人教高中數(shù)學A版必修一 4《函數(shù)的零點與方程的解 用二分法求方程的近似解 函數(shù)模型的應用》

4.5.1

函數(shù)的零點與方程的解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一二三一、函數(shù)的零點1.已知函數(shù)f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點坐標.提示:交點坐標A(-3,0).(3)方程的解與函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標之間是怎樣的關系?提示:相等.一二三2.填空:函數(shù)的零點(1)定義:對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標就是函數(shù)y=f(x)的零點.3.函數(shù)y=f(x)的零點是點嗎?為什么?提示:不是.函數(shù)的零點的本質是方程f(x)=0的實數(shù)根,因此,函數(shù)的零點不是點,而是一個實數(shù),當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時,函數(shù)值為零.4.你能說出函數(shù)①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零點嗎?提示:①y=lg

x的零點是x=1;②y=lg

(x+1)的零點是x=0;③y=2x沒有零點;④y=2x-2的零點是x=1.一二三5.做一做:函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(

)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點是±1.答案:D一二三二、方程、函數(shù)、圖象之間的關系1.考察下列一元二次方程與對應的二次函數(shù):①方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.(1)你能夠畫出關于上述方程的根,函數(shù)圖象與x軸的交點及函數(shù)的零點的表格嗎?一二三提示:一二三(2)從你所列的表格中,你能得出什么結論?提示:方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.一二三三、函數(shù)零點存在性定理1.觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象,發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上有零點x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結論?提示:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點.2.填空:函數(shù)零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.一二三3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是間斷的,上述定理成立嗎?提示:不一定成立,由下圖可知.4.反過來,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點,f(a)·f(b)<0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函數(shù)f(x)=x2-2x+1的圖象可知.一二三5.判斷正誤:函數(shù)y=f(x)的圖象是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的曲線,若f(a)·f(b)>0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內沒有零點.(

)答案:×6.做一做:函數(shù)f(x)=x3+2x+1的零點一定位于下列哪個區(qū)間上(

)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]解析:因為f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零點在區(qū)間[-1,0]上.答案:B探究一探究二探究三思想方法隨堂演練求函數(shù)的零點例1

判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出零點.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16;分析:可通過解方程f(x)=0求得函數(shù)的零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數(shù)的零點為2.反思感悟

因為函數(shù)f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸公共點的橫坐標,所以求函數(shù)的零點通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點;二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的橫坐標即為函數(shù)的零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點.解:由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實根.所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點為0.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練利用函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)零點的個數(shù)例2判斷函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點個數(shù).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)在區(qū)間(0,2)內必定存在實數(shù)根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個零點.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐標系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示.由圖象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個公共點,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).2.直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個圖象公共點的個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點的個數(shù).4.若證明一個函數(shù)的零點唯一,也可先由零點存在定理判斷出函數(shù)有零點,再證明該函數(shù)在定義域內單調.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓練

2(1)若abc≠0,且b2=ac,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.1或2(2)判斷函數(shù)f(x)=x-3+lnx的零點個數(shù).(1)解析:∵b2=ac,∴方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.故函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點個數(shù)為0.答案:A探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+ln

x=0,則ln

x=3-x.在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=ln

x與y=-x+3的圖象,如圖所示.由圖可知函數(shù)y=ln

x與y=-x+3的圖象只有一個公共點,即函數(shù)f(x)=x-3+ln

x只有一個零點.(方法二)因為f(3)=ln

3>0,f(2)=-1+ln

2=ln<0,所以f(3)f(2)<0,說明函數(shù)f(x)=x-3+ln

x在區(qū)間(2,3)內有零點.又f(x)=x-3+ln

x在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),所以原函數(shù)只有一個零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間例3

(1)方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為

(

)A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)根據表格中的數(shù)據,可以判定方程ex-x-2=0的一個實數(shù)解所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N),則k的值為

.

