專題19 列舉法策略

1例1．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有()例2．設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為45.例3．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是60.例4.有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法例5．從，1，2，3…，20中選取四元數(shù)組(a1，a2則這樣的四元數(shù)組(a1，a2，a3，a4)的個數(shù)是()S+1．已知“有增有減”A．64個B．57個C．56個D．54個例7．若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有()個例8．集合I={1，2，3，4，5}．選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中的最小數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有49種.2例9．定義域為集合{1，2，3，…,12}上的函數(shù)f(x)滿足：①f（1）=1；②|f(x+1)一f(x)|=1(x=1，2，…,11)；③f（1）、f（6）、f(12)成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)f(x)的個數(shù)為155.例10．由海軍、空軍、陸軍各3名士兵組成一個有不同編號的3×3的小方陣，要求同一軍種不在同一行，也不在同一列，有2592種排法.例11．設(shè)集合I={1，2，3，4}，選擇I的兩個非空子集A和B，使得A中最大的數(shù)不大于B中最小的數(shù)，則可組成不同的子集對(A,B)49個.u，v，w)|0t<u4，0v<w4且t，u，v，w∈N\}，用card(X)表示集合X中的元素個數(shù)，則cardA．200B．150C．100例13．某城市街道的平面圖如圖所示，若每個路口僅能沿右、左上、右上三個方向走，從A至B的路徑條數(shù)有n條：若P、Q兩處因故施工，不能通行，從A至B的路徑條數(shù)有m條，則n，m分別為()A．1552；256B．1440；256C．1552；288D．1440；288例14．某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i=1，2，…,6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有()A．22種B．24種C．25種D．27種例15．如圖所示，玩具計數(shù)算盤的三檔上各有7個算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無珠記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a，b，c．例如，圖中上檔的數(shù)字和a=9．若a，b，c成等差數(shù)列，則不同的分珠計數(shù)法有()種.例16.若一個三位數(shù)中任意兩相鄰數(shù)位上兩數(shù)差的絕對值小于或等于1，則稱此三位數(shù)為“靈犀數(shù)”，這樣的三位“靈犀數(shù)”共有個1例1．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有()【解析】解：根據(jù)題意，做出樹狀圖，注意第四次時球不能在甲的手中.分析可得，共有10種不同的傳球方式；故選：B.例2．設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為45.【解析】解：先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C=5種情況，例如：5號球放在5號盒子里，故將這五個球放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法總數(shù)為5×9=45種，故答案為：45.例3．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是60.【解析】解：第一步任意選取一個螺栓，有6種方法，第二步，按照要求以此固定.不妨第一次固定緊螺栓1，則有如下的固定方法：故答案為：60.例4.有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法【解析】紅111223黃123121蘭321211CCCCCCCCCCCC共有150種.5．從，1，2，3…，20中選取四元數(shù)組(a1，a2，a3，a4)，且滿足a2-a13，a3-a24，a4-a35，3則這樣的四元數(shù)組(a1，a2，a3，a4)的個數(shù)是()【解析】解：將a1連同其右邊的2個空位捆綁，a2連同其右邊的3個空位捆綁，a3連同其右邊的4個空位捆綁分別看作一個元素，四元數(shù)組(a1，a2，a3，a4)的個數(shù)相當于從11個元素中選取4個，故這樣的四故選：B.S+1．已知“有增有減”A．64個B．57個C．56個D．54個【解析】解：由題意可知4個數(shù)值的數(shù)列中，只有2個數(shù)值，例如：x，x，y，y類型，共有C×4=12種.滿足題目的數(shù)列類型共有：54種.故選：D.例7．若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有()個【解析】解：任取一個“十全十美三位數(shù)”，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，118，181，811，4226，262，622，334，343，433，442，244，424，不含有0，并且沒有相同數(shù)字的三位數(shù)．4A=24，分別為：136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，故選：C.例8．集合I={1，2，3，4，5}．選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中的最小數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有49種.