新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點8-2 概率與統(tǒng)計綜合（10題型 滿分技巧 限時檢測）（解析版）

熱點8-2概率與統(tǒng)計綜合概率統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點錯綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，在高考考查中一般情況會對多個知識點進行綜合考查。題量通常為“兩小一大”，有時也“三小一大”或“一小一大”；選擇題、填空題考查全面，解答題重點考查概率統(tǒng)計主干知識，以圖表信息、古典概型、常見概率分布，回歸分析，獨立性檢驗、樣本估計總體、分布列和數(shù)學(xué)期望為主要考查內(nèi)容，關(guān)注學(xué)科知識的綜合性，常與分段函數(shù)、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、最值問題等相結(jié)合進行綜合考查?！绢}型1古典概型的計算】滿分技巧古典概型中基本事件的探求方法1、列舉法：適合于基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出來的試驗；2、列表法（坐標(biāo)法）：適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗；3、樹形圖法：適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探究；4、排列組合法：求較復(fù)雜試驗中基本時間的個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.【例1】（2024·四川·校聯(lián)考一模）一次課外活動中，某班60名同學(xué)均參加了羽毛球或乒乓球運動，其中37人參加了羽毛球運動，38人參加了乒乓球運動．若從該班隨機抽取一名同學(xué)，則該同學(xué)既參加了羽毛球運動又參加了乒乓球運動的概率為（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，該班學(xué)生中既參加了羽毛球運動又參加了乒乓球運動有：（名），故從該班隨機抽取一名同學(xué)，該同學(xué)既參加了羽毛球運動又參加了乒乓球運動的概率為，故選：A.【變式1-1】（2024·湖南岳陽·高三岳陽一中?？奸_學(xué)考試）四位同學(xué)乘同一列火車，火車有10節(jié)車廂，則至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】四位同學(xué)乘同一列火車，則所有的基本事件有：個；設(shè)事件：“至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂”，則事件表示：四位同學(xué)所在車廂都不相同；則事件包括的基本事件個數(shù)為：，事件包括的基本事件個數(shù)有：，故至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂的概率.故選：C.【變式1-2】（2024·江蘇徐州·高三?？奸_學(xué)考試）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分以下兩種情況討論：（1）小明和其中一人同時看《長安三萬里》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，此時，所求概率為；（2）觀看《長安三萬里》只有小明一人，只需將剩余三人分為兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時，所求概率為.綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為.故選：B.【變式1-3】（2022·河南·高三專題練習(xí)）“天問一號”中的天問是中國行星探測任務(wù)的名稱，它的名字起源于屈原的《天問》，想要表達的是中華民族對追求真理的執(zhí)著，對科技創(chuàng)新的不懈．中國行星探測任務(wù)被命名為“天問系列”是在2020年4月24日，首次火星探測任務(wù)的探測器則被命名為“天問一號”．2020年7月23日，中午12時41分，長征五號遙四運載火箭托舉著我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器，在中國文昌航天發(fā)射場點火升空．若從“天，問，一，號”，這4個字中任取一個字，再從“4，24，7，23”這4個數(shù)字中任取2個數(shù)字，組成一個“系列組”，則該“系列組”中包含“天問一號”命名時間“4，24”或發(fā)射時間“7，23”的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】所有“系列組”的不同情況有：(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，(問，4，24)，(問，4，7)，(問，4，23)，(問，24，7)，(問，24，23)，(問，7，23)，(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，(號，4，24)，(號，4，7)，(號，4，23)，(號，24，7)，(號，24，23)，(號，7，23)．共24種不同情況，其中包含命名時間“4，24”或發(fā)射時間“7，23”的不同情況有8種，故所求概率為：．故選：D．【變式1-4】（2024·廣東·高三統(tǒng)考期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)且3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包，共有12個，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.【題型2隨機抽樣與計算】滿分技巧1、明確簡單隨機抽樣與分層抽樣的定義。2、分層隨機抽樣的相關(guān)計算關(guān)系：（1）＝；（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．（3）樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：＝＋＝＋.【例2】（2024·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進行質(zhì)量檢測；上述兩項調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（）A．①用簡單隨機抽樣，②用分層隨機抽樣B．①用簡單隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣C．①用分層隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣D．①用分層隨機抽樣，②用分層隨機抽樣【答案】C【解析】①喬木、灌木、草木，分類明顯，可以采用分層隨機抽樣；②并未有明顯分層特點，且樣本容量較小，可以采用簡單隨機抽樣；故選：C.【變式2-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選取（）A．8人B．6人C．4人D．2人【答案】D【解析】由題可知，男居民選取人，女居民選取人，則女居民比男居民多選取2人.故選：D.【變式2-2】（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃榱肆私鈱W(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個年級共抽取100人進行各項指標(biāo)測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取的人數(shù)為（）A．30B．25C．20D．15【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：高三年級抽取的人數(shù)為.故選：B【變式2-3】（2023·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時間2023年10月31日8時11分，神舟十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．