2p1+[x2?E(X)]2p2（2）常見的方差=1\*GB3①若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X~B(n，p)，則D(X)=np（1-p）.（3）性質(zhì)：已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)都是實(shí)數(shù)且則Y+也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，DY=a2四正態(tài)分布1.正態(tài)曲線(1)定義:一般地，函數(shù)φ(x)=對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也稱“鐘形曲線”，φ(x)也常記為φμ，σ(x).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn);=2\*GB3②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1;=3\*GB3③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”;σ越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”.2．正態(tài)分布如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總等于對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線φμ，σ(x)與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ，σ2).μ是X的平均值，σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差.由正態(tài)曲線的性質(zhì)及前面例題可知，如果X~N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一離散型隨機(jī)變量及其分布列典例1．設(shè)離散形隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7變式1-1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且，則等于（

）X0123P0.1ab0.1A． B． C． D．變式1-2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012Pnm若，則（

）A．6 B．7 C．20 D．21變式1-3．隨機(jī)變量的分布列如下：若，則的值是（

）X01PaA． B．1 C．2 D．3變式1-4．小林從A地出發(fā)去往B地，1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的概率為0.4，1小時(shí)10分到達(dá)的概率為0.3，1小時(shí)20分到達(dá)的概率為0.3.現(xiàn)規(guī)定1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的獎(jiǎng)勵(lì)為200元，若超過1小時(shí)到達(dá)，則每超過1分鐘獎(jiǎng)勵(lì)少2元.設(shè)小林最后獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為X元，則（

）A．176 B．182 C．184 D．186典例2．甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為，乙第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.變式2-1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的雙奧之城.某學(xué)校為了慶祝北京冬奧會(huì)的召開，特舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽.參加的學(xué)生從夏奧知識(shí)題中抽取2題，冬奧知識(shí)題中抽取1題回答，已知學(xué)生（含甲）答對(duì)每道夏奧知識(shí)題的概率為，答對(duì)每道冬奧知識(shí)題的概率為，每題答對(duì)與否不影響后續(xù)答題.(1)學(xué)生甲恰好答對(duì)兩題的概率是多少？(2)求學(xué)生甲答對(duì)的題數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式2-2．甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.變式2-3．如圖，小明家住H小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校C上學(xué)，從家到學(xué)校有，兩條路線，路線上有，，三個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為；路線上有，兩個(gè)路口，且，路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)若走路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走路線，變量X表示遇到紅燈次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.變式2-4．為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校舉辦“最強(qiáng)中學(xué)生”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).經(jīng)過前期的預(yù)賽和半決賽，最終甲?乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)人決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的班級(jí)獲得冠軍.已知甲班級(jí)在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲班級(jí)獲得冠軍的概率；(2)用表示乙班級(jí)的總得分，求的分布列與期望.題型戰(zhàn)法二二項(xiàng)分布典例3．已知隨機(jī)變量，Y服從兩點(diǎn)分布，，，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8變式3-1．設(shè)隨機(jī)變量，，若，則（