【解析】解：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個元素中選出2個元素，有C=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；從5個元素中選出3個元素，有C=10種選法，再分成1一個元素一組、2個元素一組，有兩種分法，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；從5個元素中選出4個元素，有C=5種選法，再分成1個元素一組、3三個元素一組；2個元素一組、2個元素一組；3個元素一組、1一個元素一組，共三種分法，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；從5個元素中選出5個元素，有C=1種選法，再分成1個元素一組、4個元素一組；2個元素一組、3個元素一組；3個元素一組、2個元素一組；4個元素一組、1兩個元素一組組，有四種分法，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；故答案為：49例9．定義域為集合{1，2，3，?,12}上的函數(shù)f(x)滿足：①f（1）=1；②|f(x+1)f(x)|=1(x=1，2，?,11)；③f（1）、f（6）、f(12)成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)f(x)的個數(shù)為155.5【解析】解：經(jīng)分析，f(x)的取值的最大值為x，最小值為2-x，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故f（6）的取值為6，4，2，0，-2，-4.f(12)的取值為12，10，8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，所以能使f(x)中的f（1）、f（6）、f(12)成等比數(shù)列時，f（1）、f（6）、f(12)的取值只有兩種情況：①f（1）=1、f（6）=2、f(12)=4；②f（1）=1、f（6）=-2、f(12)=4.|f(x+1)-f(x)|=1(x=1，2，?,11)，f(x+1)=f(x)+1，或者f(x+1)=f(x)-1，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1.（1）當f（1）=1、f（6）=2、f(12)=4時；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6第二步：從f（6）變化的f(12).從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為C=10種.從f（6）變化到f(12)時有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應(yīng)的方法數(shù)為C=15種.根據(jù)分步乘法原理，共有10×15=150種方法.（2）當f（1）=1、f（6）=-2、f(12)=4時，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6第二步：從f（6）變化的f(12).從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到-2，故應(yīng)從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為C=5種.從f（6）變化到f(12)時有6次變化，函數(shù)值從-2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇6次增加1，對應(yīng)的方法數(shù)為C=1種.根據(jù)分步乘法原理，共有5×1=5種方法.綜上，滿足條件的f(x)共有：150+5=155種.故填：155.例10．由海軍、空軍、陸軍各3名士兵組成一個有不同編號的3×3的小方陣，要求同一軍種不在同一行，也不在同一列，有2592種排法.【解析】解：假設(shè)海軍為a，空軍為b，陸軍為c，先將a，b，c，填入3×3的小方陣，則有2A=12種，每個a，b，c填入3名士兵均有A=6故答案為：2592例11．設(shè)集合I={1，2，3，4}，選擇I的兩個非空子集A和B，使得A中最大的數(shù)不大于B中最小的數(shù)，則可組成不同的子集對(A,B)49個.【解析】解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①,集合A中最大的元素為1，此時集合A有1種情況，集合B的數(shù)目為{1，2，3，4}的非空子集數(shù)目，集合B有24-1=15種情況，此時可組成1×15=15個不同的子集對(A,B)，種情況，此時可組成2×7=14個不同的子集對(A,B)，此時集合A可以為{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，有4種情況，集合B的數(shù)目為{3，4數(shù)目，集合B有22-1=3種情況，此時可組成4×3=12個不同的子集對(A,B)，此時集合A的數(shù)目為{1，2，3}的子集數(shù)目，有23=8種情況，集合B必須為{4}，有1種情況，7此時可組成8×1=8個不同的子集對(A,B)，故答案為：49.u，v，w)|0t<u4，0v<w4且t，u，v，w∈N\}，用card(X)表示集合X中的元素個數(shù)，則cardA．200B．150C．100:card(F)=100；:card（E）+card(F)=200.故選：A.例13．某城市街道的平面圖如圖所示，若每個路口僅能沿右、左上、右上三個方向走，從A至B的路徑條數(shù)有n條：若P、Q兩處因故施工，不能通行，從A至B的路徑條數(shù)有m條，則n，m分別為()A．1552；256B．1440；256C．1552；288D．1440；288【解析】解：由于每個路口僅能沿右、左上、右上三個方向走，則從點A到任意一點的路徑條數(shù)為自身左，右下，左下三個點的路徑條數(shù)之和，故在走到每個點的路徑條數(shù)如下圖所示故選：A.例14．某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i=1，2，?,6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有()A．22種B．24種C．25種D．27種【解析】解：法一：根據(jù)題意，正方形ABCD的邊長為2個單位，則其周長是8，若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則三次骰子的點數(shù)之和是8或16，若三次骰子的點數(shù)之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5種組合，若三次骰子的點數(shù)之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，其中1