某高中學(xué)校在有120名同學(xué)的“航天”社團中隨機抽取24名參加一個交流會，若按社團中高一、高二、高三年級的成員人數(shù)比例分層隨機抽樣，則高一年級抽取6人，若按性別比例分層隨機抽樣，則女生抽取15人，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．24是樣本容量B．120名社團成員中男生有50人C．高二與高三年級的社團成員共有90人D．高一年級的社團成員中女生最多有30人【答案】B【解析】對于A，由樣本容量定義知：樣本容量為，A正確；對于B，女生共有人，男生有人，B錯誤；對于C，高一年級的社團成員有人，高二高三年級的社團成員共有人，C正確；對于D，由C知：高一年級的社團成員共人，高一年級的社團成員中女生最多有人，正確．故選：B．【變式2-4】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）我校高三年級為了學(xué)生某項身體指標(biāo)，利用隨機數(shù)表對650名學(xué)生進行抽樣，先將650進行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第7個樣本編號是（）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623B．328C．072D．457【答案】C【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，前7個數(shù)據(jù)分別是253，313，457，007，328，623，072．故選：C【題型3用樣本估計總體】滿分技巧樣本估計總體的常用結(jié)論：1、如果兩組數(shù)和的平均數(shù)分別是和，則一組數(shù)的平均數(shù)是；2、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為。3、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為4、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為；5、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為?！纠?】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）歌唱比賽共有11位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到9個有效評分.9個有效評分與11個原始評分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）A．平均數(shù)B．極差C．方差D．中位數(shù)【答案】D【解析】設(shè)11位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，D正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)，平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，A不正確；③，由②易知，C不正確．④原極差，后來極差，可能相等可能變小，B不正確．故選：D.【變式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A．，B．1，C．，D．，【答案】D【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，得，，故選：D．【變式3-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有隨機選出的20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下，則（）7243954616673828282879195898102102108114120A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯誤；對于B，極差為，故B錯誤；對于C，，第10個數(shù)和第11個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯誤；對于D，，第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.【變式3-3】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某班學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，則減負(fù)后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)為（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可得：，解得，因為第一組的頻率為，第二組的頻率為，故中位數(shù)在第二組的中間，即中位數(shù)為（分鐘），又因為每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，所以減負(fù)后完成作業(yè)時間的中位數(shù)為（分鐘）.故選：A【變式3-4】（2024·四川·高三西充中學(xué)校聯(lián)考期末）下圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運營里程（單位：公里）及運營線路條數(shù)的統(tǒng)計圖，下列判斷正確的是（）

A．這10個城市中北京的地鐵運營里程最長且運營線路條數(shù)最多B．這10個城市地鐵運營里程的中位數(shù)是516公里C．這10個城市地鐵運營線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D．這10城市地鐵運營線路條數(shù)的極差是12【答案】C【解析】對于A，北京的地鐵運營線路條數(shù)最多，而運營里程最長的是上海，A錯誤；于是B，地鐵運營里程的中位數(shù)是公里，B錯誤；對于C，地鐵運營線路條數(shù)的平均數(shù)為，C正確；對于D，地鐵運營線路條數(shù)的極差是，D錯誤.故選：C【題型4百分位數(shù)的計算】滿分技巧計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【例4】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是（）A．74B．78C．83D．91【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因為，所以這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是83.故選：C.【變式4-1】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A．15B．16C．17D．18【答案】D【解析】將這些數(shù)從小到大重新排列后為：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，，則取從小到大排列后的第8個數(shù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.故選：D.【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知7個數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)從小到大排列的第個數(shù)，即為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：D【變式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取12件，得到它們的質(zhì)量（單位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，則這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)不可能是（）A．8.75B．8.15C．9.9D．8.5【答案】C【解析】將這12個數(shù)據(jù)從小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由，可知這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為，由，可知這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，由，可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)不可能是9.9.