分析:(1)構造函數(shù)f(x)=log3x+x-3,轉化為確定函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間;(2)構造與方程對應的函數(shù),然后根據表格判斷函數(shù)值的符號,從而確定零點所在的區(qū)間,再求k值.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,則f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=log3

<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3),所以方程log3x+x=3的實數(shù)解所在的區(qū)間為(2,3).(2)記f(x)=ex-x-2,則該函數(shù)的零點就是方程ex-x-2=0的實數(shù)解.由題表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零點存在定理可得f(1)f(2)<0,故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(1,2).所以k=1.答案:(1)C

(2)1探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟1.依據函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內是否有零點,關鍵看兩點:一是曲線是否連續(xù)不斷;二是f(a)與f(b)是否異號,就是說這種方法只能判斷變號零點(即在零點左右兩側附近函數(shù)值的符號發(fā)生改變的零點).2.判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟:(1)代.將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值.(2)判.把所得函數(shù)值相乘,并進行符號判斷.(3)結.若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內是單調函數(shù),則函數(shù)在該區(qū)間內無零點,若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù),則函數(shù)在該區(qū)間內至少有一個零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練探究一探究二探究三思想方法隨堂演練答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三思想方法隨堂演練函數(shù)與方程思想在一元二次方程解的分布問題中的應用典例

關于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時:(1)方程有一個正解和一個負解;(2)方程的兩個解都大于1.【審題視角】

題意→畫草圖→轉換為數(shù)量關系→求解探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)當方程有一個正解和一個負解時,f(x)對應的草圖可能如圖①,②所示.解得0<a<1.所以當0<a<1時,方程有一個正解和一個負解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)當方程的兩個解都大于1時,f(x)對應的草圖可能如圖③,④所示.解得a∈?.所以不存在實數(shù)a,使方程的兩個解都大于1.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練方法點睛解決有關解的分布問題應注意以下幾點:(1)首先畫出符合題意的草圖,轉化為函數(shù)問題.(2)結合草圖考慮四個方面:①開口方向;②Δ與0的大小關系;③對稱軸與所給端點值的關系;④端點的函數(shù)值與零的關系.(3)寫出由題意得到的不等式(組).(4)由得到的不等式(組)的解去驗證圖象是否符合題意.這類問題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,也體現(xiàn)了方程的解就是函數(shù)的零點.在寫不等式(組)時要注意條件的完備性.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓練本例已知條件不變,求a為何值時:(1)方程有唯一實數(shù)解;(2)方程的一個解大于1,一個解小于1.解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.

探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)因為方程的一個解大于1,一個解小于1.f(x)的草圖可能如圖⑤,⑥所示.所以當a>0時,方程的一個解大于1,一個解小于1.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練1.函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點是2,故選C.答案:C2.若x0是方程lnx+x=4的解,則x0所在的區(qū)間是

(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析:設f(x)=ln

x+x-4,則f(1)=-3<0,f(2)=ln

2-2<0,f(3)=ln

3-1>0,f(4)=ln

4>0,則x0∈(2,3).答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練3.已知函數(shù)y=ax2-x-1只有一個零點,則實數(shù)a的值為

.

解析:當a=0時,函數(shù)為y=-x-1,顯然該函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,即函數(shù)只有一個零點.當a≠0時,函數(shù)y=ax2-x-1為二次函數(shù).∵函數(shù)y=ax2-x-1只有一個零點,∴方程ax2-x-1=0有兩個相等的實數(shù)解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練4.函數(shù)y=2|x|+x-2的零點的個數(shù)為

.

解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=2|x|與函數(shù)y=2-x的圖象,如圖,圖象有2個公共點,即方程2|x|+x-2=0有2個實數(shù)解,也就是函數(shù)有2個零點.答案:2探究一探究二探究三思想方法隨堂演練5.判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點:(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];(2)f(x)=x2+2x+1-,x∈(0,+∞).解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有兩個零點.所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在零點,且僅有一個零點.4.5.2

用二分法求方程的近似解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一二一、二分法的概念1.在一檔娛樂節(jié)目中,主持人讓選手在規(guī)定時間內猜某物品的價格,若猜中了,就把物品獎給選手.某次競猜的物品為價格在800元~1200元之間的一款手機,選手開始報價:選手:1000.主持人:低了.選手:1100.主持人:高了.選手:1050.主持人:祝賀你,答對了.(1)主持人說“低了”隱含著手機價格在哪個范圍內?提示:(1

