自然對(duì)數(shù)函數(shù)

Chapter4

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課程內(nèi)容指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用：相對(duì)變化率與需求彈性指數(shù)成長與衰退學(xué)習(xí)目標(biāo)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的意義及其圖形如何求指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用

瞭解成長與衰退的指數(shù)模型指數(shù)函數(shù)本章，將介紹兩類重要函數(shù)，即指數(shù)函數(shù)

(exponentialfunction)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(logarithmicfunction)，進(jìn)而探討這些函數(shù)的特性，導(dǎo)數(shù)以及在經(jīng)濟(jì)學(xué)和其他領(lǐng)域上的應(yīng)用。定義4-1:設(shè)

a>0且a

1，則f(x)=ax

稱為以a

為底

(base)的指數(shù)函數(shù)，其中x

稱為指數(shù)

(exponent)。4-1指數(shù)函數(shù)描繪指數(shù)函數(shù)圖形描繪f(x)=2x

之圖形。描繪之圖形。4-1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)之性質(zhì)及圖形定理4-1:設(shè)f(x)=ax為指數(shù)函數(shù)，則(a)f(x)之定義域?yàn)?-

,

)。(b)f(x)之值域?yàn)?0,

)。(c)f(x)之

y

截距為f(0)=a0=1，但無x

截距。(d)f(x)為連續(xù)函數(shù)。(e)若a>1，則f(x)為遞增函數(shù)，，

，其圖形如左圖所示。(f)若0<a<1，則f(x)為遞減函數(shù)，，，其圖形如右圖所示。4-1指數(shù)函數(shù)最典型的指數(shù)函數(shù)的例子，即所謂的複利

(compoundedinterest)問題。假設(shè)我們將本金

(principal)P0

元存到某家銀行，銀行的存款利率

(interest)為r(例如r

為8%)且每年複利一次，試問n

年後本利和為多少？複利問題解:設(shè)P(n)表示n

年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為

4-1指數(shù)函數(shù)二年後之本利和為

依此類推，我們得到n

年後之本利和為複利問題銀行的利率通常以年利率為準(zhǔn)，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。假設(shè)將本金P0存放於銀行，年利率為r且每年複利k次，即每365/k

天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為r/k

而一年後之本利和為n

年後之本利和為4-1指數(shù)函數(shù)4-1指數(shù)函數(shù)求本利和將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。(a)每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(b)每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(c)每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？(d)每個(gè)月複利一次，試問2年之本利和為多少？現(xiàn)值在上述的論述中，我們得到其中P(n)為

n

年後的本利和，屬於未來的價(jià)值。現(xiàn)在我們逆向思考，假設(shè)n

年後，我們可拿回本利和P(n)，那麼P0

即所謂的現(xiàn)值(presentvalue)。因此，現(xiàn)值求現(xiàn)值:某家銀行年利率為6%且每半年複利一次，求4年後10000元之現(xiàn)值為何？4-1指數(shù)函數(shù)求折價(jià)一部價(jià)值36000元之個(gè)人電腦，每年的折價(jià)率為20%，試問這部電腦3年後價(jià)值多少？4-1指數(shù)函數(shù)解:如同在複利的情況，我們可將折價(jià)率視為-0.2，因此，3年後電腦之折價(jià)為36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432

元。複利的次數(shù)趨近於無窮大時(shí)若銀行每年複利的次數(shù)頻率趨近於無窮大時(shí)，則n年後之本利和應(yīng)該為令是否存在？4-1指數(shù)函數(shù)自然指數(shù)定義4-2:

稱為自然指數(shù)(naturalexponent)。定義4-3:連續(xù)複利(continuouslycompoundedinterest)

將本金P0

元存於年利率r的銀行裡，在連續(xù)複利之下，t

年後之本利和為P(t)=P0ert。定義4-4:連續(xù)複利之現(xiàn)值銀行之年利率為

r，連續(xù)複利，t

年後P

元其現(xiàn)值為P0=Pe-rt。4-1指數(shù)函數(shù)求連續(xù)複利之現(xiàn)值銀行之年利率為6%，在連續(xù)複利之下，10年後之5000元其現(xiàn)值為多少？連續(xù)複利求連續(xù)複利之本利和將1000元存放於年利率8%之銀行裡，連續(xù)複利，2年後之本利和為多少？4-1指數(shù)函數(shù)自然指數(shù)函數(shù)定義4-5:y=ex

稱為自然指數(shù)函數(shù)(naturalexponentialfunction)。4-1指數(shù)函數(shù)自然指數(shù)函數(shù)之圖形若k>0，則y=ekx