故選：C【變式4-4】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2024個互不相同的實數(shù)，記其上四分位數(shù)為，中位數(shù)為，第75分位數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)百分位數(shù)的概念可知，將這2024個互不相同的實數(shù)從小到大排列后，其上四分位數(shù)即為第75分位數(shù)，故，由于這2024個互不相同的實數(shù)最中間兩數(shù)為第1012和第1013個數(shù)，故中位數(shù)b為這兩個數(shù)的平均數(shù)，又第50分位數(shù)也為第1012和第1013個數(shù)的平均數(shù)，故b即等于第50分位數(shù)，而第50分位數(shù)小于第75分位數(shù)，故，故選：C【題型5事件關(guān)系的判斷】滿分技巧判斷互斥、對立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（）A．為不可能事件B．與為互斥事件C．為必然事件D．與為對立事件【答案】B【解析】同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，“點數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；對于選項A:表示“點數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯誤；對于選項B：A與B不可能同時發(fā)生．故B正確；對于選項C：表示“點數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯誤；對于選項D：與不能包含全部基本事件，故D錯誤.故選:B．【變式5-1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個人打靶時連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對立事件為（）A．至多有一次中靶B．至多有兩次中靶C．恰好有一次中靶D．三次都中靶【答案】A【解析】由題意，事件“至少有兩次中靶”的對立事件為“至多有一次中靶”.故選：A.【變式5-2】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（）A．事件M與事件N相互獨立B．事件X與事件Y相互獨立C．事件M與事件Y相互獨立D．事件N與事件Y相互獨立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選選項有如下情形：①有一個選項相同，②兩個選項相同，③兩個選項不相同，所以，，，，因為事件與事件互斥，所以，又，所以事件M與事件N不相互獨立，故A錯誤；，故B錯誤；由，則事件M與事件Y相互獨立，故C正確；因為事件N與事件Y互斥，所以，又，所以事件N與事件Y不相互獨立，故D錯誤.故選：C．【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥不對立的事件是（）A．恰有一個黃球與恰有一個藍球B．至少有一個黃球與都是黃球C．至少有一個黃球與都是藍球D．至少有一個黃球與至少有一個藍球【答案】A【解析】從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取3個球，不同的取球情況共有以下4種：①3個球全是黃球；②2個黃球和1個藍球；③1個黃球2個藍球；④3個球全是藍球．對于A，恰有一個黃球是情況③，恰有一個藍球是情況②，∴恰有一個黃球與恰有一個藍球是互斥不對立的事件，故A正確；對于B，至少有一個黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，∴至少有一個黃球與都是黃球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，至少有一個黃球是情況①②③，都是藍球是情況④，∴至少有一個黃球與都是藍球是對立事件，故C錯誤；對于D，至少有一個黃球是情況①②③，至少有一個藍球是情況②③④，∴至少有一個黃球與至少有一個藍球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤．故選：A．【變式5-4】（2023·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）同時拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點數(shù)，表示綠色骰子的點數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（）A．A與對立B．C．A與相互獨立D．與相互獨立【答案】C【解析】由題意可知：，對于選項A：事件“”，事件“為奇數(shù)”，例如，則，不為奇數(shù)，即A事件和事件可以同時不發(fā)生，所以A事件與事件不對立，故A錯誤；對于選項B：樣本空間共個樣本點，且，共個樣本點，所以，，共個樣本點，，，共個樣本點，，則，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以與不相互獨立，故D錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，所以與相互獨立，故C正確．故選：C．【題型6線性回歸分析】滿分技巧線性回歸分析問題的類型及解題方法1、求線性回歸方程：（1）利用公式求出回歸系數(shù)，；（2）利用回歸直線過樣本中心點求系數(shù)；2、利用回歸方程進行預(yù)測：把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值；3、利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)函數(shù)負(fù)相關(guān)的系數(shù)是；4、回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越接近1時，兩變量的線性相關(guān)性越強?！纠?】（2024·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知變量之間的經(jīng)驗回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：5681214108651則下列說法正確的是（）A．變量之間負(fù)相關(guān)B．C．當(dāng)時，可估計的值為11D．當(dāng)時，殘差為【答案】AC【解析】對于A選項，由，可得變量之間負(fù)相關(guān)，故A選項正確；對于B選項，，將代入經(jīng)驗回歸方程，有，可得，故B選項錯誤；對于C選項，由上知，當(dāng)時，，故C選項正確；對于D選項，當(dāng)時，，殘差為，故D選項錯誤．故選：AC．【變式6-1】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時間騎行鍛煉情況進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時（單位：小時）如下表：身體綜合指標(biāo)評分12345用時小時）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（）參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù).A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時正相關(guān)B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較弱C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較強D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合【答案】C【解析】因為相關(guān)系數(shù).即相關(guān)系數(shù)近似為與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，所以選項ABD錯誤，C正確.故選：C.