）A． B． C． D．變式3-2．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為（

）A． B． C． D．變式3-3．將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（

）A． B． C． D．變式3-4．若，則取得最大值時(shí)，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5典例4．為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，幾對(duì)中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定．某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間”．從該校學(xué)生中隨機(jī)選取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．時(shí)間人數(shù)630351064(1)從該校任選1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間小于36min的概率；(2)估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t的中位數(shù)；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該校學(xué)生中隨機(jī)挑選3人，記這3人每日使用手機(jī)的時(shí)間在的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．變式4-1．在一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度.(1)若該系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，該網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為0.9，它們之間相互不影響.求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望；(2)若該網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9，更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬元；方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬元.請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？變式4-2．青花釉里紅，俗稱“青花加紫”，是我國(guó)珍貴的瓷器品種之一．釉里紅的燒制工藝難度較大，因此燒制成功率較低假設(shè)釉里紅瓷器開窯后經(jīng)檢驗(yàn)分為成品和廢品兩類，從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中，有放回地抽取兩次，每次隨機(jī)抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為．記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p．(1)求p的值．(2)假設(shè)該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p，且每件瓷器的燒制相互獨(dú)立，這種瓷器成品每件利潤(rùn)為10萬元，廢品的利潤(rùn)為0元．現(xiàn)他燒制3件這種資器，設(shè)這3件瓷器的總利潤(rùn)為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．變式4-3．某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占到，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有．現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪（視頻率為概率）．(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時(shí)的份數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．變式4-4．《關(guān)于加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的意見》，正式把“堅(jiān)持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進(jìn)中央文件，成為指導(dǎo)中國(guó)加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想．為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某市2020年植樹節(jié)期間種植了一批樹苗，2022年市園林部門從這批樹苗中隨機(jī)抽取100棵進(jìn)行跟蹤檢測(cè)，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求樹高在225-235cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；(2)若將樹高以等級(jí)呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀．視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中機(jī)抽取3棵，求樹高等級(jí)為優(yōu)秀的棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．題型戰(zhàn)法三超幾何分布典例5．設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．變式5-1．已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為X，則（

）A．2 B．1 C． D．變式5-2．工廠為趕上618的電商大促，甲車間連夜生產(chǎn)了10個(gè)產(chǎn)品，其中有6個(gè)正品和4個(gè)次品，若從中任意抽取4個(gè)，則抽到的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（

）A． B． C． D．變式5-3．甲同學(xué)參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場(chǎng)答題的方式進(jìn)行，已知在備選的8道試題中，甲能答對(duì)其中的4道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測(cè)試，設(shè)甲答對(duì)的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．變式5-4．含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽，是新一代的碘鹽產(chǎn)品．海藻中的碘80%為無機(jī)碘，10%~20%為有機(jī)碘，海藻碘鹽兼?zhèn)錈o機(jī)碘和有機(jī)碘的優(yōu)點(diǎn)．某超市銷售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布，某顧客購(gòu)買了4袋海藻碘食用鹽，則至少有2袋的質(zhì)量超過400克的概率為（

）A． B． C． D．典例6．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.變式6-1．某校高一、高二的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生．推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．變式6-2．某工廠流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，某日抽取的100件產(chǎn)品的級(jí)別情況如柱狀圖所示：(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從出廠的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出3件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中任意抽取3件，設(shè)取到二級(jí)品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列.變式6-3．中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國(guó)家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對(duì)國(guó)防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來越廣泛.2020年6月23日，中國(guó)第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識(shí)產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到億元，較2018年約增長(zhǎng)．從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，上圖是這個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)；(2)在上述抽取的個(gè)城市中任取個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過萬元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差．(3)把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取個(gè)城市，求恰有個(gè)城市的產(chǎn)值超過萬元的概率．變式6-4．某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分，，三大類，其中類有3個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)1小時(shí)，類有2個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)2小時(shí)，類有1個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)3小時(shí).要求每位員工從中選擇3個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目的選擇機(jī)會(huì)均等.(1)求小張?jiān)谌愔懈鬟x1個(gè)項(xiàng)目的概率；(2)設(shè)小張所選3個(gè)項(xiàng)目花費(fèi)的總時(shí)間為小時(shí)，求的分布列及期望.題型戰(zhàn)法四正態(tài)分布典例7．甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．乙類水果質(zhì)量比甲類水果質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果平均質(zhì)量比乙類水果平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)變式7-1．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．變式7-2．已知隨機(jī)變量，則的值約為（

