新高考數學二輪復習重難點7-2 圓錐曲線綜合應用（7題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

重難點7-2圓錐曲線綜合問題圓錐曲線綜合問題是新高考數學的重難點內容。常見的考點有定點、定值、定曲線、最值范圍、證明及存在性問題，主要在解答題的第2問中進行考查，難度較大。在今年的高考中依舊是命題的熱點方向?！绢}型1圓錐曲線的定值問題】滿分技巧1、解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段長度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代數表達式的值和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值，求定值問題常見的解題方法有兩種：法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關；法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計算，并在計算推理過程中消去參數，從而得到定值。2、直接法解題步驟第一步設變量：選擇適當的量當變量，一般情況先設出直線的方程：或、點的坐標；第二步表示函數：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數，一般情況通過題干所給的已知條件，進行正確的運算，將需要用到的所有中間結果（如弦長、距離等）用引入的變量表示出來；第三步定值：將中間結果帶入目標量，通過計算化簡得出目標量與引入的變量無關，是一個常數?！纠?】（2023·北京·高三順義區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為定值？如果是定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由．【變式1-1】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于M，N兩點，設點SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和SKIPIF1<0為定值，并求出定值.【變式1-2】（2023·山東·實驗中學?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點P到點SKIPIF1<0的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點F且斜率不為零的直線l交橢圓E：SKIPIF1<0于A，B兩點，交曲線C于M，N兩點，若SKIPIF1<0為定值，求實數λ的值．【變式1-3】（2023·上?！じ呷M才中學?？计谥校╇p曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線交雙曲線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的長度；（3）設圓SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0處的切線交雙曲線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0是否為定值?若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．【題型2圓錐曲線的定點問題】滿分技巧1、參數無關法：把直線或者曲線方程中的變量，當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時的參數的系數就要全部為零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點。2、特殊到一般法：根據動點或動直線、動曲線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關。3、關系法：對滿足一定條件上的兩點連結所得直線定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，可設直線（或曲線）上兩點的坐標，利用坐標在直線（或曲線）上，建立點的坐標滿足方程（組），求出相應的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點的知識求解?！纠?】（2023·貴州貴陽·高三校聯考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.（1）求橢圓的方程；（2）設直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，求證：線段SKIPIF1<0的中垂線恒過定點SKIPIF1<0.【變式2-1】（2023·北京東城·高三景山學校校考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0，長軸長為4，離心率是SKIPIF1<0（1）求橢圓C的標準方程；（2）斜率為SKIPIF1<0且不過原點的直線SKIPIF1<0交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線SKIPIF1<0于點D.若SKIPIF1<0證明：直線SKIPIF1<0經過定點，并求出定點坐標.【變式2-2】（2023·全國·模擬預測）設動點P到定點SKIPIF1<0的距離與到定直線l：SKIPIF1<0的距離之比為2．（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）若Q為l上的動點，A，B為E與x軸的交點，且點A在點B的左側，QA與E的另一個交點為M，QB與E的另一個交點為N，求證：直線MN過定點．【變式2-3】（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線分別與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，且在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線分別與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0面積的最大值；（2）證明：SKIPIF1<0的外接圓經過異于點SKIPIF1<0的定點．【題型3圓錐曲線的定直線問題】滿分技巧解決圓錐曲線中動點在定直線問題的解題步驟：1、聯立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標；3、將動點的橫縱坐標分別用參數表示，再消去參數；4、設點，將方程變形解出定直線方程?！纠?】（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知過點SKIPIF1<0的雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）已知A，B是C的實軸端點，過點SKIPIF1<0的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點P，證明：點P在一條定直線上.【變式3-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）過拋物線SKIPIF1<0焦點SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．【變式3-2】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）若過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在定直線上.【變式3-3】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知在平面直角坐標系中，動點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離與它到直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.（1）求曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側），在線段SKIPIF1<0上取異于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，證明：點SKIPIF1<0恒在一條直線上.【題型4圓錐曲線的最值問題】滿分技巧圓錐曲線最值問題的解題步驟：1、設參數：依題意設出相關的參數，如設點坐標，設比例式的參數，設直線的方程等；2、聯立方程：常把直線方程與曲線方程聯立，轉化為關于x（或y）的一元二次方程；3、建函數：根據題設條件中的關系，建立目標函數的關系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、單調性法等求其最值。【例4】（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學?？茧A段練習）已知橢圓SKIPIF1<0經過兩點SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面積的最大值．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點到準線間的距離為2，且點SKIPIF1<0拋物線C上．（1）求m的值；（2）若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0，求DQ的最大值．【變式4-2】（2023·四川雅安·高三校聯考期中）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）A是SKIPIF1<0的下頂點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0的斜率小于0，SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，求直線SKIPIF1<0斜率的最大值.