自動(dòng)控制理論期末復(fù)習(xí)

第二章第三章第四章第五章第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1、傳遞函數(shù)（定義、性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)）2、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立、等效變換、化簡(jiǎn)）3、梅遜公式4、反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)多個(gè)輸入時(shí)總輸出和總誤差以及相應(yīng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)列寫(xiě)微分方程組，消去中間變量，得到輸入輸出的關(guān)系式傳遞函數(shù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（框圖）等效變換梅遜公式開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)多個(gè)輸入時(shí)總輸出和總誤差以及相應(yīng)的傳遞函數(shù)零初始條件拉氏變換例1 求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2r（t）、n（t）分別為給定輸入和擾動(dòng)輸入，c（t）為輸出，其他為中間變量

框圖的等效變換和化簡(jiǎn)

遵循的原則：轉(zhuǎn)換前后保持信號(hào)的“等效性”。

分兩類(lèi)：1、環(huán)節(jié)的合并（串聯(lián)、并聯(lián)、反饋）

2、信號(hào)的分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)

一般化簡(jiǎn)步驟：a、先將能合并的環(huán)節(jié)合并，b、適當(dāng)移動(dòng)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)，使其能再進(jìn)行環(huán)節(jié)的合并分支點(diǎn)和相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則總結(jié)分支點(diǎn)：前移，“乘”越過(guò)的傳函；

后移，“除”越過(guò)的傳函；相加點(diǎn)：前移，“除”越過(guò)的傳函；

后移，“乘”越過(guò)的傳函。負(fù)號(hào)在支路上的移動(dòng)G(s)H(s)E(s)B(s)R(s)C(s)例3

簡(jiǎn)化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)R(s)C(s)分析

這是一個(gè)沒(méi)有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡(jiǎn)化時(shí)不需要將分支點(diǎn)和相加點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春?jiǎn)單串、并聯(lián)和反饋連接的簡(jiǎn)化規(guī)則，從內(nèi)部開(kāi)始，由內(nèi)向外逐步簡(jiǎn)化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)(b)G1(s)G6(s)R(s)C(s)例4

用框圖等效變換法求取如下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

-解.方框圖變換,原方框圖可變換為分支點(diǎn)前乘后除分支點(diǎn)前乘后除分支點(diǎn)前乘后除加并聯(lián)相加點(diǎn)前除后乘梅遜公式輸入與輸出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的總傳輸（或叫總增益），可用下面的梅遜公式來(lái)求?。菏街?/p>

n：前向通路總條數(shù)

Pk：第k條前向通路的傳遞函數(shù)△：特征式△k：在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的各回路的傳遞函數(shù)（即將其置0），稱為第k條前向通路特征式的余因子∑La：所有回路的傳遞函數(shù)之和∑LbLc：兩兩互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和∑LdLeLf：三個(gè)互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和

解題步驟：一、先分析系統(tǒng)有幾個(gè)前向通道幾個(gè)回路，分別寫(xiě)出它們的傳遞函數(shù)；二、看系統(tǒng)是否有互不接觸的回路，是否存在前向通道和回路互不接觸，從而確定特征式和余因子式；三、利用梅遜公式計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例5用梅遜公式求其傳遞函數(shù)分析：2前5回環(huán)一、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)定義

反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，（簡(jiǎn)稱開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)）。G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)G

(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、閉環(huán)傳遞函數(shù)

1.r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0r(t)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為：G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)CR(s)(b)ER(s)在r(t)作用下系統(tǒng)的誤差輸出為

在r(t)作用下系統(tǒng)的輸出為

2.擾動(dòng)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)=0

C(s)系統(tǒng)輸出為：G1(s)H(s)R(s)E(s)N(s)G2(s)系統(tǒng)誤差輸出為：G1(s)G2(s)H(s)Cn(s)N(s)En(s)-1擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)為：3、給定輸入和擾動(dòng)輸入信號(hào)同時(shí)作用下的輸出系統(tǒng)總的輸出C(s)為系統(tǒng)總的誤差輸出E(s)為常用的單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系例6 求對(duì)應(yīng)框圖的各類(lèi)傳遞函數(shù)第三章時(shí)域分析法1、時(shí)域性能指標(biāo)2、一階系統(tǒng)的時(shí)域分析（簡(jiǎn)單）3、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析（欠阻尼狀態(tài)下的暫態(tài)指標(biāo)）4、高階系統(tǒng)的時(shí)域分析5、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)及其特殊情況）6、穩(wěn)態(tài)特性分析（給定及擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)暫態(tài)性能指標(biāo)（利用公式）閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式勞斯判據(jù)穩(wěn)定性終值定理靜態(tài)誤差系數(shù)法框圖（二階系統(tǒng)）給定信號(hào)作用下擾動(dòng)信號(hào)作用下定義法（終值定理）階躍響應(yīng)的時(shí)域性能指標(biāo)

時(shí)域中評(píng)價(jià)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以零初始條件下單位階躍輸入信號(hào)的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。1.延遲時(shí)間td（DelayTime）

：輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時(shí)間。2.上升時(shí)間tr（RiseTime）

：響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值c（∞）的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí)為響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%的時(shí)間。3.峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值c（∞）達(dá)到第一個(gè)峰值（最大超調(diào)）的時(shí)間。tr0.1C(∞)0.9C(∞)4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）