）附：若，則，，A． B． C． D．變式7-3．小明通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)游戲《王者榮耀》每一局時(shí)長(zhǎng)X（單位：分鐘）近似滿足．根據(jù)相關(guān)規(guī)定，所有網(wǎng)絡(luò)游戲企業(yè)僅可在周五、周六、周日和法定節(jié)假日每日20時(shí)至21時(shí)向未成年人提供1小時(shí)網(wǎng)絡(luò)游戲服務(wù)．小明還未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戲，那么根據(jù)他的調(diào)查結(jié)果，他能正常打完一局比賽的概率為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228變式7-4．若隨機(jī)變量從正態(tài)分布，則，．現(xiàn)有40000人參加語(yǔ)文考試，成績(jī)大致服從正態(tài)分布，則可估計(jì)本次語(yǔ)文成績(jī)?cè)?16分以上的學(xué)生人數(shù)為（

）A．3640 B．1820 C．910 D．455典例8．為了響應(yīng)2022年全國(guó)文明城市建設(shè)的號(hào)召，某市文明辦對(duì)市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì).該市文明辦隨機(jī)抽取了人的得分（滿分：分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)(1)若此次調(diào)查問卷的得分服從正態(tài)分布，近似等于樣本的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），求；(2)該市文明辦為鼓勵(lì)市民積極參與調(diào)查問卷，規(guī)定：調(diào)查問卷得分不低于的可以用本人手機(jī)隨機(jī)抽取次手機(jī)話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)，次抽取互不影響，有三種話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)金額，每種金額每次被抽到的概率如下表：話費(fèi)金額/元如果某市民參加調(diào)查問卷的得分不低于，記“該市民獲得手機(jī)話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)總金額為”.（i）求時(shí)的概率；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.變式8-1．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值；(2)由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值ξ?499.25的概率；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附；若，則Pμ?σ<ξ≤u+σ≈0.6827，Pμ?2σ<ξ變式8-2．為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識(shí)騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：成績(jī)（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．變式8-3．天和核心艙是我國(guó)目前研制的最大航天器，同時(shí)也是我國(guó)空間站的重要組成部分．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船搭載著聶海勝、劉伯明和楊洪波三名宇航員升空并順利“入住”天和核心艙．這是中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站，這也標(biāo)志著中國(guó)載人航天事業(yè)邁入了一個(gè)新的臺(tái)階．為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴(yán)格．經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，在挑選航天員的過程中有一項(xiàng)必檢的身體指標(biāo)服從正態(tài)分布，航天員在此項(xiàng)指標(biāo)中的要求為．某學(xué)校共有1000名學(xué)生，為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動(dòng)．學(xué)生首先要進(jìn)行上述指標(biāo)的篩查，對(duì)于符合要求的學(xué)生再進(jìn)行4個(gè)環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個(gè)環(huán)節(jié)后，才能進(jìn)行到下一個(gè)環(huán)節(jié)的選拔．假設(shè)學(xué)生通過每個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為，且相互獨(dú)立．(1)設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個(gè)環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X，請(qǐng)計(jì)算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)請(qǐng)估計(jì)符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）．以該人數(shù)為參加航天員選拔活動(dòng)的名額，請(qǐng)計(jì)算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)Y的期望值．參考數(shù)值：，，．變式8-4．某工廠為檢驗(yàn)車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取一批零件樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：mm）并繪成頻率分布直方圖，如圖所示．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差．(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求；(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測(cè)量其尺寸為30mm，根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線工作是否正常．附：；若，則，，．第十章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.4.1隨機(jī)變量及其分布列（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn二二項(xiàng)分布與超幾何分布1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗(yàn)時(shí)，人們總是約定這n次試驗(yàn)是互相獨(dú)立的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q=1-p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)=，k=0，1，2，…，n，X的分布列為：01?k?n??X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)3．超幾何分布一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時(shí)取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，這里的X稱為服從參數(shù)N，n，M的超幾何分布，記作X~H(N，n，M).如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時(shí)X的分布列如下表:01?k?s??三隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、均值（1）定義：一般地，由離散型隨機(jī)變量X的分布列E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱為期望).（2）常見的均值=1\*GB3①若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X~B(n，p)，則E(X)=np.=2\*GB3②若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N，n，M)，則E(X)=（3）性質(zhì)：已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)都是實(shí)數(shù)且則Y+也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，EY=aEX+b.2.方差（1）定義：由離散型隨機(jī)變量X的分布列D(X)=[x1?E(X)]2p1+[x2?E(X)]2p2（2）常見的方差=1\*GB3①若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X~B(n，p)，則D(X)=np（1-p）.（3）性質(zhì)：已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)都是實(shí)數(shù)且則Y+也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，DY=a2四正態(tài)分布1.正態(tài)曲線(1)定義:一般地，函數(shù)φ(x)=對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也稱“鐘形曲線”，φ(x)也常記為φμ，σ(x).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn);=2\*GB3②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1;=3\*GB3③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”;σ越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”.2．正態(tài)分布如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總等于對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線φμ，σ(x)與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ，σ2).μ是X的平均值，σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差.由正態(tài)曲線的性質(zhì)及前面例題可知，如果X~N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一離散型隨機(jī)變量及其分布列典例1．設(shè)離散形隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【分析】直接利用，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A．變式1-1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且，則等于（

