高三數(shù)學一輪復習題型與戰(zhàn)法精準訓練(新高考專用)8.2.1橢圓(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第八章平面解析幾何8.2.1橢圓（題型戰(zhàn)法）知識梳理一橢圓1.定義及標準方程定義：平面內(nèi)與兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距。符號表示：（）方程：（1）焦點在軸上：（2）焦點在軸上：2.簡單幾何性質項目焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程焦點頂點軸長長軸長2a短軸長2b長軸長2a短軸長2b離心率關系通徑題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一橢圓的定義及辨析典例1．已知點，，動點P滿足，動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段變式1-1．已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線變式1-2．橢圓上點到上焦點的距離為4，則點到下焦點的距離為（

）A．6 B．3 C．4 D．2變式1-3．點P為橢圓上一點，，為該橢圓的兩個焦點，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．5變式1-4．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，最大值為（

）A． B． C．2 D．4題型戰(zhàn)法二橢圓中的焦點三角形典例2．已知橢圓C：的左右焦點分別為F1、F2，過左焦點F1，作直線交橢圓C于A、B兩點，則三角形ABF2的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．25變式2-1．已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（

）A． B． C． D．變式2-2．已知分別為橢圓的左，右焦點，為上頂點，則的面積為（

）A． B． C． D．變式2-3．已知點分別是橢圓的左?右焦點,點P在此橢圓上,,則的面積等于（）A． B． C． D．變式2-4．已知橢圓左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法三橢圓上的點到焦點與定點距離的和、差最值典例3．已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13變式3-1．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（

）A． B．13 C．3 D．5變式3-2．已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．變式3-3．已知F是橢圓=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是（3，4），則|PM|+|PF|的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．21變式3-4．已知橢圓，，，點是橢圓上的一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍典例4．若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式4-1．若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式4-2．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式4-3．若表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．變式4-4．若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或題型戰(zhàn)法五橢圓的標準方程典例5．中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸和短軸之和為36，橢圓上的點到一個焦點的最短距離為1，則橢圓的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或變式5-1．若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．變式5-2．已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．變式5-3．以雙曲線的焦點為橢圓C的長軸頂點，且過點的橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．變式5-4．設分別為橢圓左、右焦點，點在橢圓C上，且，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．題型戰(zhàn)法六橢圓的軌跡方程典例6．在平面直角坐標系中，已知定點、，直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式6-1．P是橢P作橢圓長軸的垂線,垂足為點M,則PM的中點的軌跡方程為()A． B． C． D．變式6-2．已知圓，從圓上任意一點向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式6-3．已知的周長是20，且頂點B的坐標為，C的坐標為，則頂點A的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式6-4．已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡的方程是（

）A． B．C． D．題型戰(zhàn)法七橢圓的離心率典例7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點，若的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．變式7-1．已知點A，B分別是橢圓的右、上頂點，過橢圓C上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式7-2．已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．變式7-3．已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式7-4．已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，直線與直線的交點為P，若的面積是面積的2倍（O為坐標原點），則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法八橢圓的離心率的取值范圍典例8．已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B．C． D．變式8-1．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線上存在一點P滿足，則橢圓的離心率取值范圍為（