：響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍，并維持在此范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間。通常，該偏差范圍稱作誤差帶，一般取穩(wěn)態(tài)值c（∞）的2%或5%，用符號(hào)△表示，即:△=2%或△=5%5.最大超調(diào)量響應(yīng)的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值c(∞)的數(shù)，常用百分?jǐn)?shù)表示，又稱百分比超調(diào)，即

最大超調(diào)量（MaximumOvershoot）

穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差ess：對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)的實(shí)際值與期望值[即輸入量]之差的極限值，定義為穩(wěn)態(tài)誤差，即

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的唯一指標(biāo)，它反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的（穩(wěn)態(tài)）精度。

在上述幾項(xiàng)指標(biāo)中，峰值時(shí)間tp、上升時(shí)間tr和延遲時(shí)間td均表征系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢；調(diào)節(jié)時(shí)間ts表征系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程（暫態(tài)過(guò)程）的持續(xù)時(shí)間，從總體上反映了系統(tǒng)的快速性；而超調(diào)量Mp標(biāo)志暫態(tài)過(guò)程的穩(wěn)定性；穩(wěn)態(tài)誤差反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。

可用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中：為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，是二階系統(tǒng)兩個(gè)重要參數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)特性完全由這兩個(gè)參數(shù)決定。

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析特征根一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)根(1)欠阻尼狀態(tài)(2)臨界阻尼狀態(tài)兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根（3）過(guò)阻尼狀態(tài)兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根(4)無(wú)阻尼狀態(tài)一對(duì)純虛根系統(tǒng)的特征方程為：ζ值越小振蕩性越強(qiáng)；ζ值越大振蕩性越弱

在欠阻尼情況下二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)

系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為C(t)上升時(shí)間峰值時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差01.0t控制系統(tǒng)性能指標(biāo)超調(diào)量C(∞)

(1)上升時(shí)間

(2)峰值時(shí)間

(3)超調(diào)量

(4)調(diào)節(jié)時(shí)間例1：如圖所示的單位反饋隨動(dòng)系統(tǒng)，K=16，T=0.25s。試求（1）特征參數(shù)ζ和ωn；（2）計(jì)算Mp和ts；

解（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（2）例2單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如下圖示：1、求系統(tǒng)的阻尼比、無(wú)阻尼自振頻率2、確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即

根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時(shí)，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況

如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且不穩(wěn)定根（在s平面右半部分）的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。(2)勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況

當(dāng)勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項(xiàng)不為零或不全為零，可用一個(gè)很小的正數(shù)代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。

若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。例如，，等等。顯然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。此時(shí)，為了確定根的分布情況，可按下列步驟處理：(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況

如果勞斯表中某一行各項(xiàng)為零，這說(shuō)明在S平面內(nèi)存在大小相等符號(hào)相反的實(shí)根和（或）共軛虛根，或共軛復(fù)根。這樣的系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。

利用該行上面一行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。

求輔助方程對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的行，繼續(xù)計(jì)算勞斯表。

特征方程中大小相等符號(hào)相反的根可由輔助方程求得，且其根的數(shù)目總是偶數(shù)

。

穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差的定義

穩(wěn)定的系統(tǒng)，其誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差，記作ess，用式子表示為給定輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算兩種計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法：1、定義法

2、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法1、定義法利用穩(wěn)態(tài)誤差的公式（不計(jì)擾動(dòng)輸入的影響:N(s)=0）E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)（1）系統(tǒng)的分類(lèi)（系統(tǒng)類(lèi)型）

根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分個(gè)數(shù)，將系統(tǒng)分為幾種不同類(lèi)型。把系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表示成時(shí)間常數(shù)形式（尾1型）

K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，ν為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù),通常又稱為系統(tǒng)的無(wú)差度階數(shù)，并將系統(tǒng)按無(wú)差度階數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。

ν=0，1，2時(shí)，系統(tǒng)分別稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。

2、靜態(tài)誤差系數(shù)法（2）

階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差令

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。對(duì)Ⅰ型系統(tǒng)及Ⅰ型以上的系統(tǒng)ν=1，2，······，Kp=∞，ess=0。

對(duì)于階躍輸入r（t）=A*1（t），R(s)=A/s,求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于0型系統(tǒng)，（3）斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。對(duì)0型系統(tǒng)ν=0，Kv=0，ess=∞對(duì)Ⅰ型系統(tǒng)ν=1，Kv=K，ess=A/Kv=A/K對(duì)Ⅱ型或高于Ⅱ型系統(tǒng)ν=2，3，······，Kv=∞，ess=0對(duì)于斜坡輸入r（t）=At，R(s)=A/s2，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（4）拋物線輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對(duì)0型系統(tǒng)ν=0，Ka=0，ess=∞對(duì)Ⅰ型系統(tǒng)ν=1，Ka

=0，ess=∞對(duì)Ⅱ型系統(tǒng)ν=2，Ka=K，ess=A/K對(duì)Ⅲ型或高于Ⅲ型系統(tǒng)ν=3，4,······，Ka=∞，ess

=0對(duì)于拋物線輸入r（t）=At2/2，R(s)=A/s3，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)型號(hào)

誤差系數(shù)Kp

Kv

Ka

單位階躍輸入

單位速度輸入單位加速度輸入

1.穩(wěn)態(tài)誤差與輸入、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān).2.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法：

a、增加開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K；b、提高系統(tǒng)的型號(hào)數(shù);（五）典型信號(hào)合成輸入

典型信號(hào)合成輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)分