）X0123P0.1ab0.1A． B． C． D．【答案】A【分析】根數(shù)學(xué)期望的公式，結(jié)合概率的性質(zhì)求解即可【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，，即①，，，即②，聯(lián)立①②解得，，故．故選：A．變式1-2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012Pnm若，則（

）A．6 B．7 C．20 D．21【答案】D【分析】先由概率和為1以及求出，再計(jì)算，由方差的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題可知，解得．則，所以．故選：D.變式1-3．隨機(jī)變量的分布列如下：若，則的值是（

）X01PaA． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用分布列的性質(zhì)，求得，結(jié)合公式求得隨機(jī)變量的期望，進(jìn)而求得隨機(jī)變量的期望.【詳解】由題可得，∴，∴，∴，故選：C．變式1-4．小林從A地出發(fā)去往B地，1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的概率為0.4，1小時(shí)10分到達(dá)的概率為0.3，1小時(shí)20分到達(dá)的概率為0.3.現(xiàn)規(guī)定1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的獎(jiǎng)勵(lì)為200元，若超過1小時(shí)到達(dá)，則每超過1分鐘獎(jiǎng)勵(lì)少2元.設(shè)小林最后獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為X元，則（

）A．176 B．182 C．184 D．186【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量X的分布列，利用分布列即可求出隨機(jī)變量的X的均值.【詳解】依題意可得X的可能值為200，180，160.，，，X的分布列為2001801600.40.30.3所以.故選：B.典例2．甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為，乙第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）用對(duì)立事件求概率公式進(jìn)行求解；（2）求出的可能取值，及對(duì)應(yīng)的概率，從而求出分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對(duì)1題后，乙才有機(jī)會(huì)答題.所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.變式2-1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的雙奧之城.某學(xué)校為了慶祝北京冬奧會(huì)的召開，特舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽.參加的學(xué)生從夏奧知識(shí)題中抽取2題，冬奧知識(shí)題中抽取1題回答，已知學(xué)生（含甲）答對(duì)每道夏奧知識(shí)題的概率為，答對(duì)每道冬奧知識(shí)題的概率為，每題答對(duì)與否不影響后續(xù)答題.(1)學(xué)生甲恰好答對(duì)兩題的概率是多少？(2)求學(xué)生甲答對(duì)的題數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可分兩類求解，（2）根據(jù)隨機(jī)變量的取值以及對(duì)應(yīng)事件的概率，即可按步驟求解分布列，進(jìn)而計(jì)算期望.（1）學(xué)生甲恰好答對(duì)兩題的概率.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，所以，，由（1）知，又，所以的分布列為0123.變式2-2．甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.【答案】(1)分布列見解析(2)分布列見解析，【分析】（1）依題意可得的可能取值為，，，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列；（2）依題意可得的可能取值為，，，，，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列及數(shù)學(xué)期望；（1）解：依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為01（2）解：依題意可得的可能取值為，，，，，所以，，，，，所以的分布列為0120.040.20.370.30.09所以．變式2-3．如圖，小明家住H小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校C上學(xué)，從家到學(xué)校有，兩條路線，路線上有，，三個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為；路線上有，兩個(gè)路口，且，路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)若走路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走路線，變量X表示遇到紅燈次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）依題意，X的可能取值為，分別求出它們的概率后計(jì)算即可.（1）設(shè)“走路線遇到3次紅燈”為事件A，則.（2）依題意，X的可能取值為.則,；.隨機(jī)變量X的分布列為：X012P.變式2-4．為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校舉辦“最強(qiáng)中學(xué)生”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).經(jīng)過前期的預(yù)賽和半決賽，最終甲?乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)人決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的班級(jí)獲得冠軍.已知甲班級(jí)在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲班級(jí)獲得冠軍的概率；(2)用表示乙班級(jí)的總得分，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率公式求解即可.（2）首先根據(jù)題意得到的可能取值為，再列出分布列求出數(shù)學(xué)期望即可.(1)設(shè)甲班級(jí)在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲班級(jí)獲得冠軍的概率為(2)依題可知，的可能取值為，所以，即分布列為0102030期望.題型戰(zhàn)法二二項(xiàng)分布典例3．已知隨機(jī)變量，Y服從兩點(diǎn)分布，，，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用二項(xiàng)分布的概率公式可求p,然后利用兩點(diǎn)分布概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量,，解得（舍去，注意：），．故選:C．變式3-1．設(shè)隨機(jī)變量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先建立方程求出，再計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，，所以，則，因?yàn)椋?