之圖形如左圖所示，y=e-kx

之圖形如右圖所示。4-1指數(shù)函數(shù)隨堂演練4-11.描繪

y=3x

與

y=3-x

之圖形。2.將1000元存放在年利率8%之銀行裡，求下列各種情況下，10年後之本利和。a.每年複利一次。b.每季複利一次。c.每月複利一次。d.連續(xù)複利。3.在漲跌幅7%的臺(tái)北股票市場(chǎng)，某一支股票，每股以50元上市交易，連續(xù)漲停10個(gè)交易日，求第10個(gè)交易日之收盤價(jià)。4.求極限5.描繪函數(shù)

y=2+ex

與y=2+e-x

之圖形。4-1指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義4-5:設(shè)a>0且a

1。若ay=x，則y

稱為以a

為底

(base)x

之對(duì)數(shù)

(logarithm)，通常表示成y=loga

x且y稱為以a

為底之對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction)。求對(duì)數(shù)求log28。求。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)之性質(zhì)及圖形定理4-2:

設(shè)f(x)=loga

x

為對(duì)數(shù)函數(shù)，則(a)f(x)之定義域?yàn)?0,

)。

(b)f(x)之值域?yàn)?-

,

)。(c)f(x)之x截距為1，即loga

1=0，但無y截距。(d)f(x)為連續(xù)函數(shù)。(e)對(duì)任意

x>1，；對(duì)任意數(shù)y，。(f)若a>1，則f(x)為遞增函數(shù)，，

且其圖形如左圖。(g)若0<a<1，則f(x)為遞減函數(shù)，，且其圖形如右圖。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算法則對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算法則:函數(shù)的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)f(x)=log2x7-log2x5

。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)常用對(duì)數(shù)函數(shù)、自然對(duì)數(shù)函數(shù)定義4-6:y=log10

x

稱為常用對(duì)數(shù)函數(shù)

(commonlogarithmicfunction)，通常表示成y=logx，即y=logx

若且唯若10y=x。定義4-7:y=loge

x

稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，通常表示成y=ln

x，即y=ln

x

若且唯若ey

=x

。求對(duì)數(shù)求log1000。求log0.001。求ln

e8。求ln

e-0.2。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)解方程式求105x=2之解。求3e2x=18之解。求102x-2(10x)-3=0之解。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)變底公式變底公式(changebaseformula)：求對(duì)數(shù)求log210。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)求雙倍期(doublingtime)將本金P0

存放於年利率為6%之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？將本金P0存放於年利率為8%之銀行，連續(xù)複利，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？4-2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用求學(xué)習(xí)時(shí)間某人練習(xí)中文打字，練習(xí)到第

t

週時(shí)，此人每分鐘可打f(t)=20(1-e-0.5t)個(gè)中文字，試問此人練習(xí)幾天以後，每分鐘可以打5個(gè)中文字？訊息之傳播某一重大訊息經(jīng)媒體報(bào)導(dǎo)，在t小時(shí)以後，得到這個(gè)訊息之比率為f(t)=1-e-0.4t，試問多久以後80%的人都接收到這個(gè)訊息？4-2對(duì)數(shù)函數(shù)隨堂演練4-21.求log4

64與

log

0.001。2.化簡(jiǎn)

log2

x(x+1)-log2

(x+1)2。3.求

22x=16與

9x

-6(3x)+9=0之解。4.

將一筆錢存放在年利率10%之銀行裡，連續(xù)複利，試問幾年後其本利和為本金之2倍？5.

描繪

y=ln

(2x)與

之圖形。4-2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理4-3:設(shè)

f(x)=ln

x，則f(x)為可微函數(shù)且，即。定理4-4:若u(x)為正值可微函數(shù)，則f(x)=ln

u(x)為可微且

，即。定理4-5:loga

x

為可微函數(shù)且。若u(x)為可微的正值函數(shù)，則loga

u(x)為可微且。4-3對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求ln(x2+x+1)之導(dǎo)數(shù)。求y=ln

x

在x=1之切線方程式。判別y=ln

x

圖形之凹性。求ln(1.1)之線性近似。求f(x)=ln(x2+1)10之導(dǎo)數(shù)。4-3對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(a)求f(x)=log3

x

之導(dǎo)數(shù)。

(b)求g(x)=log3(x4+1)之導(dǎo)數(shù)。求f(x)=(x2+1)ln(x2+8)。求之導(dǎo)數(shù)設(shè)x>0，f(x)=xx，求f'(x)。4-3對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隨堂演練4-31.求下列函數(shù)之導(dǎo)數(shù)：2.利用對(duì)數(shù)微分法求下列函數(shù)之導(dǎo)數(shù)：3.求

ln

(0.9)與

ln

(1.01)之線性近似。4.求

y=x+ln

x

在

x=e

之切線方程式。5.描繪

y=x+ln

x

之圖形。4-3對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理4-6:設(shè)f(x)=ex，則f(x)為可微函數(shù)且f'(x)=ex

，即。定理4-7:

若u(x)為可微函數(shù)，則eu(x)

亦為可微函數(shù)且定理4-8:設(shè)a>0，a

1。則ax

為可微函數(shù)且若u(x)為可微，則au(x)

亦為可微且4-4指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求之導(dǎo)數(shù)。求y=ex

在x=0之切線方程式。判別y=ex

圖形之凹性。求e0.01

之線性近似。4-4指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(a)求f(x)=2x

之導(dǎo)數(shù)。

(b)求之導(dǎo)數(shù)。求(a)(b)求之相對(duì)極值。4-4指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隨堂演練4-41.求下列函數(shù)之導(dǎo)數(shù)：2.