000,1

200].(2)選手每次的報價值同競猜前手機價格所在范圍有何關系?提示:報價值為競猜前手機價格所在范圍的中間值.一二2.填空對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.3.判斷正誤函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求其零點.(

)答案:×一二4.做一做下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(

)解析:利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側的函數(shù)值異號.在選項B中,不滿足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函數(shù)零點,由于選項A,C,D中零點兩側的函數(shù)值異號,故可采用二分法求函數(shù)零點.答案:B一二二、用二分法求f(x)零點近似值的步驟1.在上述猜物品價格的實例中,競猜的過程是否有規(guī)律可循?提示:競猜過程歸結為:設原價為x,則(1)給定價格區(qū)間[a,b];(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;(3)若c>x,則在區(qū)間(a,c)內競猜;若c<x,則在區(qū)間(c,b)內競猜;(4)依次類推,直到猜出原價x.2.填空給定精確度ε,用二分法求f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0;(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區(qū)間;若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數(shù)的零點;若f(a)f(c)<0(此時零點x0∈(a,c)),則令b=c;若f(c)f(b)<0(此時零點x0∈(c,b)),則令a=c.(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b),否則重復(2)~(4).一二3.判斷正誤二分法只可用來求方程的近似解.(

)答案:×一二4.做一做若函數(shù)f(x)=log3x+x-3的一個零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算,參考數(shù)據如下:f(2)≈-0.3691

f(2.5)≈0.3340f(2.25)≈-0.0119 f(2.375)≈0.1624f(2.3125)≈0.0756 f(2.28125)≈0.0319

則方程x-3+log3x=0的一個近似解(精確度0.1)為(

)A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4解析:由參考數(shù)據可知f(2.25)·f(2.312

5)<0,且|2.312

5-2.25|=0.062

5<0.1,所以當精確度為0.1時,可以將x=2.3作為函數(shù)f(x)=log3x+x-3零點的近似值,也即為方程x-3+log3x=0的近似根.答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練二分法的概念例1下列圖象表示的函數(shù)中,能使用二分法求零點的是(

)分析:利用二分法求函數(shù)零點的條件是:函數(shù)在零點的左右兩側的函數(shù)值符號相反,即穿過x軸,分析選項可得答案.解析:能用二分法求函數(shù)零點的函數(shù),在零點的左右兩側的函數(shù)值符號相反,由圖象可得,A、B、D不能滿足此條件.答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟

(1)二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點的方法,找到零點附近足夠小的區(qū)間,根據所要求的精確度,用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.(2)只有滿足函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應用“二分法”求函數(shù)零點.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓練1若二次函數(shù)f(x)=2x2+3x+m存在零點,且能夠利用二分法求得此零點,則實數(shù)m的取值范圍是

.

探究一探究二探究三思想方法隨堂演練用二分法求函數(shù)的零點例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負零點的近似值(精確度0.1).分析:先確定f(-2)與f(-3)的符號,再按照二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算,列表如下:由于|-2.25-(-2.187

5)|=0.062

5<0.1,所以函數(shù)的一個近似負零點可取-2.25.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則及求解流程圖1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則:(1)依據圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m,n](這個區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區(qū)間的端點盡量為整數(shù)).(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個過程中應及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數(shù)零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練2.利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練延伸探究如本例中的精確度改為0.2呢?解:由【例2】的表格可知,區(qū)間(-2.25,-2)的長度為|-2-(-2.25)|=0.25>0.2;而區(qū)間(-2.25,-2.125)的長度|-2.125-(-2.25)|=0.125<0.2,所以這個區(qū)間的兩個端點值就可以作為其近似值,所以其近似值可取-2.125.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練求方程的近似解例3

求方程lgx=2-x的近似解(精確度0.1).分析:在同一平面直角坐標系中,畫出y=lg

x和y=2-x的圖象,確定方程的解所在的大致區(qū)間,再用二分法求解.解:在同一平面直角坐標系中,作出y=lg

x,y=2-x的圖象如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)方程lg

x=2-x有唯一解,記為x0,并且解在區(qū)間(1,2)內.若f(x)=lg

x+x-2,則f(x)的零點為x0.用計算器計算,得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);f(1.75)<0,f(1.812