，解得隨機(jī)變量中，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布概率公式，是基礎(chǔ)題.變式3-2．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)該射手射擊命中的概率為，兩次射擊命中的次數(shù)為，由可得答案.【詳解】設(shè)該射手射擊命中的概率為，兩次射擊命中的次數(shù)為，則，由題可知：，即，解得.故選：C.變式3-3．將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算即得.【詳解】由于小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時(shí)，小球?qū)⒙淙階袋，所以．故選：C．變式3-4．若，則取得最大值時(shí)，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)取得最大值，即取得最大值，所以；故選：D典例4．為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，幾對(duì)中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定．某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間”．從該校學(xué)生中隨機(jī)選取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．時(shí)間人數(shù)630351064(1)從該校任選1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間小于36min的概率；(2)估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t的中位數(shù)；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該校學(xué)生中隨機(jī)挑選3人，記這3人每日使用手機(jī)的時(shí)間在的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)；(3)分布列見解析，.【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即得；（2）設(shè)中位數(shù)為，由中位數(shù)定義知，即得；（3）由題可得，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式可得概率，進(jìn)而可得分布列及期望.（1）由表格數(shù)據(jù)可知：學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間小于36min共有人，所求概率；（2）設(shè)中位數(shù)為，由表格數(shù)據(jù)知：使用手機(jī)的時(shí)間小于分鐘的頻率為，使用手機(jī)的時(shí)間小于分鐘的頻率為，故，，解得：，即估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t的中位數(shù)為；（3）由題可得學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間在內(nèi)的概率為，則，所以,,,,所以的分布列為：0123所以.變式4-1．在一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度.(1)若該系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，該網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為0.9，它們之間相互不影響.求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望；(2)若該網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9，更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬元；方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬元.請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？【答案】(1)分布列見解析，(2)應(yīng)選擇方案2【分析】（1）由題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得；（2）分別計(jì)算兩種方案的損失期望值，即可做出決策．（1）解：為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知.所以，，，，從而的分布列為：0123由，則；（2）解：設(shè)方案1、方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度達(dá)到，由（1）可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為，不斷掉的概率為，所以元；采用方案2，對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在，可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為，故元.因此，從期望損失最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2.變式4-2．青花釉里紅，俗稱“青花加紫”，是我國(guó)珍貴的瓷器品種之一．釉里紅的燒制工藝難度較大，因此燒制成功率較低假設(shè)釉里紅瓷器開窯后經(jīng)檢驗(yàn)分為成品和廢品兩類，從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中，有放回地抽取兩次，每次隨機(jī)抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為．記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p．(1)求p的值．(2)假設(shè)該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p，且每件瓷器的燒制相互獨(dú)立，這種瓷器成品每件利潤(rùn)為10萬元，廢品的利潤(rùn)為0元．現(xiàn)他燒制3件這種資器，設(shè)這3件瓷器的總利潤(rùn)為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求解分布列以及期望.(1)設(shè)A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中無成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”，則，解得．(2)設(shè)這3件中成品的件數(shù)為Y．由題可知．因?yàn)?，所以，，，，所以X的分布列為X0102030P所以．變式4-3．某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占到，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有．現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪（視頻率為概率）．