高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布(精練)(原卷版+解析)

9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【題型解讀】【題型一超幾何分布】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（）班（）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下：（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（）班的名學(xué)生中抽出人，設(shè)表示人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．2.為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.3.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）為慶祝2021年中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級(jí)舉行“黨史知識(shí)你我答”活動(dòng)，共有10個(gè)班，每班選5名選手參加了預(yù)賽，預(yù)賽滿分為150分，現(xiàn)預(yù)賽成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間.將成績(jī)結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若成績(jī)大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求參賽學(xué)生在這次活動(dòng)中成績(jī)良好的人數(shù)；（2）若從第一?五組中共隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，記X為取得第一組成績(jī)的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.4．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率；(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【題型二二項(xiàng)分布】1.(2023·四川模擬）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.6352.(2023·武昌模擬）在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中3個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這3個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：（1）求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破2項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；（2）若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，求X的分布列及期望．3．(2023·石家莊模擬）某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過手機(jī)收看的約占，通過電視收看的約占，其他為未收看者：(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過手機(jī)收看的概率；(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用表示通過電視收看的人數(shù)，求的分布列和期望．4.(2023·臨沂二模）某種植戶對(duì)一塊地上的（）個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列.【題型三正態(tài)分布】1.(2023·唐山二模）每年4月15口為全民國(guó)家安全教育日，某地教育部門組織大學(xué)生“國(guó)家安全”知識(shí)競(jìng)賽．已知當(dāng)?shù)刂挥屑住⒁覂伤髮W(xué)，且兩校學(xué)生人數(shù)相等，甲大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，乙大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布．(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，每名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)從兩所大學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率；(3)記這次競(jìng)賽所有大學(xué)生的成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量，并用正態(tài)分布來近似描述的分布，根據(jù)（2）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值．（的值精確到0.1）附：若隨機(jī)變量，則，．2.(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）2021年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)，為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視．2021年廣州市某公司為了動(dòng)員職工積極參加植樹造林，在3月12日植樹節(jié)期間開展植樹有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每位植樹者植樹每滿15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹每滿25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每箱內(nèi)各有10個(gè)球（這些球除顏色外全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個(gè)紅球、個(gè)黃球、5個(gè)黑球（），乙箱內(nèi)有4個(gè)紅球和6個(gè)黃球．每次摸出一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹棵數(shù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有100位植樹者，請(qǐng)估計(jì)植樹的棵數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某人植樹50棵，有兩種摸獎(jiǎng)方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；請(qǐng)問：這位植樹者選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大？附參考數(shù)據(jù)：若，則，．4.(2023·廣東高三模擬）中國(guó)人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國(guó)培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學(xué)的學(xué)生中，為了加強(qiáng)愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)的抽取了100人，對(duì)他們進(jìn)行校史問卷測(cè)試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為新人學(xué)的學(xué)生校史問卷測(cè)試分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個(gè)人中至少有1人校史問卷測(cè)試分?jǐn)?shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.【題型四特殊分布的綜合應(yīng)用】1(2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）某藥廠研制了治療一種疾病的新藥，該藥的治愈率為.現(xiàn)用此藥給位病人治療，記被治愈的人數(shù)為.(1)若，從這人中隨機(jī)選人進(jìn)行用藥體驗(yàn)訪談，求被選中的治愈人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)為何值時(shí)，概率最大？并說明理由.2．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試．經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立．(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；(2)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【題型解讀】【題型一超幾何分布】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（）班（）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下：（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（）班的名學(xué)生中抽出人，設(shè)表示人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．【解析】（1）抽取的人中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀有人，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率.（2）由散點(diǎn)圖可知：高一（）班的名學(xué)生中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為人，所有可能的取值為，；；；則的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）由散點(diǎn)圖知：，，；，，；，，；，，；.2.為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.答案：(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見解析；②.分析：⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2個(gè)城市全是小城市的概率表示出來，解方程即可；⑵①的分布符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算方法求概率即可；②利用條件概率求概率的方法求概率即可.（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.②若抽取的4個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個(gè)城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為.3.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）為慶祝2021年中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級(jí)舉行“黨史知識(shí)你我答”活動(dòng)，共有10個(gè)班，每班選5名選手參加了預(yù)賽，預(yù)賽滿分為150分，現(xiàn)預(yù)賽成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間.