【變式6-2】（2024·山東·高三山東省實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（）346722.54.57A．-2B．-1C．D．【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故選：C.【變式6-3】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）0.96；（2），219.4萬元【解析】（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.【變式6-4】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個地塊，從這些地塊中隨機抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量（單位：只），并計算得.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；（2）已知20個樣區(qū)中有8個樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個樣區(qū)中隨機抽取2個，記抽到這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)【答案】（1）0.94，相關(guān)性較強；（2）見解析【解析】（1）樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)為．由于相關(guān)系數(shù),，則相關(guān)性很強，的值越大，相關(guān)性越強．故，故相關(guān)性越強．（2）由題意得：的可能取值為0，1，2，20個樣區(qū)中有8個樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，有12個樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量不低于樣本平均數(shù)，所以，，，所以的分布列為：012【題型7獨立性檢驗】滿分技巧獨立性檢驗的一般方法（1）根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；（2）提出零假設(shè)：假設(shè)兩個變量相互獨立，并給出在問題中的解釋。（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計算公式求出的值；（4）當(dāng)時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個變量相互獨立?！纠?】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過【答案】A【解析】因為，所以，依據(jù)的獨立性檢驗，我們認(rèn)為變量與獨立，故選：A.【變式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（）附：，.A．0.001B．0.05C．0.01D．0.005【答案】B【解析】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗104050未注射疫苗203050合計3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因為：，而，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B【變式7-2】（2024·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為夜晚會下雨【答案】D【解析】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確，D錯誤．故選：D【變式7-4】（2024·四川宜賓·高三四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635（1）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計對照組實驗組合計（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.【答案】（1）23.4，列聯(lián)表見解析；（2）有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)從小到大排序：，所以40只小鼠體重的中位數(shù)為，列聯(lián)表如下：合計對照組61420實驗組14620合計202040（2）由公式可知，所以有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.【題型8二項分布】滿分技巧獨立重復(fù)試驗與二項分布1、定型：“獨立”“重復(fù)”是二項分布的基本特征，“每次試驗事件發(fā)生的概率都相等”是二項分布的本質(zhì)特征．判斷隨機變量是否服從二項分布，要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果，且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)．2、定參，確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率．3、列表，根據(jù)離散型隨機變量的取值及其對應(yīng)的概率，列出分布列．4、求值，根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨立.（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；（2）若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.2；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6【解析】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.（2）由題可知的所有可能取值為，由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則，所以，，故的分布列為01230.5120.3840.0960.008所以.【變式8-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校高三年級數(shù)學(xué)組長為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對其在市二診考試中的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）進行分析，從全年級數(shù)學(xué)成績中隨機抽取了15人的成績作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖．若成績不低于120分，則稱為數(shù)學(xué)成績優(yōu)良．（1）從這15人的成績中隨機抽取3人，求至多有1人數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的概率；（2）以這15人的成績中成績優(yōu)良的頻率作為概率，估計該校高三年級在市三診、省一、二診未來3次診斷考試數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的人數(shù)，從而估計該校今年高考數(shù)學(xué)成績．記隨機變量為未來這3次考試中優(yōu)良學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）記“從這15人的成績中隨機抽取3人，求至多有1人數(shù)學(xué)成績優(yōu)良”為事件，由題知分?jǐn)?shù)不低于120分有3人，則．（2）以這15人的成績中成績優(yōu)良的頻率作為概率，易得數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，由題意得，則，，，，隨機變量的分布列為0123.【變式8-2】（2022·河南·高三專題練習(xí)）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制賽規(guī)，即一場比賽全程最多打五局，比賽雙方只要有一個隊先勝三局，則比賽就此結(jié)束，且該隊為獲勝方．根據(jù)以往大量的賽事記錄可知甲、乙兩隊在比賽中每局獲勝的概率分別為．