高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.1函數(shù)的概念及其表示(精講)(原卷版+解析)

2.1函數(shù)的概念及其表示【題型解讀】【知識儲備】1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．【題型精講】【題型一函數(shù)的概念】必備技巧函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素．(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．同一函數(shù)只需判斷定義域和對應(yīng)關(guān)系即可.例1(2023·湖南·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②例2(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）2．（2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，，是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，【題型二函數(shù)的定義域】必備技巧函數(shù)的定義域(1)根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．(2)求抽象函數(shù)的定義域的策略①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．例3(2023·湖北省廣水市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例4（1）(2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．（2）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.例5(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，10]，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是________．【題型三函數(shù)的解析式】必備技巧函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．例6(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為A．或 B．或C．或 D．或例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)=_______，=_______．例8(2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)f(x)的解析式．（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為________________．（2）已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函數(shù)解析式．（3）已知f(0)＝1，對任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為二次函數(shù)，，，求的解析式．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C． D．4.(2023·貴州安順市月考）已知函數(shù)滿足，則的解析式為（）A． B．C． D．【題型四分段函數(shù)】必備技巧分段函數(shù)(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路①求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．②求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來．例9(2023·廣東梅州·二模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．2 B．6 C．8 D．10例10(2023·廣西廣西·模擬預(yù)測（理））已知，若，則（

）A．2 B． C．1 D．0例11(2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高三期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，那么?shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型精練】1．(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2.(2023·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則___________；若，則實(shí)數(shù)___________.3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.1函數(shù)的概念及其表示【題型解讀】【知識儲備】1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．【題型精講】【題型一函數(shù)的概念】必備技巧函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素．(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．同一函數(shù)只需判斷定義域和對應(yīng)關(guān)系即可.例1(2023·湖南·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②答案：C【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，對于①中，函?shù)的定義域不是集合，所以不能構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于②中，函數(shù)的定義域?yàn)榧希涤驗(yàn)榧?，所以可以?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于③中，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧希钥梢詷?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于④中，根據(jù)函數(shù)的定義，集合中的元素在集合中對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不符合函數(shù)的定義，所以不正確.故選：C例2(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，答案：D【解析】對于A：的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對于B：，，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對于C：的定義域?yàn)椋亩x域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對于D：對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，兩個(gè)函數(shù)對應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，故選：D．【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）答案：C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)自變量值對應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，或者多個(gè)自變量值對應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，顯然只有（2）不滿足.故選：C.2．（2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，，是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，答案：D【解析】解：對于A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故不滿足；對于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋什粷M足；對于C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故不滿足；對于D選項(xiàng)，，的定義域均為，對應(yīng)關(guān)系均為，故是同一函數(shù).故選：D【題型二函數(shù)的定義域】必備技巧函數(shù)的定義域(1)根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．(2)求抽象函數(shù)的定義域的策略①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．例3(2023·湖北省廣水市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案：B【解析】要使函數(shù)有意義，則有解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B例4（1）(2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．（2）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.答案：（1）B（2）【解析】（1）的定義域?yàn)?，，即，，解得：且，的定義域?yàn)?故選：.（2）的定義域是，則，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，解?則函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例5(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵的定義域?yàn)?，∴只需分母不為即可，即恒成立，?）當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意，（2）當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可得.故選：B.【題型精練】1．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，10]，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，10]，則函數(shù)成立需要滿足，解得.故選：B.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．答案：B【解析】由，得，所以，所以．故選：B．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是________．答案：【解析】當(dāng)時(shí)，，即定義域?yàn)镽；當(dāng)，要使的定義域?yàn)镽，則在上恒成立，∴，解得，綜上，有，故答案為：【題型三函數(shù)的解析式】必備技巧函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．例6(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為A．或 B．或C．或 D．或答案：A【解析】設(shè)，則，即對任意的恒成立，所以，解得：或，所以的解析式為或，故選：A例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)=_______，=_______．答案：

11【解析】令，則，所以，所以，所以.故答案為：；.例8(2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)f(x)的解析式．（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為________________．（2）已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函數(shù)解析式．（3）已知f(0)＝1，對任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【解】（1）方法一(換元法)：令eq\r(x)＋1＝t，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因?yàn)閑q\r(x)＋1≥1，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．（2）將代入，得，因此，解得.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y(tǒng)2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】令，則，所以，所以，故選：A.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為二次函數(shù)，，，求的解析式．答案：【解析】因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，所以，，所以?.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．4.(2023·貴州安順市月考）已知函數(shù)滿足，則的解析式為（）A． B．C． D．答案：A【解析】函數(shù)滿足，設(shè)，則，由知，故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，即的解析式為.故選：A.【題型四分段函數(shù)】必備技巧分段函數(shù)(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路①求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．②求自變量的值：先假