5)>0?x0∈(1.75,1.812

5).∵|1.812

5-1.75|=0.062

5<0.1,∴方程的近似解可取為1.812

5.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟用二分法求方程的近似解需明確的兩點1.根據函數(shù)的零點與相應方程的解的關系,求函數(shù)的零點與求相應方程的解是等價的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.2.對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通過移項轉化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓練2用二分法求2x+x=4在區(qū)間(1,2)內的近似解(精確度0.2).參考數(shù)據:解:令f(x)=2x+x-4,則f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在(1,2)內的近似解可取為1.375.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練轉化與化歸思想在二分法中的應用

以下用二分法求其零點的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間.用二分法逐步計算,列表如下:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練由于區(qū)間(1.257

812

5,1.265

625)的長度為1.265

625-1.257

812

5=0.007

812

5<0.01,探究一探究二探究三思想方法隨堂演練方法點睛1.求根式的近似值,實質上就是將根式轉化為方程的無理根,再轉化為函數(shù)的零點,通過二分法求解.2.二分法思想的實質是一種逼近思想,所求值與近似值間的差異程度取決于精確度ε.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練用二分法逐次計算,見表如下:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,其中零點的個數(shù)及可以用二分法求其零點的個數(shù)分別為(

)A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3解析:由題圖知函數(shù)f(x)與x軸有4個公共點,因此零點個數(shù)為4,從左往右數(shù)第4個公共點橫坐標的左右兩側的函數(shù)值同號,因此不能用二分法求該零點,而其余3個均可使用二分法來求.故選D.答案:D探究一探究二探究三思想方法隨堂演練2.用二分法求函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的近似零點時的初始區(qū)間是(

)A.(1,3) B.(1,2)C.(-2,-1) D.(-3,-2)解析:本題考查對用二分法求函數(shù)零點近似值的理解及初始區(qū)間的選擇.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.又函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的定義域為R,故f(x)的一個零點的近似值所在的初始區(qū)間為(1,2).答案:B3.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內的近似解時,經計算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一個近似解為

.(精確度0.1)

解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)內的值都可以作為方程精確度為0.1的一個近似解.答案:0.532(答案不唯一)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練4.用二分法求函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間[1,2]上零點的近似值,先取

解析:∵f(1)=-1<0,f(2)=ln

2>0,探究一探究二探究三思想方法隨堂演練5.求方程x2=2x+1的一個近似解(精確度0.1).解:設f(x)=x2-2x-1,因為f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以確定區(qū)間[2,3]作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐步計算,列表如下:因為|2.375-2.437

5|=0.062

5<0.1.所以方程x2=2x+1的一個近似解可取2.437

5.4.5.3

函數(shù)模型的應用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一二一、利用具體函數(shù)模型解決實際問題1.除了上一章涉及到的數(shù)學模型,常見的數(shù)學模型還有哪些?提示:利用具體函數(shù)解決實際問題是我們要關注的內容,具體函數(shù)的運用在生活中有很多體現(xiàn),在學習完函數(shù)這部分內容以后,希望同學們能重點運用上一章提到的函數(shù)及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)來解決問題.下面是幾種常見的函數(shù)模型:(1)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1);(2)對數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1);一二2.做一做某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……現(xiàn)有2個這樣的細胞,分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關系是(

)A.y=2x B.y=2x-1C.y=2x D.y=2x+1解析:分裂一次后由2個變成2×2=22(個),分裂兩次后變成4×2=23(個),……,分裂x次后變成2x+1個.答案:D一二二、擬合函數(shù)模型1.應用擬合函數(shù)模型解決問題的基本過程一二2.解答函數(shù)實際應用問題時,一般要分哪四步進行?提示:第一步:分析、聯(lián)想、轉化、抽象;第二步:建立函數(shù)模型,把實際應用問題轉化為數(shù)學問題;第三步:解答數(shù)學問題,求得結果;第四步:把數(shù)學結果轉譯成具體問題的結論,做出解答.而這四步中,最為關鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當,所有的問題即可在此基礎上迎刃而解.一二3.做一做“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝.”圖中給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖,那么紅豆的枝數(shù)與生長時間的關系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好?(

