高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第05講事件的相互獨(dú)立性(原卷版+解析)

第5講事件的相互獨(dú)立性知識(shí)點(diǎn)11．事件的相互獨(dú)立性(1)定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(3)公式的推廣①n個(gè)事件相互獨(dú)立對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱(chēng)n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．②n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對(duì)立事件后等式仍成立．(4)兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算概率A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)[說(shuō)明]①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實(shí)際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說(shuō)就是A與B中恰有一個(gè)發(fā)生．②同數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算一樣，事件的混合運(yùn)算也有優(yōu)先級(jí)，我們規(guī)定：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡(jiǎn)寫(xiě)為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.考點(diǎn)一事件獨(dú)立性的判斷解題方略：兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨(dú)立事件．【例1】判斷下列各對(duì)事件是不是相互獨(dú)立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．變式1：下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”變式2：從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，記事件C為“抽到J”．判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立？為什么？(1)A與B；(2)C與A.變式3：袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件變式4：若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對(duì)立C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立考點(diǎn)二求相互獨(dú)立事件的概率解題方略：1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．【例2】周老師上數(shù)學(xué)課時(shí)，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估做對(duì)第一道題的概率為0.80，做對(duì)兩道題的概率為0.60，則預(yù)估做對(duì)第二道題的概率是()A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48變式1：有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．變式2：甲、乙同時(shí)炮擊一架敵機(jī)，已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.3，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，敵機(jī)被擊中的概率為_(kāi)_______．變式3：有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為eq\f(1,2)，學(xué)生B解出的概率為eq\f(1,3)，學(xué)生C解出的概率為eq\f(1,4).若A，B，C三人獨(dú)立去解答此題，則恰有一人解出的概率為()A．1 B．eq\f(6,24)C.eq\f(11,24) D.eq\f(17,24)變式4：設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為()A．0.25 B．0.30C．0.31 D．0.35變式5：國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定3人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)變式6：甲騎自行車(chē)從A地到B地，途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒(méi)有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(4,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,27)變式7：甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時(shí)被選中的概率；(2)求三人均未被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．變式8：甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．求恰好有2人被選中的概率．變式9：在奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題，已知甲答對(duì)這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq\f(1,4).設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立的．(1)求乙答對(duì)這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率．考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用解題方略：求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；(2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．【例3】三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．變式1：某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪問(wèn)題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．求該選手被淘汰的概率．變式2：如圖，A，B，C表示3個(gè)開(kāi)關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，那么系統(tǒng)的可靠性為()A．0.054 B．0.994C．0.496 D．0.06練習(xí)一事件獨(dú)立性的判斷1、一袋中裝有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，記A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，則事件A1與是()A．相互獨(dú)立事件 B．對(duì)立事件C．互斥事件 D．無(wú)法判斷2、甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A＝“甲擊中目標(biāo)”，事件B＝“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B()A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥練習(xí)二求相互獨(dú)立事件的概率1、在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車(chē)在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為_(kāi)_______．2、某天上午，李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)．為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________．3、甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)螺母，其中有180個(gè)A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)4、兩名射手射擊同一目標(biāo)，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標(biāo)被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.965、某地區(qū)為女農(nóng)民工免費(fèi)提供家政和醫(yī)院陪護(hù)工培訓(xùn)，每人可選擇參加一項(xiàng)、兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)家政培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)醫(yī)院陪護(hù)工培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人的選擇相互之間沒(méi)有影響．任選1名女農(nóng)民工，則她參加過(guò)培訓(xùn)的概率是________．6、在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率；(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．7、某同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科的考試成績(jī)?cè)谝淮慰荚囍信琶嗟谝坏母怕剩赫Z(yǔ)文為0.9，數(shù)學(xué)為0.8，英語(yǔ)為0.85，求：(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？8、某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課，學(xué)生選修哪門(mén)課互不影響．已知學(xué)生小張只選甲的概率為0.08，只選甲和乙的概率為0.12，至少選一門(mén)課的概率為0.88，用ξ表示小張選修的課程門(mén)數(shù)和沒(méi)有選修的課程門(mén)數(shù)的乘積．(1)求學(xué)生小張選修甲的概率；(2)記“函數(shù)f(x)＝x2＋ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率．練習(xí)三相互獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用1、如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是互相獨(dú)立的，則燈亮的概率為()A.eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C.eq\f(13,16) D.eq\f(1,4)2、一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率為eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()A.eq\f(1,64) B.eq\f(55,64)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)3、某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案．