）A． B． C． D．變式8-2．已知圓：與圓：，若在橢圓上存在點P，使得過點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8-3．已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8-4．已知橢圓的左右焦點分別為，，若橢圓上存在點，使，則該橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．第八章平面解析幾何8.2.1橢圓（題型戰(zhàn)法）知識梳理一橢圓1.定義及標準方程定義：平面內(nèi)與兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距。符號表示：（）方程：（1）焦點在軸上：（2）焦點在軸上：2.簡單幾何性質項目焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程焦點頂點軸長長軸長2a短軸長2b長軸長2a短軸長2b離心率關系通徑題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一橢圓的定義及辨析典例1．已知點，，動點P滿足，動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得出答案.【詳解】解：因為，所以動點P的軌跡是以為焦點的橢圓.故選：A.變式1-1．已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【答案】C【分析】討論與的大小關系，結合橢圓定義可知.【詳解】解：因為（當且僅當時，等號成立，所以，當且時，，此時動點的軌跡是橢圓；當時，，此時動點的軌跡是線段．故選：C．變式1-2．橢圓上點到上焦點的距離為4，則點到下焦點的距離為（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求出，再根據(jù)橢圓的定義計算可得；【詳解】解：橢圓，所以，即，設上焦點為，下焦點為，則，因為，所以，即點到下焦點的距離為；故選：A變式1-3．點P為橢圓上一點，，為該橢圓的兩個焦點，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．5【答案】D【分析】寫出橢圓的標準方程，由橢圓的定義得到，從而求出答案.【詳解】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，故故選：D變式1-4．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故選：D.題型戰(zhàn)法二橢圓中的焦點三角形典例2．已知橢圓C：的左右焦點分別為F1、F2，過左焦點F1，作直線交橢圓C于A、B兩點，則三角形ABF2的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長軸為，由橢圓定義知∴故選：C變式2-1．已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用橢圓的定義進行求解即可.【詳解】由.因為，是橢圓的上的點，、是橢圓的焦點，所以，因此的周長為，故選：D變式2-2．已知分別為橢圓的左，右焦點，為上頂點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點坐標和點A的坐標，進而求出三角形的面積.【詳解】由橢圓方程得..故選：D.變式2-3．已知點分別是橢圓的左?右焦點,點P在此橢圓上,,則的面積等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓標準方程，可得，結合定義及余弦定理可求得值，由及三角形面積公式即可求解.【詳解】橢圓則，所以，則由余弦定理可知代入化簡可得，則，故選：B.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質的簡單應用，正弦定理與余弦定理的簡單應用，三角形面積公式的用法，屬于基礎題.變式2-4．已知橢圓左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求得，由橢圓的定義，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．【詳解】解：由題意，橢圓方程，可得，所以焦點，又由橢圓的定義，可得，因為，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故選:C．題型戰(zhàn)法三橢圓上的點到焦點與定點距離的和、差最值典例3．已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，結合圖形即得.【詳解】因為橢圓，所以，，則橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得：，當點P在點處，取等號，所以的最大值為5，故選：B.變式3-1．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（