【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C經過點SKIPIF1<0，它的兩條漸近線分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）設雙曲線C的左?右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，過左焦點SKIPIF1<0作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，求SKIPIF1<0周長的最小值.【題型5圓錐曲線的取值范圍問題】滿分技巧1、利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；2、利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；3、利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；4、利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍；5、利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍．【例5】（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）已知動圓P過點SKIPIF1<0，且在圓B：SKIPIF1<0的內部與其相內切.（1）求動圓圓心P的軌跡方程；（2）若M，N是動圓圓心P的軌跡上的不同兩點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線MN的斜率k的取值范圍.【變式5-1】（2023·海南·校聯考模擬預測）已知拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦點F到雙曲線SKIPIF1<0的漸近線的距離是SKIPIF1<0．（1）求p的值；（2）已知過點F的直線與E交于A，B兩點，線段SKIPIF1<0的中垂線與E的準線l交于點P，且線段SKIPIF1<0的中點為M，設SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【變式5-2】（2023·上?！じ呷瑵髮W第一附屬中學?？计谥校┮阎獧E圓SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.SKIPIF1<0為坐標原點，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有兩個不同的交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若以SKIPIF1<0為直徑的圓經過坐標原點，求直線SKIPIF1<0的方程；（3）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式5-3】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知拋物線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線在第一象限的交點為P，且點P的橫坐標為3．（1）求拋物線E的標準方程；（2）點A、B是第一象限內拋物線E上的兩個動點，點SKIPIF1<0為x軸上的動點，若SKIPIF1<0為等邊三角形，求實數t的取值范圍．【題型6圓錐曲線的證明問題】滿分技巧圓錐曲線幾何證明問題的解題策略：1、圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如某點在某直線上、某直線經過某點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系（相等與不等）；（2）解決證明問題時，主要根據直線、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明。【例6】（2023·江蘇南通·高三如東高級中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相切.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的焦點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的準線上一點.過點SKIPIF1<0的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0相切，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【變式6-1】（2023·內蒙古·高三校聯考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，記SKIPIF1<0，并設直線SKIPIF1<0、直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【變式6-2】（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩焦點，過點SKIPIF1<0作直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，下頂點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線.【變式6-3】（2023·全國·模擬預測）已知SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上一動點，SKIPIF1<0是點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的射影，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0的方程；（2）若SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上異于坐標原點SKIPIF1<0的兩點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【題型7圓錐曲線的存在性問題】滿分技巧存在性問題的解題技巧：1、特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立；2、假設法：先假設存在，推證滿足條件的結論。若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在?！纠?】（2023·北京·高三景山學校?？计谥校┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的任意直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）兩點，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.試問是否存在常數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若O為坐標原點，過點SKIPIF1<0的直線l與橢圓C交于M，N兩點，橢圓C上是否存在點Q，使得直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0分別交于點A，B，且點A，B關于x軸對稱？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知拋物線SKIPIF1<0的頂點為坐標原點SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0．橢圓SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，左焦點為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0和橢圓SKIPIF1<0的標準方程．（2）設直線SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點．記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，是否存在直線SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的方程；若不存在，請說明理由．【變式7-3】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與該雙曲線的左、右兩支分別交于點SKIPIF1<0．（1）當直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0；（2）是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．（建議用時：60分鐘）1．（2023·安徽阜陽·臨泉第一中學校考三模）已知雙曲線C：SKIPIF1<0，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.2．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程.（2）已知過右焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，在SKIPIF1<0軸上是否存在一個定點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0？若存在，求出定點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由.3．（2023·山東·山東省實驗中學?？级＃┮阎獟佄锞€SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的兩條直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．當SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的標準方程；（2）設SKIPIF1<0