方案一：考三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)．方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò)．假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別為0.5,0.6,0.9，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響．求：(1)該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；(2)該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率．第5講事件的相互獨(dú)立性知識(shí)點(diǎn)11．事件的相互獨(dú)立性(1)定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(3)公式的推廣①n個(gè)事件相互獨(dú)立對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱(chēng)n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．②n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對(duì)立事件后等式仍成立．(4)兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算概率A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)[說(shuō)明]①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實(shí)際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說(shuō)就是A與B中恰有一個(gè)發(fā)生．②同數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算一樣，事件的混合運(yùn)算也有優(yōu)先級(jí)，我們規(guī)定：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡(jiǎn)寫(xiě)為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.考點(diǎn)一事件獨(dú)立性的判斷解題方略：兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨(dú)立事件．【例1】判斷下列各對(duì)事件是不是相互獨(dú)立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．【解析】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)，若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7).可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨(dú)立事件．(3)記A＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立．變式1：下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”【解析】把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A．變式2：從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，記事件C為“抽到J”．判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立？為什么？(1)A與B；(2)C與A.【解析】(1)P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，事件AB即為“既抽得K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃K或方塊K”，故P(AB)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，從而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A與B相互獨(dú)立．(2)事件A與事件C是互斥的，因此事件A與C不是相互獨(dú)立事件．變式3：袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件【解析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．故選D.變式4：若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對(duì)立C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立【解析】因?yàn)镻(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立但不一定互斥．故選C.考點(diǎn)二求相互獨(dú)立事件的概率解題方略：1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．【例2】周老師上數(shù)學(xué)課時(shí)，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估做對(duì)第一道題的概率為0.80，做對(duì)兩道題的概率為0.60，則預(yù)估做對(duì)第二道題的概率是()A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48【解析】設(shè)“做對(duì)第一道題”為事件A，“做對(duì)第二道題”為事件B，則P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故選B.變式1：有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．【解析】所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.26變式2：甲、乙同時(shí)炮擊一架敵機(jī)，已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.3，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，敵機(jī)被擊中的概率為_(kāi)_______．【解析】由題意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.答案：0.65變式3：有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為eq\f(1,2)，學(xué)生B解出的概率為eq\f(1,3)，學(xué)生C解出的概率為eq\f(1,4).若A，B，C三人獨(dú)立去解答此題，則恰有一人解出的概率為()A．1 B．eq\f(6,24)C.eq\f(11,24) D.eq\f(17,24)【解析】一道數(shù)學(xué)難題，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；②B解出，A，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；③C解出，A，B解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).所以恰有1人解出的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24).故選C.變式4：設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為()A．0.25 B．0.30C．0.31 D．0.35【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁需使用設(shè)備分別為事件A，B，C，D，則P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用設(shè)備的概率P1＝P(eq\x\to(A)BCD∪Aeq\x\to(B)CD∪ABeq\x\to(C)D∪ABCeq\x\to(D))＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用設(shè)備的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故選C.變式5：國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定3人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)【解析】因?yàn)榧?、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，所以他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，故至少有1人去北京旅游的概率為1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).故選B.變式6：甲騎自行車(chē)從A地到B地，途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒(méi)有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(4,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,27)【解析】由題意知，甲在前兩個(gè)十字路口沒(méi)有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故選B.變式7：甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時(shí)被選中的概率；(2)求三人均未被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．【解析】設(shè)甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)3人同時(shí)被選中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)法一：三人均未被選中的概率P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,10).法二：三人至少有1人被選中的概率為eq\f(9,10)，∴P＝1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10).(3)3人中有2人被選中的概率P2＝P(ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).3人中只有1人被選中的概率P3＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)∪eq\x\to(A)Beq\x\to(C)∪eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).故3人中至少有1人被選中的概率為P1＋P2＋P3＝eq\f(1,10)＋eq\f(23,60)＋eq\f(5,12)＝eq\f(9,10).變式8：甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．求恰好有2人被選中的概率．【解析】設(shè)甲被選中的概率為P(A)，乙被選中的概率為P(B)，則P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝eq\f(11,20)，①P(A)P(B)＝eq\f(3,10)，②由①②知P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝\f(3,4)，PB＝\f(2,5)))故恰有2人被選中的概率P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(23,60).