(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時(shí)的份數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【分析】（1）根據(jù)題意得每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的概率為，每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為，所以所求事件概率為；（2）根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，分別求概率，得到分布列，再求期望即可.（1）根據(jù)題意可知每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的概率為，每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為，所以4份問卷中至少有兩份結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為：．（2）根據(jù)題意可知，則，，，，，所以的分布列為：01234所以．變式4-4．《關(guān)于加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的意見》，正式把“堅(jiān)持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進(jìn)中央文件，成為指導(dǎo)中國(guó)加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想．為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某市2020年植樹節(jié)期間種植了一批樹苗，2022年市園林部門從這批樹苗中隨機(jī)抽取100棵進(jìn)行跟蹤檢測(cè)，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求樹高在225-235cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；(2)若將樹高以等級(jí)呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀．視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中機(jī)抽取3棵，求樹高等級(jí)為優(yōu)秀的棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可得；（2）首先求出樹高為優(yōu)秀的概率，依題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望；（1）解：樹高在225-235cm之間的棵數(shù)為：．樹高的平均值為：（2）解：由（1）可知，樹高為優(yōu)秀的概率為：，由題意可知，則的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故的分布列為：0123P0.5120.3840.0960.008因?yàn)?，所以題型戰(zhàn)法三超幾何分布典例5．設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式求解即可【詳解】由題意，故選：A變式5-1．已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為X，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】X服從超幾何分布，求出X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法計(jì)算即可．【詳解】X可能取1，2，3，其對(duì)應(yīng)的概率為，，，∴．故選：A變式5-2．工廠為趕上618的電商大促，甲車間連夜生產(chǎn)了10個(gè)產(chǎn)品，其中有6個(gè)正品和4個(gè)次品，若從中任意抽取4個(gè)，則抽到的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得所有可能的情況，再分情況討論計(jì)算正品數(shù)比次品數(shù)少的情況，進(jìn)而得到正品數(shù)比次品數(shù)少的概率即可【詳解】由題意可得，從10個(gè)產(chǎn)品中任意抽取4個(gè)，所有可能的情況有種，其中抽到的正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有：①0個(gè)正品，4個(gè)次品，共種情況；②1個(gè)正品，3個(gè)次品，共種情況；故抽到的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為故選：C變式5-3．甲同學(xué)參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場(chǎng)答題的方式進(jìn)行，已知在備選的8道試題中，甲能答對(duì)其中的4道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測(cè)試，設(shè)甲答對(duì)的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)古典概型去求時(shí)的概率【詳解】在備選的8道試題中，甲能答對(duì)其中的4道題.則從備選題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)3道題的概率．故選：D．變式5-4．含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽，是新一代的碘鹽產(chǎn)品．海藻中的碘80%為無機(jī)碘，10%~20%為有機(jī)碘，海藻碘鹽兼?zhèn)錈o機(jī)碘和有機(jī)碘的優(yōu)點(diǎn)．某超市銷售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布，某顧客購(gòu)買了4袋海藻碘食用鹽，則至少有2袋的質(zhì)量超過400克的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)X（單位：克）服從正態(tài)分布，可得所以每袋鹽超過400克的概率為0.5，從而可求得0袋和1袋鹽超過400克的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式即可求出答案.【詳解】解：因?yàn)槟吵袖N售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布，所以每袋鹽超過400克的概率為0.5，不超過400克的概率為0.5，則有0袋鹽超過400克的概率為，有1袋鹽超過400克的概率為，所以至少有2袋的質(zhì)量超過400克的概率為.故選：A.典例6．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見解析；②.【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2個(gè)城市全是小城市的概率表示出來，解方程即可；⑵①的分布符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算方法求概率即可；②利用條件概率求概率的方法求概率即可.（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.②若抽取的4個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個(gè)城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為.變式6-1．某校高一、高二的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生．推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）利用對(duì)立事件求得高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.