)A.指數(shù)函數(shù)y=2tB.對數(shù)函數(shù)y=log2tC.冪函數(shù)y=t3D.二次函數(shù)y=2t2解析:根據所給的散點圖,觀察可知圖象在第一象限,且從左到右圖象是上升的,并且增長速度越來越快,根據四個選項中函數(shù)的增長趨勢可得,用指數(shù)函數(shù)模型擬合最好.答案:A探究一探究二探究三隨堂演練指數(shù)或對數(shù)函數(shù)模型的應用例1

一片森林原來的面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?分析:可建立指數(shù)函數(shù)模型求解.探究一探究二探究三隨堂演練解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年.

探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟1.本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N·(1+p)x(其中N為原來的基礎數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.2.在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題,都常用到指數(shù)函數(shù)模型.探究一探究二探究三隨堂演練變式訓練1為落實國家“精準扶貧”政策,讓市民吃上放心蔬菜,某企業(yè)于2017年在其扶貧基地投入100萬元研發(fā)資金,用于蔬菜的種植及開發(fā),并計劃今后十年內在此基礎上每年投入的資金比上一年增長10%.(1)寫出第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)該企業(yè)從第幾年開始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過200萬元?(參考數(shù)據lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)探究一探究二探究三隨堂演練解:(1)第一年投入的資金數(shù)為100(1+10%)萬元,第二年投入的資金數(shù)為100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2萬元,第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關系式為y=100(1+10%)x萬元,其定義域為{x∈N*|x≤10}.即企業(yè)從第8年開始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過200萬元.探究一探究二探究三隨堂演練對數(shù)函數(shù)模型例2科學研究表明:人類對聲音有不一樣的感覺,這與聲音的強度I(單位:瓦/平方米)有關.在實際測量時,常用L(單位:分貝)來表示聲音強弱的等級,它與聲音的強度I滿足關系式:

(a是常數(shù)),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如風吹落葉沙沙聲的強度I=1×10-11瓦/平方米,它的強弱等級L=10分貝.(1)已知生活中幾種聲音的強度如下表:求a和m的值;(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強弱等級一般不能超過50分貝,求此時聲音強度I的最大值.探究一探究二探究三隨堂演練分析:(1)根據條件代入關系式,即可求出a和m的值;(2)解不等式L≤50即可.即I≤105×10-12=10-7.答:此時聲音強度I的最大值為10-7瓦/平方米.探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟

(1)基本類型:有關對數(shù)函數(shù)模型的應用題一般都會給出函數(shù)解析式,然后根據實際問題再求解.(2)求解策略:首先根據實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據,代入解析式求值,然后根據數(shù)值回答其實際意義.探究一探究二探究三隨堂演練變式訓練2大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產地產卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與

成正比,且當Q=900時,v=1.(1)求出v關于Q的函數(shù)解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù);(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數(shù)應怎樣變化?探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練擬合函數(shù)模型的應用題例3

為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響,在山上建立了一個觀察站,測量最大積雪深度xcm與當年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料,如下表所示:探究一探究二探究三隨堂演練(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據點(x,y);(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?分析:首先根據表中數(shù)據描出各點,然后通過觀察圖象來判斷問題所適用的函數(shù)模型.探究一探究二探究三隨堂演練解:(1)數(shù)據點分布如圖甲所示.

探究一探究二探究三隨堂演練(2)從圖甲中可以看到,數(shù)據點大致落在一條直線附近,由此,我們假設灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(10.4,21.1),(24.0,45.8),用計算器可算得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖乙,可以發(fā)現(xiàn),這個函數(shù)模型與已知數(shù)據的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系.(3)由(2)得當x=25時,y=2.4+1.8×25=47.4,即當最大積雪深度為25

cm時,可以灌溉土地47.4

hm2.探究一