）A． B．13 C．3 D．5【答案】B【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B變式3-2．已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】設橢圓的左焦點為，得到，得出，結合圖象，得到當且僅當，，三點共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】設橢圓的左焦點為，則，可得，所以，如圖所示，當且僅當，，三點共線（點在線段上）時，此時取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．變式3-3．已知F是橢圓=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是（3，4），則|PM|+|PF|的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】D【分析】利用橢圓的定義轉化為P到M和到另一焦點的距離的差的最大值來解決.【詳解】解：如圖，由橢圓=1，得得，則橢圓右焦點為，則.當與射線與橢圓的交點重合時取到等號,的最大值為21.故選：D.變式3-4．已知橢圓，，，點是橢圓上的一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知為橢圓的右焦點，設左焦點為，由橢圓的定義可得，然后結合圖形可得答案.【詳解】由題意知為橢圓的右焦點，設左焦點為，由橢圓的定義知，所以.又，如圖，設直線交橢圓于，兩點.當為點時，最小，最小值為.故選：B【點睛】本題考查的是橢圓的定義的應用，屬于?？碱}型.題型戰(zhàn)法四根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍典例4．若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式4-1．若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡方程為橢圓的標準方程，列出不等式，即可求解.【詳解】將方程化為，因為是焦點在y軸上的橢圓，可得，解得.故選：B.變式4-2．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程表示焦點在軸上的橢圓建立不等式，并解出不等式即可【詳解】由題意可知：方程表示焦點在軸上的橢圓則有：解得：故選：A變式4-3．若表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】以橢圓標準方程的性質去判斷即可解決.【詳解】由題只需，解得，故選：D變式4-4．若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得：，故選：B.題型戰(zhàn)法五橢圓的標準方程典例5．中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸和短軸之和為36，橢圓上的點到一個焦點的最短距離為1，則橢圓的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，列關于的方程組求解，然后寫出焦點分別在軸上的標準方程.【詳解】設橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為，由題意，，得，橢圓焦點在軸或軸上，橢圓的標準方程為或.故選：C變式5-1．若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件得到，，即可得到，，，再分類討論即可得到答案.【詳解】因為短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，所以，設，，，，因為焦點到橢圓上點的最短距離為，所以，即.，，.當焦點在軸時，橢圓的方程為，當焦點在軸時，橢圓的方程為.故選：B變式5-2．已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設，，再利用焦點三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【詳解】設，，因為，，，所以，，所以，所以，所以．因為，所以．所以橢圓的方程是．故選：C變式5-3．以雙曲線的焦點為橢圓C的長軸頂點，且過點的橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出雙曲線的焦點坐標，得出橢圓的半長軸長，設橢圓標準方程為，代入已知點，求解即可得到橢圓的標準方程.【詳解】解：雙曲線的焦點為，設橢圓標準方程為，則，又橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.故選：B.變式5-4．設分別為橢圓左、右焦點，點在橢圓C上，且，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把點坐標代入四個選項，可排除三個錯誤選項，第四個選項可檢驗滿足題中其他條件．【詳解】把代入各選項中方程，，，，ABC均排除，，D滿足，此時，，，滿足此條件．故選：D．題型戰(zhàn)法六橢圓的軌跡方程典例6．在平面直角坐標系中，已知定點、，直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設動點P的坐標為，依題意得到方程，整理即得軌跡方程；【詳解】解：設動點P的坐標為，則由條件得．即．所以動點P的軌跡C的方程為．故選：B．變式6-1．P是橢P作橢圓長軸的垂線,垂足為點M,則PM的中點的軌跡方程為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：設中點坐標為，則，因在橢圓上，故而可求的關系式即中點的方程.詳解：中點坐標為，則，因在橢圓上，故，故選B.點睛：求動點的軌跡方程，一般有如下幾種方法：幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質，如圓錐曲線的定義等；動點轉移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；參數(shù)法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點的軌跡方程.變式6-2．已知圓，從圓上任意一點向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用相關點法即可求解.【詳解】設線段的中點，，所以，解得，又點在圓上，則，即.故選：A變式6-3．已知的周長是20，且頂點B的坐標為，C的坐標為，則頂點A的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的定義確定點的軌跡是橢圓，確定得出方程.【詳解】由題意可知，則點的軌跡是焦點在軸且中心為原點的橢圓，且點不在軸上，即故選：C變式6-4．已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定義可判斷點的軌跡是以為焦點的橢圓，即可求出軌跡方程.【詳解】由題可得圓心，半徑為6，是垂直平分線上的點，，，點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，，，故點的軌跡方程為.故選：B.題型戰(zhàn)法七橢圓的離心率典例7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點，若的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】因為的周長為18，所以，結合題意可得，代入離心率公式運算求解．【詳解】設焦距為．因為的周長為18，所以，所以．因為長半軸長為5，即所以橢圓C的離心率為故選：B．變式7-1．已知點A，B分別是橢圓的右、上頂點，過橢圓C上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，，再根據(jù)列式求解即可【詳解】由已知得：，，所以，由得：所以所以由得：所以

故選：C變式7-2．已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，由得到，由勾股定理得到，兩式結合求出，結合得到，求出離心率.【詳解】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.變式7-3．已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義以及焦點三角形中的余弦定理即可建立齊次式求解.【詳解】在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的離心率.故選：C變式7-4．已知橢圓的左頂點為A，上頂點為