（2）根據(jù)超幾何分布的分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列.（1）高一高二共推薦名男生和名女生，高一沒有學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為，所以高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為.（2）根據(jù)題意得知，X的所有可能取值為1、2、3．，，，所以X的分布列為變式6-2．某工廠流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，某日抽取的100件產(chǎn)品的級(jí)別情況如柱狀圖所示：(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從出廠的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出3件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中任意抽取3件，設(shè)取到二級(jí)品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列.【答案】(1)；(2)分布列見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得抽取的100件產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可；（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解即可.（1）由題圖可知，抽取的100件產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是，故從出廠的所有產(chǎn)品中任取1件，該產(chǎn)品是一級(jí)品的概率是.設(shè)從出廠的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出3件，至少有一件是一級(jí)品的事件為A，則.（2）由題意可知抽取的10件產(chǎn)品中有一級(jí)品7件，二級(jí)品2件，三級(jí)品1件，故的可能取值為0，1，2，，，，∴的分布列為012P變式6-3．中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國(guó)家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對(duì)國(guó)防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來越廣泛.2020年6月23日，中國(guó)第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識(shí)產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到億元，較2018年約增長(zhǎng)．從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，上圖是這個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)；(2)在上述抽取的個(gè)城市中任取個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過萬元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差．(3)把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取個(gè)城市，求恰有個(gè)城市的產(chǎn)值超過萬元的概率．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算；（2）由（1）可知產(chǎn)值不超過萬元的城市個(gè)數(shù)，利用超幾何分布概率公式分別計(jì)算概率，可得分布列及期望與方差；（3）由已知可得該分布滿足，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式直接計(jì)算概率.（1）由頻率分布直方圖可知產(chǎn)值小于萬元的頻率為，所以產(chǎn)值小于萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)為（個(gè)）；（2）由（1）得產(chǎn)值不超過萬元的調(diào)研城市有個(gè)，超過萬元的調(diào)研城市有（個(gè)），所以隨機(jī)變量的取值可能為，，，所以，，，所以可得分布列期望；方差；（3）由頻率分布直方圖可知城市的產(chǎn)值超過萬元的概率為，設(shè)任取個(gè)城市中城市的產(chǎn)值超過萬元的城市個(gè)數(shù)為，可知隨機(jī)變量滿足，所以.變式6-4．某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分，，三大類，其中類有3個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)1小時(shí)，類有2個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)2小時(shí)，類有1個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)需花費(fèi)3小時(shí).要求每位員工從中選擇3個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目的選擇機(jī)會(huì)均等.(1)求小張?jiān)谌愔懈鬟x1個(gè)項(xiàng)目的概率；(2)設(shè)小張所選3個(gè)項(xiàng)目花費(fèi)的總時(shí)間為小時(shí)，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，5【分析】（1）利用超幾何分布求概率公式進(jìn)行求解；（2）計(jì)算出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，計(jì)算出期望.(1)記事件為在三類中各選1個(gè)項(xiàng)目，則，所以小張?jiān)谌愔懈鬟x1個(gè)項(xiàng)目的概率為.(2)的可能取值為3，4，5，6，7，則；；；；；所以分布列如下表所示：34567所以.題型戰(zhàn)法四正態(tài)分布典例7．甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征可得兩者的均值、方差的大小關(guān)系，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線可判斷D，進(jìn)而即得.【詳解】由題圖可知甲圖象關(guān)于直線對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，，故A正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”（曲線越“高瘦”，越小，表示總體的分布越集中），所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橐覉D象的最高點(diǎn)為，即，所以，故D錯(cuò)誤．故選：A．變式7-1．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，可得隨機(jī)變量的方差為，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積小于時(shí)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積，所以，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得，，即，所以D錯(cuò)誤.故選：C.變式7-2．已知隨機(jī)變量，則的值約為（