（1）若在首局比賽中乙隊以的比分暫時領(lǐng)先，求最后甲隊、乙隊各自獲勝的概率；（2）求乙隊以的比分獲勝的概率；（3）設(shè)確定比賽結(jié)果需要比賽局，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；；（2）；（3）分布列見解析，【解析】（1）由題意，首局比賽已經(jīng)結(jié)束，乙隊以的比分暫時領(lǐng)先為必然事件，若甲隊要最后獲勝有兩種情況：第一種情況：甲隊在第二、三、四局比賽中勝；第二種情況：甲隊在第二、三、四局比賽中勝且只勝其中兩局，且第五局再勝．故最后甲隊獲勝的概率為；而最后乙隊獲勝的概率為．（2）乙隊以的比分獲勝，這表明在前四局比賽中甲、乙隊雙方各勝兩局，且第五局乙隊勝，故乙隊以的比分獲勝的概率為．（3）由題意，，且；；．所以的分布列為X345P所以數(shù)學(xué)期望．【變式8-3】（2024·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.（2）以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認(rèn)定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.（2）競賽成績不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以的分布列為期望.【變式8-4】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進行了市場調(diào)研，統(tǒng)計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項目．若為這3人提供的售后服務(wù)項目總價值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為，問為何值時，的值最大？（結(jié)論不要求證明【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望6900；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比，評分不低于110分的占比，任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當(dāng)時取得最大值.證明如下：設(shè)最大，即，所以，化簡得，因為，故.【題型9超幾何分布】滿分技巧超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個題，考察某一類個題個數(shù)的概率分布；（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。2、超幾何分布與二項分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項分布是“有放回”的抽取（獨立重復(fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同點?！纠?】（2024·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用過（稱之為新球），2個使用過（稱之為舊球）.每局比賽從盒中隨機取2個球作為比賽用球，比賽結(jié)束后放回盒中.使用過的球即成為舊球.（1）求一局比賽后盒中恰有3個新球的概率；（2）設(shè)兩局比賽后盒中新球的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）由題意可知當(dāng)比賽使用1個新球，1個舊球時，盒中恰有3個新球，使用一局比賽后盒中恰有3個新球的概率.（2）由題意可知的可能取值為，，，，，，所以的分布列為01234.【變式9-1】（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產(chǎn)品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者兩種可能，且兩種可能的產(chǎn)品市場占有率分別為.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)處理價格為每箱840元，遇到廢品不予更換，以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù).（運算結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；（2）現(xiàn)允許開箱，不放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品進行檢驗，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品①求此箱是廢品率為的概率；②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.【答案】（1）可以購買；（2）①；②可以購買.【解析】（1）在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為：，所以在不開箱檢驗的情況下，可以購買.（2）①設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則，設(shè)事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品的條件下，此箱是廢品率為的一箱的概率為；②設(shè)正品價格的期望值為，則，事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以,所以在已發(fā)現(xiàn)抽取檢驗的2件產(chǎn)品中恰有一件是廢品的情況下，此箱可以購買.【變式9-2】（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）某校高三年級名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），第分位數(shù)為；（2）分布列答案見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.前四個矩形的面積之和為，前五個矩形的面積之和為，設(shè)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為，則，解得，因此，這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為.（2）數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生人數(shù)之比為，所以，所抽取的人中，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，.【變式9-3】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運會，是繼年北京亞運會、年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這名觀眾中抽取名幸運觀眾，抽中者平臺會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.（1）已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；（2）當(dāng)取到最大值時，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件.，整理可得，即，又因為且，解得.（2）“”表示第一次在個人中抽取個，第二次抽取的個人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的個人在第一次抽取的人中，，記，由，解得，又，所以時，取最大值.【題型10正態(tài)分布】滿分技巧關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【例10】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（）A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748【答案】B【解析】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為,故選：B.【變式10-1】（2023·廣東肇慶·廣東肇慶中學(xué)?？