變式9：在奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題，已知甲答對(duì)這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq\f(1,4).設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立的．(1)求乙答對(duì)這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率．【解析】(1)記甲、乙、丙3人獨(dú)自答對(duì)這道題分別為事件A，B，C，設(shè)乙答對(duì)這道題的概率P(B)＝x，由于每人回答問(wèn)題正確與否是相互獨(dú)立的，因此A，B，C是相互獨(dú)立事件．由題意，并根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，得P()＝P()P()＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×(1－x)＝eq\f(1,12)，解得x＝eq\f(2,3)，所以，乙對(duì)這道題的概率為P(B)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答對(duì)這道題”為事件M，丙答對(duì)這道題的概率P(C)＝y(tǒng).由(1)，并根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，得P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(2,3)×y＝eq\f(1,4)，解得y＝eq\f(3,8).甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率為P()＝P()P()P()＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))＝eq\f(5,96).因?yàn)槭录凹住⒁?、丙三人都回答錯(cuò)誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題”是對(duì)立事件，所以，所求事件概率為P(M)＝1－eq\f(5,96)＝eq\f(91,96).考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用解題方略：求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；(2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．【例3】三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．【解析】記“三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不發(fā)生故障的事件為(A2∪A3)A1，則不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).變式1：某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪問(wèn)題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．求該選手被淘汰的概率．【解析】記事件“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”為Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(A3)＝eq\f(2,5).法一：該選手被淘汰的概率為P(eq\x\to(A)1)＋P(A1eq\x\to(A)2)＋P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(101,125).法二：該選手被淘汰的概率為1－P(A1A2A3)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(101,125).變式2：如圖，A，B，C表示3個(gè)開(kāi)關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，那么系統(tǒng)的可靠性為()A．0.054 B．0.994C．0.496 D．0.06【解析】記三個(gè)開(kāi)關(guān)都正常工作分別為事件A，B，C，則P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)出現(xiàn)故障的事件為eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C)，則此系統(tǒng)正常工作的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故選B.練習(xí)一事件獨(dú)立性的判斷1、一袋中裝有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，記A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，則事件A1與是()A．相互獨(dú)立事件 B．對(duì)立事件C．互斥事件 D．無(wú)法判斷【解析】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，對(duì)下次摸球結(jié)果沒(méi)有影響，故事件A1，是相互獨(dú)立事件．故選A2、甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A＝“甲擊中目標(biāo)”，事件B＝“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B()A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥【解析】對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說(shuō)事件A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.練習(xí)二求相互獨(dú)立事件的概率1、在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車(chē)在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為_(kāi)_______．【解析】由題意可知，每個(gè)交通燈開(kāi)放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在這個(gè)道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)2、某天上午，李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)．為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________．【解析】至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率為1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.答案：0.983、甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)螺母，其中有180個(gè)A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)【解析】設(shè)“從甲盒中取一螺桿為A型螺桿”為事件A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母”為事件B，則A與B相互獨(dú)立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，則從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，恰好可配成A型螺栓的概率為P＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).故選C4、兩名射手射擊同一目標(biāo)，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標(biāo)被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96【解析】∵兩人都沒(méi)有擊中的概率為0.2×0.3＝0.06，∴目標(biāo)被擊中的概率為1－0.06＝0.94.故選C5、某地區(qū)為女農(nóng)民工免費(fèi)提供家政和醫(yī)院陪護(hù)工培訓(xùn)，每人可選擇參加一項(xiàng)、兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)家政培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)醫(yī)院陪護(hù)工培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人的選擇相互之間沒(méi)有影響．任選1名女農(nóng)民工，則她參加過(guò)培訓(xùn)的概率是________．【解析】設(shè)事件A表示“女農(nóng)民工參加家政培訓(xùn)”，事件B表示“女農(nóng)民工參加醫(yī)院陪護(hù)工培訓(xùn)”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，任選1名女農(nóng)民工，她兩項(xiàng)培訓(xùn)都沒(méi)參加的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，則她參加過(guò)培訓(xùn)的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－0.1＝0.9.答案：0.96、在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率；(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．【解析】記“甲氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件A，“乙氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件B.顯然事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(19,20).7、某同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科的考試成績(jī)?cè)谝淮慰荚囍信琶嗟谝坏母怕剩赫Z(yǔ)文為0.9，數(shù)學(xué)為0.8，英語(yǔ)為0.85，求：(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？【解析】分別記該生語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試成績(jī)排名全班第一的事件為A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨(dú)立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成績(jī)均未獲得第一名”可以用eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C)表示，所求的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成績(jī)未獲得第一名”可以用(eq\x\to(A)BC)∪(Aeq\x\to(B)C)∪(ABeq\x\to(C))表示．由于事件eq\x\to(A)BC，Aeq\x\to(B)C和ABeq\x\to(C)兩兩互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性定義，所求的概率為P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(