新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)7-2 橢圓及其應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)7-2橢圓及其應(yīng)用橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn)?？荚囍兄饕疾闄E圓的概念性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，選擇、填空、解答題都會(huì)出現(xiàn)。與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，在突破重難點(diǎn)上要注意。基礎(chǔ)、拔高、分層訓(xùn)練，更為重要的是掌握?qǐng)A錐曲線的解題的思想方法，才能做到靈活應(yīng)對(duì)?！绢}型1橢圓的定義及概念辨析】滿分技巧在橢圓的定義中條件SKIPIF1<0不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，其軌跡為線段SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，其軌跡不存在．【例1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)定點(diǎn)，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．直線【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是橢圓；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是線段SKIPIF1<0．故選：C．【變式1-1】（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．2C．4D．5【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0,所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形.所以SKIPIF1<0.由橢圓的定義得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：C【變式1-2】（2023·陜西西安·?？既＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0的兩焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0.因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的兩焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，可知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切于點(diǎn)SKIPIF1<0，顯然圓心SKIPIF1<0不能與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，設(shè)圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知點(diǎn)M的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)SKIPIF1<0除外），且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：D.【變式1-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N是SKIPIF1<0中點(diǎn)，且ON長(zhǎng)度是4，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)度是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0由已知得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因?yàn)镹是SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，再根據(jù)橢圓定義得SKIPIF1<0【題型2利用定義求距離和差最值】滿分技巧利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值【例2】（2023·江西撫州·高三樂安縣第二中學(xué)校考期中）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】橢圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，由圖形知，當(dāng)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0（與橢圓的交點(diǎn)）上時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0（與橢圓的交點(diǎn)）上時(shí)，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線（與橢圓的交點(diǎn)）上時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．【變式2-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．5B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意SKIPIF1<0，設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之間時(shí)等號(hào)成立.而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0四點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之間，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線與圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：D【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】設(shè)圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的圓心分別為SKIPIF1<0,半徑分別為SKIPIF1<0.則橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).此時(shí)SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，取值最大或最小.由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)位于圖中SKIPIF1<0時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取值最大.SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)位于圖中SKIPIF1<0時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取值最大.SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2-4】（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)P在橢圓C上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由橢圓方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)，交橢圓于P，則SKIPIF1<0，(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)SKIPIF1<0位于第三象限時(shí)取等號(hào))此時(shí)SKIPIF1<0取最大值為SKIPIF1<0【題型3橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】滿分技巧1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；（2）定量：依據(jù)條件及SKIPIF1<0確定SKIPIF1<0的值；（3）寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；2、求橢圓方程時(shí)，若沒有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為SKIPIF1<0；3、當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)。【例3】（2022·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）已知曲線SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“曲線C是橢圓”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若曲線SKIPIF1<0是橢圓，則有：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0故“SKIPIF1<0”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C【變式3-1】（2023·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知方程SKIPIF1<0表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】方程SKIPIF1<0表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的橢圓，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：A.【變式3-2】（2023·黑龍江佳木斯·高三校考開學(xué)考試）已知直線SKIPIF1<0經(jīng)過焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.則由已知可得，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以橢圓的焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上.設(shè)橢圓的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0.故選：C.【變式3-3】（2022·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，其上下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在橢圓中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選：D.【變式3-4】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)A到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0①．由SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為16，得SKIPIF1<0，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得SKIPIF1<0③．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④．聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以SKIPIF1<0，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是SKIPIF1<0.故選：B．【題型4橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】滿分技巧一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF2，AF12+性質(zhì)1：AF1+拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為【答案】SKIPIF1<0【解析】橢圓SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】2【解析】因橢圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又由橢圓定義，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下圖所示：不妨設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由余弦定理可知SKIPIF1<0；又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以可得SKIPIF1<0；故選：C【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0的上、下焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，短半軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交該橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的周長(zhǎng)是SKIPIF1<0的周長(zhǎng)的3倍，則SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為（）A．6B．5C．7D．9【答案】B【解析】由題意可得SKIPIF1<0，由離心率為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的周長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)SKIPIF1<0，由橢圓的定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B．【變式4-4】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0為直角三角形的點(diǎn)SKIPIF1<0有（）個(gè)A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0為直徑作圓與SKIPIF1<0必有四個(gè)不同的交點(diǎn)，因此SKIPIF1<0中以SKIPIF1<0的三角形有四個(gè)，除此之外以SKIPIF1<0為直角，SKIPIF1<0為直角的SKIPIF1<0各有兩個(gè)，所以存在使SKIPIF1<0為直角三角形的點(diǎn)SKIPIF1<0共有8個(gè).故選：D【題型5求橢圓的離心率與范圍】滿分技巧1、求橢圓離心率的3種方法（1）直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．（2）構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．（3）通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．2、求橢圓離心率范圍的2種方法（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系，適用于題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系；（2）直接法：根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式，適用于題設(shè)條件直接有不等關(guān)系。【例5】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若滿足SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，則C的離心率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【變式5-1】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為其左右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為其右頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖所示，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由橢圓定義得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【變式5-2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式5-3】（2023·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0為鈍角三角形，則離心率SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為鈍角三角形，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即橢圓SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：A.【變式5-4】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓離心率的取值范圍為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由正弦定理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)橢圓的定義可知，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因?yàn)?，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【題型6橢圓的中點(diǎn)弦問題】滿分技巧解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有。【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，且SKIPIF1<0，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解法一：由題意知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€AB的斜率為2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法二：由題意知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法三：由題意知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D．【變式6-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0外的一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，取線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則由題意可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【變式6-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：SKIPIF1<0，若橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0是橢圓C上關(guān)于直線l：SKIPIF1<0對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段PQ的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式6-3】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：SKIPIF1<0，圓O：SKIPIF1<0，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若SKIPIF1<0，則直線l的方程為．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,進(jìn)而SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)直線上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是圓的切線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0故直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【題型7直線與橢圓相交弦長(zhǎng)求解】滿分技巧求弦長(zhǎng)的兩種方法：（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：【例7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.聯(lián)立得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0過原點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0最大，最大值為SKIPIF1<0.【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0.交于A，B兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程.【答案】SKIPIF1<0【解析】顯然直線SKIPIF1<0不垂直于y軸，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去x得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【變式7-2】（2023·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】（1）由題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）易知直線SKIPIF1<0的斜率不為0，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去y，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式7-3】（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，離心率為SKIPIF1<0，焦距為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0，且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意，設(shè)所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，因?yàn)榻咕酁镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，又離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.（2）由（1）知：左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由弦長(zhǎng)公式SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【變式7-4】（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，左右焦點(diǎn)SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求橢圓方程．（2）若斜率為1的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以SKIPIF1<0為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，則圓心到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【題型8直線與橢圓綜合問題】【例8】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．（1）求動(dòng)圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程．（2）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，記直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0．試問：點(diǎn)SKIPIF1<0是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0恒在定直線SKIPIF1<0上【解析】（1）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．由已知條件，得SKIPIF1<0．①當(dāng)動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，與圓SKIPIF1<0內(nèi)切時(shí)，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．②當(dāng)動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，與圓SKIPIF1<0外切時(shí)，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．綜上可知，圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．易得圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以動(dòng)圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0的方程，得SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0