寄M預(yù)測）佛山被譽為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則.【答案】1【解析】由題意得，該正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，故，則，由題意得，故.【變式10-2】（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）隨機變量，若，，則（）A．0.25B．0.5C．0.75D．0.85【答案】C【解析】因為隨機變量，所以，，解得，所以，故選：C【變式10-3】（2024·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）某次數(shù)學(xué)聯(lián)考成績的數(shù)據(jù)分析，20000名考生成績服從正態(tài)分布，則80分以上的人數(shù)大約是（）參考數(shù)據(jù)：若，則A．3173B．6346C．6827D．13654【答案】A【解析】由題意可得，又，故，則80分以上的人數(shù)大約是人.故選：A.【變式10-4】（2024·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某校高三年級800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績的年級排名大約是（）（附：，，）A．第18名B．第127名C．第245名D．第546名【答案】B【解析】因為成績近似服從正態(tài)分布,，則，且，所以，因此該校數(shù)學(xué)成績不低于102分的人數(shù)即年級排名大約是．故選：B．（建議用時：60分鐘）1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）某企業(yè)舉辦冬季趣味運動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個)分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將這10個數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.2．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是（）A．130B．132C．134D．136【答案】C【解析】因為，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是.故選：C．3．（2024·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組數(shù)據(jù)：，去掉該組中的一個數(shù)據(jù)，得到一組新的數(shù)據(jù).與原有數(shù)據(jù)相比，無論去掉哪個數(shù)據(jù)，一定變化的數(shù)字特征是（）A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．極差【答案】A【解析】原數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為2.8,4,3,3.若去掉一個1后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個2后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個3后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個4后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變.所以一定變化的是平均數(shù).故選：A4．（2024·湖南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組樣本數(shù)據(jù)由5個連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（）A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】D【解析】設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A，B錯誤；由題意新數(shù)據(jù)的波動增大，所以方差越大，故C錯誤，D正確．故選：D.5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）對一個樣本進行統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計總體集中趨勢，則，可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù)，中位數(shù)B．平均數(shù)，眾數(shù)C．中位數(shù)，平均數(shù)D．中位數(shù)，眾數(shù)【答案】A【解析】由題意得，眾數(shù)必定在最高的小長方形內(nèi)，故排除BD，由中位數(shù)和平均數(shù)的分布規(guī)律得（直方圖在左邊拖尾），故在這個頻率分布直方圖內(nèi)是平均數(shù)，是中位數(shù)，故A正確，C錯誤.故選：A6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖為一組數(shù)據(jù)的散點圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后，所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由題可知，，，，的平均數(shù)為5，所以去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)．由題圖可知，當(dāng)去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的波動變小，穩(wěn)定性較好，所以．故選：D．7．（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）“百年風(fēng)雨歷經(jīng)苦難，百年成就激蕩人心”，為弘揚陳延年、陳喬年烈士的光榮事跡及革命精神，傳承紅色基因，某校“延喬少年行”實踐團于1月6日開展紅色文化活動，實踐團成員中有來自高二（1）班和高二（2）班的學(xué)生各2人，高二（3）班和高二（4）班的學(xué)生各1人，在瞻仰陳延年烈士雕像舉行宣誓環(huán)節(jié)，需要從這6名學(xué)生中任選4名手持國旗，則這4名學(xué)生來自不同班級的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】記高二（1）班的2名學(xué)生分別為，高二（2）班的2名學(xué)生分別為，高二（3）班的學(xué)生為，高二（4）班的學(xué)生為，則從這6名學(xué)生中任選4名的事件包含，，共15個，其中這4名學(xué)生來自不同班級的事件包含，共4個，所以所求事件的概率為．故選：D．8．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺調(diào)研“大學(xué)生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關(guān)”，從某高校男、女生中各隨機抽取100人進行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)．喜歡觀看不喜歡觀看男生女生通過計算，有95％以上的把握認(rèn)為大學(xué)生喜歡觀看直播體育比賽與性別有關(guān)，則在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為（）附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828A．55B．57C．58D．60【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，解得，故在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為58．故選：9．（2024·廣西南寧·高三南寧二中?？奸_學(xué)考試）隨機變量服從正態(tài)分布，，，則（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由對稱性可知，故.故選：A10．（