將成績(jī)結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若成績(jī)大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求參賽學(xué)生在這次活動(dòng)中成績(jī)良好的人數(shù)；（2）若從第一?五組中共隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，記X為取得第一組成績(jī)的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.答案：(1)27；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】(1)由題意知，共選出50名學(xué)生參加預(yù)賽，由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)赱100,120]內(nèi)的人數(shù)為：人，所以該班成績(jī)良好的人數(shù)為27人；(2)由題意，第一組有3人，第五組有4人，從這兩組隨機(jī)取兩個(gè)成績(jī)，所以，，，故X的分布列為：X012P所以.4．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率；(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由汽車銷量圖得7年中有6年汽車總銷量不小于5.5萬輛，則隨機(jī)選取一年，這一年該地區(qū)汽車總銷量不小丁5.5萬輛的概率為．（2）由圖表得新能源汽車2015-2021年的銷量如下表：年份2015201620172018201920202021新能源汽年銷量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份有2個(gè)，不超過0.5萬輛的年份有5個(gè)，則隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為所以．【題型二二項(xiàng)分布】1.(2023·四川模擬）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.635答案：（1）沒有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；（2）分布列見解析；，.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得100名觀眾中體育迷的人數(shù)為，故男性中體育迷為15人，故可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100所以，故沒有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).（2）由（1）可得任取一人為體育迷的概率為，故，所以，，，.故分布列為：0123又，.2.(2023·武昌模擬）在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中3個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這3個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：（1）求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破2項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；（2）若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，求X的分布列及期望．答案：（1）；（2）分布列見解析，2.【解析】解：（1）依題意，該運(yùn)動(dòng)員在每個(gè)項(xiàng)目上“能打破世界紀(jì)錄”為獨(dú)立事件，并且每個(gè)事件發(fā)生的概率相同．設(shè)其打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為隨機(jī)變量，“該運(yùn)動(dòng)員至少能打破3項(xiàng)世界紀(jì)錄”為事件A，則有（2）設(shè)該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，由（1）解答可知，，則,,,，所以X的分布列為X0123P所以期望．3．(2023·石家莊模擬）某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過手機(jī)收看的約占，通過電視收看的約占，其他為未收看者：(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過手機(jī)收看的概率；(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用表示通過電視收看的人數(shù)，求的分布列和期望．【解析】（1）記事件為至少有1人通過手機(jī)收看，由題意知，通過手機(jī)收看的概率為，沒有通過手機(jī)收看的概率為，則；（2）由題意知：，則的可能取值為0，1，2，3，；；；；所以的分布列為：0123所以.4.(2023·臨沂二模）某種植戶對(duì)一塊地上的（）個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列.【解析】（1）由題意可知每個(gè)坑要補(bǔ)種的概率，則個(gè)坑中有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率為.欲使最大，只需解得.因?yàn)?，所以?.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大，最大概率.（2）易知的取值范圍為，且，因此，，，，，所以的分布列為01234【題型三正態(tài)分布】1.(2023·唐山二模）每年4月15口為全民國(guó)家安全教育日，某地教育部門組織大學(xué)生“國(guó)家安全”知識(shí)競(jìng)賽．已知當(dāng)?shù)刂挥屑?、乙兩所大學(xué)，且兩校學(xué)生人數(shù)相等，甲大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，乙大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布．(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，每名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)從兩所大學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率；(3)記這次競(jìng)賽所有大學(xué)生的成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量，并用正態(tài)分布來近似描述的分布，根據(jù)（2）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值．（的值精確到0.1）附：若隨機(jī)變量，則，．【解析】（1），根據(jù)題意，故．（2）因?yàn)閮伤髮W(xué)的學(xué)生人數(shù)相等，所以隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生來自兩所大學(xué)的概率均為．設(shè)該學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋畡t．（3）由于兩所大學(xué)的學(xué)生人數(shù)相等，、的方差也相等．根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可知．由（2）可知．又根據(jù)參考數(shù)據(jù)，所以，得．2.(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）2021年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)，為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.【解析】（1），．（2）(i)由題意并結(jié)合(1)可知，，，∴，∴．(ii)由(ⅰ)可知，，∴，∴，．3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視．2021年廣州市某公司為了動(dòng)員職工積極參加植樹造林，在3月12日植樹節(jié)期間開展植樹有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每位植樹者植樹每滿15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹每滿25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每箱內(nèi)各有10個(gè)球（這些球除顏色外全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個(gè)紅球、個(gè)黃球、5個(gè)黑球（），乙箱內(nèi)有4個(gè)紅球和6個(gè)黃球．每次摸出一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹棵數(shù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有100位植樹者，請(qǐng)估計(jì)植樹的棵數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某人植樹50棵，有兩種摸獎(jiǎng)方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；請(qǐng)問：這位植樹者選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大？附參考數(shù)據(jù)：若，則，．答案：（1）人；（2）第二種方法所得獎(jiǎng)金期望值大.【解析】（1）由題設(shè)，，而，∴100位植樹者中植樹的棵數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為人.（2）摸甲箱：由題設(shè)知，故中100元、50元、沒中獎(jiǎng)的概率分別為、、；摸乙箱：中100元、50元的概率分別為、，∴甲箱內(nèi)一次摸獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金可能值為，且，，，則，∴三次摸獎(jiǎng)的期望為，而可能取值為，即.兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)，所得獎(jiǎng)金可能值為，，，，此時(shí)，期望獎(jiǎng)金為元.綜上，，故第二種方案摸獎(jiǎng)期望值大.4.(2023·廣東高三模擬）中國(guó)人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國(guó)培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學(xué)的學(xué)生中，為了加強(qiáng)愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)的抽取了100人，對(duì)他們進(jìn)行校史問卷測(cè)試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為新人學(xué)的學(xué)生校史問卷測(cè)試分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個(gè)人中至少有1人校史問卷測(cè)試分?jǐn)?shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.答案：（1），；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，則平均數(shù)；方差.（2）（i