求之相對(duì)極值並描繪其圖形。3.

求

之線性近似。4.

某公司經(jīng)銷某種商品，其需求函數(shù)為x=D(p)=500e-0.2p。求收入函數(shù)

R(p)與邊際收入函數(shù)

R'(p)。5.

證明函數(shù)

為遞增函數(shù)並描繪其圖形。4-4指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用定義4-7:

相對(duì)變化率(relativerateofchange)

設(shè)f(t)為可微函數(shù)且f(t)

0，則f(t)之相對(duì)變化率為。求相對(duì)變化率郵局之存款由公元2000年起預(yù)估總額為(其中t以年為單位)，試問16年後郵局存款總額之相對(duì)變化率為何？某公司在t

年時(shí)其負(fù)債總額為(萬元)，試問該公司在第8年時(shí)其負(fù)債之相對(duì)變化率為何？4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用需求彈性假設(shè)

x=D(p)為一需求函數(shù)，需求量之相對(duì)變化率為且售價(jià)之相對(duì)變化率為。因此，定義4-8:設(shè)x=D(p)為需求函數(shù)，則需求彈性為若E(p)>1，則需求具彈性

(elastic)。若E(p)<1，則需求不具彈性

(inelastic)。若E(p)=1，則需求為單位彈性

(unitelasticity)。4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用設(shè)x=D(p)=20-

p2

為需求函數(shù)，求p=2和p=4之需求彈性，並作適當(dāng)之解釋。需求彈性解:

所以，E(2)=8/16=1/2=0.5，即當(dāng)p=2時(shí)，需求不具彈性；E(4)=32/(20-16)=8，即當(dāng)p=4時(shí)，需求具彈性。4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用在p=2時(shí)，1%單位售價(jià)之變化只引起0.5%需求量之變化。E(4)=8表示在p=4時(shí)，1%單位售價(jià)之變化引起8%需求量之變化。某家早餐店老闆估計(jì)每天三明治的需求函數(shù)為D(p)=60-p，求三明治之售價(jià)p=10元時(shí)之需求彈性。需求彈性解:

所以，E(10)=10/50=0.2，故在p=10時(shí)，需求不具彈性，即當(dāng)售價(jià)為10元時(shí)，1%之售價(jià)變化只引起0.2%之需求量變化。4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用需求彈性的功能需求彈性的功能是用來決定當(dāng)單位售價(jià)為p

時(shí)，為了增加總收入，我們應(yīng)該提高或降低單位售價(jià)的策略。設(shè)x=D(p)為一需求函數(shù)，則總收入為R=px

=pD(p)。當(dāng)E(p)<1時(shí)，即需求不具彈性，R'(p)>0，所以提高售價(jià)可以增加總收入。當(dāng)E(p)>1時(shí)，即需求具彈性，R'(p)<0，所以降低售價(jià)可以增加總收入。當(dāng)E(p)=1時(shí)，即需求為單位彈性，R'(p)=0，此時(shí)總收入為最大。4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用隨堂演練4-51.求下列函數(shù)之相對(duì)變化率函數(shù)：2.

求下列函數(shù)在指定

t

時(shí)之相對(duì)變化率：3.求下列函數(shù)在指定

p

時(shí)之需求彈性：4.若商店販?zhǔn)勰撤N商品，其需求函數(shù)為

D(p)=200-10p，試問

p

為多少時(shí)，其需求為單位彈性：5.設(shè)需求函數(shù)為

x=5e-2p，證明需求彈性為價(jià)格的2倍。4-5經(jīng)濟(jì)學(xué)上的兩個(gè)應(yīng)用指數(shù)成長與衰退在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)裡，某些函數(shù)N(t)的變化常常遵循以下法則：N(t)在時(shí)間t的變化率與在t時(shí)的量N(t)成比率，即N'(t)=kN(t)，k為比率常數(shù)。連續(xù)複利的問題，族群的成長，細(xì)菌的培養(yǎng)和放射性物質(zhì)的衰變等都屬於這種現(xiàn)象。以複利的問題來印證，設(shè)將P0

元存放於年利率為r

之銀行裡，在連續(xù)複利之下，t

年後之本利和為P(t)=P0ert。因此，P'(t)=P0rert

=rP(t)。4-6指數(shù)成長與衰退指數(shù)成長與衰退假設(shè)某個(gè)函數(shù)N(t)滿足N'(t)=kN(t)，那麼，N(t)=？從複利的例子中，可猜測(cè)N(t)=N0ekt，N0=N(0)為一常數(shù)。事實(shí)上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時(shí)再加以探討。在N