）附：若，則，，A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定，根據(jù)，即可得答案.【詳解】由題意知隨機(jī)變量，故，故,故選：A變式7-3．小明通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)游戲《王者榮耀》每一局時(shí)長(zhǎng)X（單位：分鐘）近似滿足．根據(jù)相關(guān)規(guī)定，所有網(wǎng)絡(luò)游戲企業(yè)僅可在周五、周六、周日和法定節(jié)假日每日20時(shí)至21時(shí)向未成年人提供1小時(shí)網(wǎng)絡(luò)游戲服務(wù)．小明還未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戲，那么根據(jù)他的調(diào)查結(jié)果，他能正常打完一局比賽的概率為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求概率即可.【詳解】由題意知，故.故選：B．變式7-4．若隨機(jī)變量從正態(tài)分布，則，．現(xiàn)有40000人參加語(yǔ)文考試，成績(jī)大致服從正態(tài)分布，則可估計(jì)本次語(yǔ)文成績(jī)?cè)?16分以上的學(xué)生人數(shù)為（

）A．3640 B．1820 C．910 D．455【答案】C【分析】由于成績(jī)大致服從正態(tài)分布，可知，，由正態(tài)分布的性質(zhì)可求出數(shù)學(xué)成績(jī)116分以上的概率，從而可求出答案【詳解】依據(jù)題意可知，，由于，所以.因此本次考試116分以上的學(xué)生約有人.故選：C典例8．為了響應(yīng)2022年全國(guó)文明城市建設(shè)的號(hào)召，某市文明辦對(duì)市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì).該市文明辦隨機(jī)抽取了人的得分（滿分：分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)(1)若此次調(diào)查問卷的得分服從正態(tài)分布，近似等于樣本的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），求；(2)該市文明辦為鼓勵(lì)市民積極參與調(diào)查問卷，規(guī)定：調(diào)查問卷得分不低于的可以用本人手機(jī)隨機(jī)抽取次手機(jī)話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)，次抽取互不影響，有三種話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)金額，每種金額每次被抽到的概率如下表：話費(fèi)金額/元如果某市民參加調(diào)查問卷的得分不低于，記“該市民獲得手機(jī)話費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)總金額為”.（i）求時(shí)的概率；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）由已知可得平均數(shù)，即，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得概率（2）（i）利用事件相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接可得概率；（ii）分別計(jì)算隨機(jī)變量取各值時(shí)的概率，進(jìn)而可得證.（1）這人的平均成績(jī)?yōu)?，所以近似等于，故；?）（i）當(dāng)時(shí)，次抽取話費(fèi)的金額情況是有兩次抽到元，一次抽到元，因?yàn)槊看纬槿∈窍嗷オ?dú)立的，所以，（ii）證明：由題意知的所有可能取值為，，，，，，，，，，則，又，，，，由（1）知，，所以，又，所以，即，所以.變式8-1．某食品廠為了檢查